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1、重点难点 重点：柱、锥、台、球的表面积与体积公式及其应用 难点：公式的灵活运用 知识归纳 1圆柱的侧面积S2Rh(R、h分别为圆柱的底面半径和高) 2圆锥的侧面积SRl(R、l分别为圆锥底半径和母线长) 3球的表面积S4R2(R为球半径),4把棱柱(棱锥、棱台)的侧面沿一条侧棱剪开后展在一个平面上，展开后的图形称为棱柱(棱锥、棱台)的侧面展开图；展开图的面积称为棱柱(棱锥、棱台)的侧面积 (1)直棱柱的底面周长为c，高为h，则S直棱柱侧ch.,(4)棱柱的全面积等于侧面积与两底面积的和；棱锥的全面积等于底面积与侧面积的和；棱台的全面积等于侧面积与两底面积的和 5祖暅原理的应用：等底面积、等高的
2、柱体(或锥体)体积相等 6柱体体积V柱Sh.特殊地，圆柱体积Vr2h.,棱锥的平行于底面的截面性质：棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面相似，相似比等于截得小棱锥与原棱锥的对应边(侧棱、高)的比面积比等于相似比的平方，若棱锥为正棱锥，则两底面对应半径的比、对应边的比、对应边心距的比、斜高的比都等于相似比,误区警示 1弄清面积、体积公式中各个字母的含义，准确应用公式 2棱锥、棱台、圆锥、圆台的平行于底面的截面性质的基础是相似形的知识，要分清究竟是哪个量和哪个量对应,一、割补法 割补法是割法与补法的总称补法是把不熟悉的(或复杂的)几何体延伸或补成熟悉的(或简单的)几何体，把不完整的图形补成完整的
3、图形割法是把复杂的几何体切割成简单的几何体,二、等积变换 在求几何体的体积，高(点到面的距离)等问题时，常常要通过等积变换来处理，等积变换的主要依据有： (1)平行线间距离处处相等 (2)平行平面间的距离处处相等 (3)若l，则l上任一点到平面的距离都相等 (4)等底面积等高的柱(锥)体的体积相等，锥体的体积是等底面积等高的柱体体积的 . (5)三棱锥ABCD中有VABCDVBACDVCABDVDABC.,三、卷起、展开与折迭 (1)将平面图形卷成旋转体(或将旋转体侧面展开)、将平面图形折成多面体，要注意折(卷、展)前后几何量的对应关系和位置关系，弄清哪些量发生了什么变化，哪些量没有变化，特别
4、注意其中的平行、垂直位置关系 (2)多面体或旋转体的表面距离最值问题，常通过展开图来解决,答案：A 点评：解题时，首先弄清所给几何体的形状特征及有关的面积、体积计算公式及方法是解决这类问题的关键,(文)如图为一个几何体的三视图，左视图和主视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的侧面积为( ) A6 B12 C24 D32,答案：C,答案：B 点评：不要将左视图的面积与三棱柱一个侧面的面积混淆.,例2 (2010陕西文)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，APAB，BPBC2，E，F分别是PB，PC的中点 (1)证明：EF平面PAD； (2)求三棱锥E
5、ABC的体积V.,分析：(1)由E、F为中点易想到中位线获证 (2)求三棱锥EABC的体积，由于ABC面积易求，需看E到平面ABC的距离是否可求，注意到E为PB中点，PA平面ABCD，因此只需取AB中点G，则EG为高，或由E为PB中点知，E到平面ABC的距离等于P到平面ABC的距离的一半而P到平面ABC的距离为PA，也可获解 解析：(1)在PBC中，E，F分别是PB，PC的中点， EFBC. 又BCAD，EFAD， 又AD平面PAD，EF平面PAD， EF平面PAD.,答案：C 点评：(1)等底面积与高的柱体(锥体)体积相等，且柱体体积是锥体体积的3倍，在求体积和等积变换中是经常用到的结论 (
6、2)求棱锥的体积，关键找(求)出棱锥的高,(理)如图，已知在多面体ABCDEFG中，AB、AC、AD两两互相垂直，平面ABC平面DEFG，平面BEF平面ADGC，ABADDG2，ACEF1，则该多面体的体积为( ) A2 B4 C6 D8,解析：补成长方体ABMCDEFN并连接CF，易知三棱锥FBCM与三棱锥CFGN的体积相等，故几何体体积等于长方体的体积4.故选B. 答案：B 点评：1.也可以用平面BCE将此几何体分割为两部分，设平面BCE与DG的交点为H，则ABCDEH为一个直三棱柱，由条件易证EH綊FG綊BC，平面BEF平面CHG，且BEFCHG，几何体BEFCHG是一个斜三棱柱，这两个
7、三棱柱的底面都是直角边长为2和1的直角三角形，高都是2，体积为4.,2如图(2)，几何体ABCDEFG也可看作棱长为2的正方体中，取棱AN、EK的中点C、F，作平面BCGF将正方体切割成两部分，易证这两部分形状相同，体积相等，VABCDEFG 234.,例3 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成、两部分，求和的体积之比 分析：第部分为棱台，第部分是不规则几何体，可通过棱柱体积减去棱台体积得到其体积,(2010浙江理，12)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是_cm3.,解析：由三视图知，该几何体是一个正四棱台和一
8、个正四棱柱的组合体，四棱台下底面边长为8，上底面边长为4，高为3，上面正四棱柱底面边长为4，高为2，则体积为 V (428248)3442144cm3. 答案：144,例4 底半径为1，高为 的圆锥，其内接圆柱的底面半径为R，当R为何值时，内接圆柱的体积最大？,点评：也可以利用导数求其最值,答案：C,(理)已知球的半径为R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？,例5 四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面垂直，又底面ABCD为矩形，E是PD中点 (1)求证：PB平面ACE； (2)若PBAC，且PA2，求三棱锥EPBC的体积,解
9、析：(1)设矩形ABCD对角线AC与BD交点为O，则O为BD中点，又E为PD中点，EOPB， PB平面ACE，EO平面ACE，PB平面ACE.,(2)作PF平面ABCD，垂足为F，则F在AD上， 又PAPD，F为AD中点，连BF交AC于M， PF平面ABCD，AC平面ABCD，ACPF， 又ACPB，PBPFP，AC平面PBF， ACBF， ADPA2，AFFD1，BC2，,已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正(主)视图为矩形，侧(左)视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形 (1)若M为CB中点，证明：MA平面CNB1； (2)求这个几何体的体积,(2)该几何体的正视图为矩形，侧视图为等
10、腰直角三角形，俯视图为直角梯形，BA，BC，BB1两两垂直，BC平面ABB1N，BC为三棱锥CABN的高，取BB1的中点Q，连接NQ，如图所示，四边形ABB1N为直角梯形且AN BB14，四边形ABQN为正方形，NQBB1.又BC平面ABB1N，NQ平面ABB1N，BCNQ，且BC与BB1相交于B，NQ平面C1B1BC，NQ为四棱锥NCBB1C1的高，则原几何体的体积,一、选择题 1(文)(2010新课标全国文)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) A3a2 B6a2 C12a2 D24a2 答案 B,(理)侧棱长为4，底面边长为的正三棱柱的各顶
11、点均在同一个球面上，则该球的表面积为( ) A76 B68 C20 D9 答案 C,答案 D 解析 原几何体是一个底面边长为2，高为1的正三棱柱， 则S侧3(21)6.,(理)(2010安徽理，8)一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为( ) A280 B292 C360 D372 答案 C,解析 由三视图知该几何体是两个长方体的组合体，上面的长方体的表面积为(68)2(82)262140. 下面的长方体的表面积为(108)2(102)2(82)262220. 故表面积为140220360.选C.,答案 C,点评 本题以折叠问题为载体，考查多面体(正四面体)的外接球问题(多面体切接问题)，能力要求较高，体现了最新考试大纲“要构造有一定的深度和广度的数学问题”的高考命题要求,答案 D,请同学们认真完成课后强化作业,
