利用构造法巧求代数式的值

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1、利用构造法巧求代数式的值利用构造法巧求代数式的值对一些特殊代数式的值，用常规方法求往往很困难，但若利用对一些特殊代数式的值，用常规方法求往往很困难，但若利用构造法巧求则很方便快捷，下面举例说明。构造法巧求则很方便快捷，下面举例说明。1,。构造方程求值。构造方程求值例例 1：已知,求的值。220041x）（2004-2007-x432011x解：42003-22004-1 220041 ,122004-1 220041，由根与系数的关系得=02003-4-42xx又由多项式除法得=（） （x+1）-12004-2007-43xx2003-4-42xx=-1 从而得 原式=-12004-2007-

2、43xx变式题变式题：已知 a,b 为正整数，且满足，则 ab 的值为_。44922abaabb解：由变形得44922abaabbb)(a449-b)(a2aba,b 是关于 x 的方程的两个正整数根。0b)(a449-b)x(a-b)(ax22 解之得 0b)(a449-14-0ba449-b)(ab)(ab)(a222）（349ba449又由 a+b 与 ab 为整数知 a+b=16ab=60,故横线上应填 60.16449-1622.2.构造对偶式求值构造对偶式求值例例 2 2：若，求的值。82-2812 a142aaa解：令，则 b-a=,ab=82 2812 b 42 42(a+)a

3、=从而得易知 a042 42a)-(142a2且 0a1 a)-(1a24 813)(a42a)-(14218a-14222a)-(1a）（原式=2变式题：变式题：已知实数 x,y 满足则式子2011)2011-(y2011-xy22）（x=_。2012-3-32-322xyxy解：2011)2011-(y2011-xy22）（x(1) 2011- 2011-20112011-222yyxy yx(2) 2011- 2011-12011-12011-x2222yyxxy yx 由（1）+（2）得 2x=2y x=y 从而得(3) 20112011-x2x(4) 2011201120112011

4、-12011-x 22 xxx由（3）+（4）得 2011x 2011x2原式=2011-2012=-13.3.构造图形求值构造图形求值例例 3 3：代数式的最小值为_。204-2222xxxx解：原式=4)-(02)-(x1)-(01x2222 ）（此题可转化为在直角坐标系的 x 轴上找一点 P（x,o）,使得它到 A(-1,1),B(2,4)两点距离之和|PA|+|PB|取最小值。由图 1 知当 P 为线段 AB 与轴的交点时所求者最小，为：|AB|=34)4-1()2-1(22故横线上应填34图 1 图 2图 2变式题：变式题：代数式的最大值为_。54-3410-22xxxx解：=Q54-3410-22xxxx1)-(02)-(x3)-(05-2222）（x原式=，故横线上应填。131 -32-522）（）（13附练习题：附练习题：题题 1：使取最小值的实数 x 的值为_。164x)-(8x22提示：应填。38题题 2：代数式达到最小值时，x,y2016-112-44499x2222yxyyyx的值分别为_。提示：应填 56 158，原式=2y)-(41)-(33x)-(2y0)-(13x-00-2-222222）（）（设 A(-2,0),B(0,3x),C(1,2y),D(3,4)，则当且仅当点 B,C 在线段 AD 上时原式取最小 值。