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1、 七升八数学知识点讲座七升八数学知识点讲座 第一讲第一讲 和绝对值有关的问题和绝对值有关的问题 一、一、知识结构框图：知识结构框图： 数 二、二、绝对值的意义：绝对值的意义： (1)几何意义：一般地，数轴上表示数 a 的点到原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作|a|。 (2)代数意义：正数的绝对值是它的本身；负数的绝对值是它的相反数； 零的绝对值是零。 也可以写成： |0 aa aa aa 当为正数 当为0 当为负数 说明：（）|a|0 即|a|是一个非负数； （）|a|概念中蕴含分类讨论思想。 三、三、典型例题典型例题 例例 1 1 （数形结合思想）已知 a、b、c 在数轴上位置如图： 则代
2、数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ A ） A-3a B 2ca C2a2b D b 解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a 分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对 值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝 对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由 a、b、c 在数轴上的对应位置判断绝 对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。 例例 2已知：，且， 那么zx 00xy
3、xzyyxzyzx 的值（ C ） A是正数 B是负数 C是零 D不能确定符号 解：由题意，x、y、z 在数轴上的位置如图所示： 所以 分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等 关系借助数轴直观、轻松的找到了 x、y、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道 路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。 例例 3 （分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的 3 倍，且在数轴上表示这两数 的点位于原点的两侧，两点之间的距离为 8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于 原点同侧呢？ 分析：从题目中寻找关键的解题信息， “数轴上表
4、示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲 乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学 思想解决这一问题。 解：设甲数为 x，乙数为 y 由题意得：， yx3 （1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧： 若 x 在原点左侧，y 在原点右侧，即 x0，则 4y=8 ，所以 y=2 ,x= -6 若 x 在原点右侧，y 在原点左侧，即 x0，y0，y0，则 2y=8 ，所以 y=4,x=12 例例 4 （整体的思想）方程 的解的个数是（ D ）xx20082008 A1 个 B2 个 C3 个 D无穷多个 分析：这道题我们用整体的思想解决。将 x-2008 看成一个整体
5、，问题即转化为求方程 的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，aa 所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为 D。 0 )()( yxzyzx yxzyzx 1) 1(xx 20102008 1 86 1 64 1 42 1 例例 5 （非负性）已知|ab2|与|a1|互为相互数，试求下式的值 1111 112220072007abababab 分析：利用绝对值的非负性，我们可以得到：|ab2|=|a1|=0，解得：a=1,b=2 于是 1111 112220072007abababab 2009 2008 2009 1 1 2009 1 2008 1 4
6、1 3 1 3 1 2 1 2 1 20092008 1 43 1 32 1 2 1 在上述分数连加求和的过程中，我们采用了裂项的方法，巧妙得出了最终的结果同学们 可以再深入思考， 如果题目变成求 值，你有办法求解吗？有兴趣的 同学可以在课下继续探究。 例例 6 （距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4 与，3 与 5，与22 ，与 3. 64 并回答下列各题： （1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：_相等 . （2）若数轴上的点 A 表示的数为 x，点 B 表示的数为1，则 A 与 B 两点间的距离 可以表示为 分析：点 B 表示的数为1，所以我们可以在
7、数轴上找到点 B 所在的位置。那么点 A 呢？ 因为 x 可以表示任意有理数，所以点 A 可以位于数轴上的任意位置。那么，如何求 出 A 与 B 两点间的距离呢？ 结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论。 当 x0，距离为 x+1 综上，我们得到 A 与 B 两点间的距离可以表示为1x （3）结合数轴求得的最小值为 5 ，取得最小值时 x 的取值范围为 -23xx 3x_2_. 分析：即 x 与 2 的差的绝对值，它可以表示数轴上 x 与 2 之间的距离。2x 即 x 与-3 的差的绝对值，它也可以表示数轴上 x 与-3 之间的距离。)3(3xx 如图，x 在数轴上的位置有三种可能： 图
8、1 图 2 图 3 图 2 符合题意 （4） 满足的的取值范围为 x-1 341xxx 分析： 同理表示数轴上 x 与-1 之间的距离，表示数轴上 x 与-4 之间的距1x4x 离。本题即求，当 x 是什么数时 x 与-1 之间的距离加上 x 与-4 之间的距离会大于 3。借助数轴，我们可以得到正确答案：x-1。 说明：借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴 上的距离问题也可以转化为绝对值问题。这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便。 事实上， 表示的几何意义就是在数轴上表示数 A 与数 B 的点之间的距离。这是BA 一个很有用的结论，我们正是利用这一结论并
9、结合数轴的知识解决了（3） 、 （4）这两道难 题。 四、四、小结小结 1理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性 2体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用 第二讲：代数式的化简求值问题第二讲：代数式的化简求值问题 一、知识链接一、知识链接 1 “代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分 式、二次根式等内容，是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。 2用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。 注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化 3求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等
10、知 识打下基础。 2008 20071 2007 2007 20072 2 223 23 aa aaa aa 二、典型例题二、典型例题 例例 1若多项式的值与 x 无关，xyxxxmx537852 222 求的值.mmmm452 22 分析：多项式的值与 x 无关，即含 x 的项系数均为零 因为8382537852 2222 yxmxyxxxmx 所以 m=4 将 m=4 代人，44161644452 222 mmmmmm 利用“整体思想”求代数式的值 例例 2 2x=-2 时，代数式的值为 8，求当 x=2 时，代数式6 35 cxbxax 的值。6 35 cxbxax 分析： 因为86 3
11、5 cxbxax 当 x=-2 时， 得到，86222 35 cba86222 35 cba 所以1468222 35 cba 当 x=2 时，=6 35 cxbxax206)14(6222 35 cba 例例 3 3当代数式的值为 7 时,求代数式的值.53 2 xx293 2 xx 分析：观察两个代数式的系数 由 得 ，利用方程同解原理，得753 2 xx23 2 xx693 2 xx 整体代人，4293 2 xx 代数式的求值问题是中考中的热点问题，它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌 握，整体代人的方法就是其中之一。 例例 4 已知，求的值.01 2 aa20072 23 aa
12、分析：解法一（整体代人）：由 得 01 2 aa0 23 aaa 所以： 2008 20071 2007 20072 20072)1 ( 20072 20072 2 22 2 22 23 aa aaa aaa aaa aa 解法二（降次）：方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型，还具有降次的功能。 由，得，01 2 aaaa1 2 所以： 解法三（降次、消元）：（消元、 、减项）1 2 aa 2008 20071 2007 2007)( 2007 20072 2 22 223 23 aa aaaa aaa aa 例例 5 （实际应用）A 和 B 两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基
13、本相同， 只有工资待遇有如下差异：A 公司，年薪一万元，每年加工龄工资 200 元；B 公司，半年 薪五千元，每半年加工龄工资 50 元。从收入的角度考虑，选择哪家公司有利？ 分析：分别列出第一年、第二年、第 n 年的实际收入（元） 第一年：A 公司 10000； B 公司 5000+5050=10050 第二年：A 公司 10200； B 公司 5100+5150=10250 第 n 年：A 公司 10000+200(n-1） ； B 公司：5000+100(n-1)+5000+100(n-1)+50 =10050+200(n-1) 由上可以看出 B 公司的年收入永远比 A 公司多 50 元
14、，如不细心考察很可能选错。 例例 6 6三个数 a、b、c 的积为负数，和为正数，且， bc bc ac ac ab ab c c b b a a x 则 的值是_ 。1 23 cxbxax 解：因为 abc0，所以 a、b、c 中只有一个是负数。 不妨设 a0，c0 则 ab0 所以 x=-1+1+1-1-1+1=0 将 x=0 代入要求的代数式，得到结果为 1。 同理，当 b0 时，即 x， 5x-2=3， 5x=5， x=1 5 2 因为 x=1 符合大前提 x，所以此时方程的解是 x=1 5 2 当 5x-2=0 时，即 x=， 得到矛盾等式 0=3，所以此时方程无解 5 2 当 5x-20 时，即 x1，x-1=-2x+1，3x=2，x= 3 2 因为 x=不符合大前提 x1，所以此时方程无解 3 2 当 x-1=0 时，即 x=1，0=-2+1，0 =-1，此时方程无解 当 x-1AD B.ACBD D. CD3 1 2 3 A B 1 E F 2 C P D 3 4 l3 l2 l1 1 2 x z y AB C F D E 10. 如图所示,L1,L2,L3交于点 O,1=2,3:1=8:1,求4 的度数.( 方程思想) 答案：36
