排列组合公式排列组合计算公式----高中数学!

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1、排列组合公式/排列组合计算公式公式 P 是指排列，从 N 个元素取 R 个进行排列。 公式 C 是指组合，从 N 个元素取 R 个，不进行排列。 N-元素的总个数 R 参与选择的元素个数 ！-阶乘 ，如 9！9*8*7*6*5*4*3*2*1从 N 倒数 r 个，表达式应该为 n*（n-1)*(n-2)(n-r+1);因为从 n 到（n-r+1)个数为 n（n-r+1)r举例：Q1:Q1: 有从有从 1 1 到到 9 9 共计共计 9 9 个号码球，请问，可以组成多少个三位数？个号码球，请问，可以组成多少个三位数？A1:A1: 123 和 213 是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属

2、于 “排列 P”计算范畴。上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现 988,997 之类的 组合， 我们可以这么看，百位数有 9 种可能，十位数则应该有 9-1 种可能， 个位数则应该只有 9-1-1 种可能，最终共有 9*8*7 个三位数。计算公式 P（3，9)9*8*7,(从 9 倒数 3 个的乘积）Q2:Q2: 有从有从 1 1 到到 9 9 共计共计 9 9 个号码球，请问，如果三个一组，代表个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟三国联盟” ，可以组合成多少个，可以组合成多少个“三国联盟三国联盟”？A2: 213 组合和 312 组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起

3、即 可。即不要求顺序的，属于“组合 C”计算范畴。上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最 终组合数 C(3,9)=9*8*7/3*2*1排列、组合的概念和公式典型例题分析排列、组合的概念和公式典型例题分析 例例 1 1 设有 3 名学生和 4 个课外小组（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每 名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加各有多少种不同方法？ 解（1）由于每名学生都可以参加 4 个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有 种不同方法 （2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此 共有 种不

4、同方法 点评 由于要让 3 名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算 例例 2 2 排成一行，其中 不排第一， 不排第二， 不排第三， 不排第四的不同排法共有多少 种？ 解 依题意，符合要求的排法可分为第一个排 、 、 中的某一个，共 3 类，每一类中不 同排法可采用画“树图”的方式逐一排出： 符合题意的不同排法共有 9 种 点评 按照分“类”的思路，本题应用了加法原理为把握不同排法的规律，“树图” 是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型 例例 判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果 （1）高三年级学生会有 11 人：每两人互通一封信，共通了多少封信？

5、每两人互握了 一次手，共握了多少次手？ （2）高二年级数学课外小组共 10 人：从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不 同的选法？从中选 2 名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？ （3）有 2，3，5，7，11，13，17，19 八个质数：从中任取两个数求它们的商可以有多 少种不同的商？从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？ （4）有 8 盆花：从中选出 2 盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？从 中选出 2 盆放在教室有多少种不同的选法？ 分析 （1）由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与 顺序有关是排列；由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙

6、与甲握手是同一次握手，与顺序 无关，所以是组合问题其他类似分析 （1）是排列问题，共用了 封信；是组合问题，共需握手 （次） （2）是排列问题，共有 （种）不同的选法；是组合问题，共有 种不同的选法 （3）是排列问题，共有 种不同的商；是组合问题，共有 种不同的积 （4）是排列问题，共有 种不同的选法；是组合问题，共有 种不同的选法 例例 证明 证明 左式 右式 等式成立 点评 这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质 ，可使 变形过程得以简化 例例 5 5 化简 解法一 原式 解法二 原式 点评 解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质；解法二选用了组合数

7、 的两个性质，都使变形过程得以简化 例例 6 6 解方程：（1） ；（2） 解 （1）原方程 解得 （2）原方程可变为 ， ， 原方程可化为 即 ，解得 第六章第六章 排列组合、二项式定理排列组合、二项式定理 一、考纲要求一、考纲要求 1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质， 并能用它们解决一些简单的问题.3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题.二、知识结构二、知识结构 三、知识点、能力点提示三、知识点、能力点提示 (一)加法原理乘法原理说明说明 加法原理、乘法原理

8、是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排 列、组合中有关问题提供了理论根据.例例 1 1 5 位高中毕业生，准备报考 3 所高等院校，每人报且只报一所，不同的 报名方法共有多少种?解： 5 个学生中每人都可以在 3 所高等院校中任选一所报名，因而每个学生 都有 3 种不同的 报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有33333=35(种)(二)排列、排列数公式说明说明 排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研 究的对象以及研 究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方 法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查.例例 2 2 由数字 1

9、、2、3、4、5 组成没有重复数字的五位数，其中小于 50 000 的 偶数共有( )A.60 个 B.48 个 C.36 个 D.24 个解 因为要求是偶数，个位数只能是 2 或 4 的排法有 P12；小于 50 000 的五位 数，万位只能是 1、3 或 2、4 中剩下的一个的排法有 P13;在首末两位数排定后， 中间 3 个位数的排法有 P33，得 P13P33P1236(个)由此可知此题应选 C.例例 3 3 将数字 1、2、3、4 填入标号为 1、2、3、4 的四个方格里，每格填一个 数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种?解： 将数字 1 填入第 2 方格，则每个方

10、格的标号与所填的数字均不相同的填 法有 3 种，即 214 3，3142，4123；同样将数字 1 填入第 3 方格，也对应着 3 种填法；将数字 1 填入第 4 方格，也对应 3 种填法，因此共有填法为3P13=9(种).例四 例五可能有问题，等思考三)组合、组合数公式、组合数的两个性质说明说明 历届高考均有这方面的题目出现，主要考查排列组合的应用题，且基本 上都是由选择题或填空题考查.例例 4 4 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台，其中至少有甲型与乙型 电视机各 1 台，则不同的取法共有( )A.140 种 B.84 种 C.70 种 D.35 种解： 抽出的 3 台电

11、视机中甲型 1 台乙型 2 台的取法有 C14C25种；甲型 2 台 乙型 1 台的取法有 C24C15种根据加法原理可得总的取法有C24C25+C24C15=40+30=70(种 )可知此题应选 C.例例 5 5 甲、乙、丙、丁四个公司承包 8 项工程，甲公司承包 3 项，乙公司承包 1 项，丙、丁公司各承包 2 项，问共有多少种承包方式?解： 甲公司从 8 项工程中选出 3 项工程的方式 C38种；乙公司从甲公司挑选后余下的 5 项工程中选出 1 项工程的方式有 C15种；丙公司从甲乙两公司挑选后余下的 4 项工程中选出 2 项工程的方式有 C24种；丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的

12、 2 项工程中选出 2 项工程的方式有 C22种.根据乘法原理可得承包方式的种数有 C3 8C15C24C22= 1=1680(种).(四)二项式定理、二项展开式的性质说明说明 二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则，在数学中它是常用 的基础知识 ，从 1985 年至 1998 年历届高考均有这方面的题目出现，主要考查 二项展开式中通项公式等，题型主要为选择题或填空题.例例 6 6 在(x- )10的展开式中，x6的系数是( ) A.-27C610 B.27C410 C.-9C610 D.9C410解 设(x- )10的展开式中第 +1 项含 x6，因 T+1=C10x10-(- )，1

13、0-=6,=4于是展开式中第 5 项含 x 6，第 5 项系数是 C410(- )4=9C410故此题应选 D.例例 7 7 (x-1)-(x-1)2(x-1)3-(x-1)+(x-1)的展开式中的 x的系数等于解：此题可视为首项为 x-1，公比为-(x-1)的等比数列的前 5 项的和，则其和 为在(x-1)6中含 x3的项是 C36x3(-1)3=-20x3，因此展开式中 x2的系数是-2 0.(五)综合例题赏析例例 8 8 若(2x+ )4=a0+a1x+a2x 2+a3x3+a4x4，则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为( )A.1 B.-1 C.0 D.2解：A. 例例 9

14、 9 2 名医生和 4 名护士被分配到 2 所学校为学生体检，每校分配 1 名医生和 2 名护士，不同的分配方法共有( )A.6 种 B.12 种 C.18 种 D.24 种解 分医生的方法有 P222 种，分护士方法有 C24=6 种，所以共有 6212 种 不同的分配方法。应选 B.例例 1010 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台，其 中至少要有甲型与 乙型电视机各 1 台，则不同取法共有( ).A.140 种 B.84 种 C.70 种 D.35 种解：取出的 3 台电视机中，甲型电视机分为恰有一台和恰有二台两种情形.C24+C25C14=56+104=70.应选 C

15、.例例 1111 某小组共有 10 名学生，其中女生 3 名，现选举 2 名代表，至少有 1 名 女生当选的不同选法有( )A.27 种 B.48 种 C.21 种 D.24 种解：分恰有 1 名女生和恰有 2 名女生代表两类：C13C1 7+C23=37+3=24，应选 D.例例 1212 由数学 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的 六位数，其中个位数字 小于十位数字的共有( ).A.210 个 B.300 个C.464 个 D.600 个解：先考虑可组成无限制条件的六位数有多少个?应有 P15P 55=600 个.由对称性，个位数小于十位数的六位数和个位数大于十位数的六位数各占一半.有 600=300 个符合题设的六位数.应选 B.例例 1313 以一个正方体的顶点为顶点的 四面体共有( ).A.70 个