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1、知 识 要 点,一、内容提要1. 向量的内积(1) 定义1 设有 n 维向量 x = (x1 , x2 , , xn)T , y = (y1 , y2 , , yn)T, 令 x, y = x1y1 + x2y2 + + xnyn 称为向量 x 与 y 的内积.,内积满足下列运算规律:(i) x, y = y, x;(ii) x, y = x, y;(iii) x + y, z = x,z + y,z.,(2) 定义 2,称为 n 维向量 x 的长度(或范数).,向量长度具有下列性质:(i) 非负性: 当 x 0 时 , | x | 0 ; 当 x = 0 时, | x | = 0.(ii)
2、齐次性: | x| = | | x |;(iii) 三角不等式: | x + y | | x | + | y | .向量内积满足施瓦茨不等式:x, y2 x, xy, y.,称为 n 维向量 x 与 y 的夹角. 当 x, y = 0 时, 称向 量 x 与 y 正交.,(3) 当 | x | 0, | y | 0 时,(4) 正交向量组的性质若 n 维向量 a1, a2, , ar 是一组两两正交的 非零向量组, 则(i) a1 , a2 , , ar 必线性无关;,(ii),(5) 定义 3 设 n 维向量 e1 , e2 , , er 是向 量空间 V(V Rn) 的一个基, 如果 e1
3、 , e2 , , er 两 两正交, 且都是单位向量, 则称 e1 , e2 , , er 是 V 的一个规范正交基.,(6) 施密特 (Schmidt) 正交化过程从线性无关向量组 a1 , a2 , , ar 导出与之等 价的正交向量组 b1 , b2 , , br 的过程称为施密特 正交化过程若 a1 , a2 , , ar 是向量空间 的一组基， 通过正交化, 单位化, 都可以找到与之等价的一组 规范正交基 e1, e2 , , er , 称为把 a1 , a2 , , ar 这个基规范正交化.,(7) 定义 4 若 n 阶方阵 A 满足ATA = E ( 即 A-1 = AT),
4、则称 A 为正交矩阵.A = (aij)nn 为正交矩阵的充要条件是,或,(8) 定义 5 若 P 为正交矩阵, 则线性变换 y = Px 称为正交变换.正交变换具有保持向量长度不变的优良性质.2. 方阵的特征值与特征向量(1) 定义 6 设 A 是 n 阶方阵, 如果数 和 n 维非零列向量 x 使关系式Ax = x 成立, 那么, 数 称为方阵 A 的特征值, 非零列向 量x 称为 A 的对应于特征值 的特征向量.,| A - E | = 0 称为方阵 A 的特征方程,f( ) = | A - E | 称为方阵 A 的特征多项式.n 阶方阵 A 有 n 个特征值. 若 A = (aij)
5、的特 征值为 1 , 2 , , n , 则有(i) 1 + 2 + + n = a11 + a22 + + ann ;(ii) 1 2 n = |A| .(2) 有关特征值的一些结论设 是 A = (aij)nn 的特征值, 则(i) 也是 AT 的特征值.,(ii) k 是 Ak 的特征值(k 为任意自然数) ; 是 A 的特征值, 其中 = a0 + a1 + + amm , A = a0 E+ a1A + + amAm .(iii) 当 A 可逆时, 1/ 是 A-1 的特征值; |A|/ 是 A 的特征值.(3) 有关特征向量的一些结论(i) 对应于不同特征值的特征向量是线性无 关的
6、.,(ii) 对应于同一个特征值的特征向量的非零 线性组合仍是该特征值的特征向量.3. 相似矩阵(1) 定义 7 设 A，B 都是 n 阶方阵,若有可 逆矩阵 P , 使P-1AP = B , 则称 B 是 A 的相似矩阵, 或说矩阵 A 与 B 相似.,相似关系的性质:(i) 自反性: 矩阵 A 与自身相似 ;(ii) 对称性: 若矩阵 A 与 B 相似, 则矩阵 B 与 A 也相似；(iii) 传递性: 若矩阵 A 与 B 相似, 矩阵 B 与 C 相似, 则矩阵 A 与 C 相似.(2) 有关相似矩阵的性质(i) 若矩阵 A 与 B 相似, 则 A 与 B 的特征多 项式相同, 从而 A
7、 与 B 的特征值亦相同.,(ii) 若矩阵 A 与,相似，则 1 , 2 , , n 是 A 的 n 个特征值.,(iii) 若 A = PBP-1 , 则 Ak = PBkP-1 ; (A) = P(B)P-1 .特别地, 若有可逆矩阵 P , 使 P-1AP = 为对 角矩阵, 则有 Ak = PkP-1 ; (A) = P()P-1 .(3) Ann 的对角化(i) A 能对角化的充要条件是 A 有 n 个线性 无关的特征向量.(ii) 若 A 有 n 个互异的特征值,则 A 与对角 矩阵相似 , 即 A 可对角化.,4. 实对称矩阵的相似矩阵(1) 实对称矩阵的特征值为实数.(2)
8、实对称矩阵的对应于不同特征值的特征 向量必正交.(3) 若 是实对称矩阵 A 的 r 重特征值, 则 对应于 的特征向量必有 r 个, 且它们线性无关.(4) 实对称矩阵必可对角化. 即若 A 为 n 阶 实对称矩阵, 则必有正交矩阵 P, 使得 P-1AP = , 其中 是以 A 的n个特征值为对角元素的对角矩,阵.,5. 二次型及其标准形(1) 定义 8 含有 n 个变量 x1 , x2 , , xn 的 二次齐次函数f(x1 , x2 , , xn ) = a11x12 + a22x22 + +annxn2 +2a12x1x2 + 2a13x1x3 + + 2an-1,nxn-1xn 称
9、为二次型.二次型可记为 f = xTAx,其中 AT = A. A 称为 二次型 f 的矩阵, f 称为对称矩阵 A 的二次型.对 称矩阵A 的秩称为二次型 f 的秩.,二次型与它的矩阵是一一对应的.当 aij 是复数时, f 称为复二次型;当 aij 是实数 时, f 称为实二次型. 我们只讨论实二次型.(2) 只含平方项的二次型, 称为二次型的标 准形(或法式).(3) 化二次型为标准形(i) 任给可逆矩阵C, 令 B = CTAC,如果 A 为 对称矩阵, 则 B 亦为对称矩阵, 且 R(B) = R(A).,(ii) 任给实二次型,总有正交变换 x = Py, 使 f 化为标准形f =
10、 1y12 + 2y22 + + nyn2 , 其中 1, 2 , , n 是 f 的矩阵 A = (aij)nn 的特 征值.(iii) 拉格朗日配方法亦可把二次型化为标准 形, 此时所用的可逆变换一般而言不是正交变换.,6. 正定二次型(1) 定义 9 设有实二次型 f(x) = xTAx,如 果对任何 x 0, 都有 f(x) 0 (显然 f(0) = 0), 则称 f 为正定二次型, 并称对称矩阵 A 是正定的, 记作 A 0 ; 如果对任何 x 0 都有 f(x) 0, 则称 f 为 负定二次型, 并称对称矩阵 A 是负定的, 记作 A 0.,(2) 惯性定理设有实二次型 f = x
11、TAx, 它的秩为 r , 有两个 实的可逆变换x = Cy 及 x = Pz , 使得 f = k1y12 + k2y22 + + kryr2 , 及 f = 1y12 + 2y22 + + ryr2 , 则 k1 , k2 , , kr 中正数的个数 p 与 1 , 2 , , r 中正数的个数相等. p 称为正惯性指数; r - p = N 称为负惯性指数; s = p - N = 2p - r 称为 f 的符号,差.,(3) 正定二次型的判定n 阶实对称矩阵 A 为正定的充要条件有:(i) p = n;(ii) A 的特征值全为正;(iii) A 的各阶主子式都为正, 即,基本要求1.
12、 理解向量的内积、范数、正交矩阵的概 念, 掌握施密特(Schmidt)正交化方法.2. 掌握矩阵的特征值、特征向量的概念,熟 练掌握求矩阵特征值与特征向量的方法.3. 掌握矩阵与对角矩阵相似的充要条件, 了解任意实对称矩阵都能对角化.,二、基本要求与重点、难点,4. 掌握实二次型的矩阵表示法，能熟练地 用正交变换(或用非退化线性变换)化实二次型为 标准形.5. 掌握正定二次型、正定矩阵的概念，能 判定正定二次型.,重点 特征值与特征向量的概念与求法; 矩 阵与对角矩阵相似的条件及把矩阵化为相似对角 矩阵的方法；化二次型为标准形；正定二次型的 判定.难点 化矩阵为相似对角矩阵的方法；惯 性定理
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