六年级奥数一至十讲(教师版)

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1、 教师：王玉怀 学生： 年级： 学科： 总第 _ 次 _月 _日- 1 -小学六年级奥数教案小学六年级奥数教案0101 比较分数的大小比较分数的大小同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。比较整数、小数的大小的方法 比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况， 其中前两种情况判别大小的方法是：分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。第三种情况，即分子、分母

2、都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的 分母相同，化为第一种情况，再比较大小。由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。下面我们介绍另 外几种方法。1.“通分子”。当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以 把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。2.化为小数。这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。但在比较大小时是否简便，就 要看具体情况了。3.先约分，后比较。有时已知分数不是最简分数，可以先约分。4.根据倒数比较大小。教师：王玉怀 学

3、生： 年级： 学科： 总第 _ 次 _月 _日- 2 -5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分 数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。也就是说，6.借助第三个数进行比较。有以下几种情况：（1）对于分数 m 和 n，若 mk，kn，则 mn。（2）对于分数 m 和 n，若 m-kn-k，则 mn。前一个差比较小，所以 mn。（3）对于分数 m 和 n，若 k-mk-n，则 mn。注意，（2）与（3）的差别在于，（2）中借助的数 k 小于原来的两个分数 m 和 n；（3）中借助的数 k 大于原来的两个分数 m 和 n。（4）把两个已知分数的分母、分子

4、分别相加，得到一个新分数。新分数一定介于 两个已知分数之间，即比其中一个分数大，比另一个分数小。利用这一点，当两个已知分数不容易比较大小，新分数与其中一个已知分数容易比 较大小时，就可以借助于这个新分数。教师：王玉怀 学生： 年级： 学科： 总第 _ 次 _月 _日- 3 -比较分数大小的方法还有很多，同学们可以在学习中不断发现总结，但无论哪种方 法，均来源于：“分母相同，分子大的分数大；分子相同，分母小的分数大”这一基本方法。练习练习 1 11.比较下列各组分数的大小：答案与提示练习练习 1 1小学六年级奥数教案小学六年级奥数教案0202 巧求分数巧求分数我们经常会遇到一些分数的分子、分母发

5、生变化的题目，例如分子或分母加、减某 数，或分子与分母同时加、减某数，或分子、分母分别加、减不同的数，得到一个新分数， 求加、减的数，或求原来的分数。这类题目变化很多，因此解法也不尽相同。教师：王玉怀 学生： 年级： 学科： 总第 _ 次 _月 _日- 4 -数。分析：若把这个分数的分子、分母调换位置，原题中的分母加、减 1 就变成分子加、 减 1，这样就可以用例 1 求平均数的方法求出分子、分母调换位置后的分数，再求倒数即可。个分数。分析与解：分析与解：因为加上和减去的数不同，所以不能用求平均数的方法求解。，这个分数是多少？分析与解：分析与解：如果把这个分数的分子与分母调换位置，问题就变为：

6、这个分数是多少？于是与例 3 类似，可以求出教师：王玉怀 学生： 年级： 学科： 总第 _ 次 _月 _日- 5 -在例 1例 4 中，两次改变的都是分子，或都是分母，如果分子、分母同时变化， 那么会怎样呢？数 a。分析与解：分析与解：分子减去 a，分母加上 a，（约分前）分子与分母之和不变，等于 29+43=72。约分后的分子与分母之和变为 3+5=8，所以分子、分母约掉45-43=2。求这个自然数。同一个自然数，得到的新分数如果不约分，那么差还是 45，新分数约分后变例 7 一个分数的分子与分母之和是 23，分母增加 19 后得到一个新分数，分子与分母的和是 1+5=6，是由新分数的分子、

7、分母同时除以 426=7 得到教师：王玉怀 学生： 年级： 学科： 总第 _ 次 _月 _日- 6 -分析与解：分析与解：分子加 10，等于分子增加了 105=2（倍），为保持分数的大小不变， 分母也应增加相同的倍数，所以分母应加82=16。在例 8 中，分母应加的数是在例 9 中，分子应加的数是由此，我们得到解答例 8、例 9 这类分数问题的公式：分子应加（减）的数=分母所加（减）的数原分数；分母应加（减）的数=分子所加（减）的数原分数。分析与解：分析与解：这道题的分子、分母分别加、减不同的数，可以说是这类题中最难的， 我们用设未知数列方程的方法解答。（2x+2）3=（x+5）4，6x+6=

8、4x+20，2x=14，x=7。练习练习 2 2教师：王玉怀 学生： 年级： 学科： 总第 _ 次 _月 _日- 7 -是多少？ 答案与提示练习练习 2 25.5。解：(53+79)(4+7)=12， a=53-412=5。6.13。解：（67-22）（16-7）=5，75-22=13。教师：王玉怀 学生： 年级： 学科： 总第 _ 次 _月 _日- 8 -解：设分子为 x，根据分母可列方程小学六年级奥数教案小学六年级奥数教案0303 分数运算技巧分数运算技巧对于分数的混合运算，除了掌握常规的四则运算法则外，还应该掌握一些特殊的运 算技巧，才能提高运算速度，解答较难的问题。1.1.凑整法凑整法

9、与整数运算中的“凑整法”相同，在分数运算中，充分利用四则运算法则和运算律 （如交换律、结合律、分配律），使部分的和、差、积、商成为整数、整十数从而使运 算得到简化。教师：王玉怀 学生： 年级： 学科： 总第 _ 次 _月 _日- 9 -2.2.约分法约分法3.3.裂项法裂项法若能将每个分数都分解成两个分数之差，并且使中间的分数相互抵消，则能大大简 化运算。例例 7 7 在自然数 1100 中找出 10 个不同的数，使这 10 个数的倒数的和等于 1。分析与解：分析与解：这道题看上去比较复杂，要求 10 个分子为 1，而分母不同的教师：王玉怀 学生： 年级： 学科： 总第 _ 次 _月 _日-

10、10 -就非常简单了。括号。此题要求的是 10 个数的倒数和为 1，于是做成： 所求的 10 个数是 2，6，12，20，30，42，56，72，90，10。的 10 和 30，仍是符合题意的解。4.4.代数法代数法5.5.分组法分组法分析与解：分析与解：利用加法交换律和结合律，先将同分母的分数相加。分母为 n 的分数之 和为教师：王玉怀 学生： 年级： 学科： 总第 _ 次 _月 _日- 11 -原式中分母为 220 的分数之和依次为练习练习 3 38.在自然数 160 中找出 8 个不同的数，使这 8 个数的倒数之和等于 1。答案与提示 练习练习 3 31.3。 教师：王玉怀 学生： 年级

11、： 学科： 总第 _ 次 _月 _日- 12 -8.2，6， 8， 12， 20， 30， 42， 56。9.5680。解：从前向后，分子与分母之和等于 2 的有 1 个，等于 3 的有 2 个，等于 4 的有 3 个人一般地，分子与分母之和等于 n 的有(n-1)个。分子与分母之和小于 9+99=108 的有 1+2+3+106=5671（个），5671+9=5680（个）。小学六年级奥数教案小学六年级奥数教案0505 工程问题一工程问题一顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。其实，这类题目的内容已 不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。教师：王玉怀 学生： 年级

12、： 学科： 总第 _ 次 _月 _日- 13 -在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：工作量工作量= =工作效率工作效率工作时间，工作时间，工作时间工作时间= =工作量工作量工作效率，工作效率，工作效率工作效率= =工作量工作量工作时间。工作时间。工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数 1 表示，也可工作效率指的是干工作的快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。单位时间的选 取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量/天”，或“工作量/时”等。但 在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。例 1 单独干某项工程，甲队需

13、 100 天完成，乙队需 150 天完成。甲、乙两队合干 50 天后，剩下的工程乙队干还需多少天？分析与解：分析与解：以全部工程量为单位 1。甲队单独干需 100 天，甲的工作效例例 2 2 某项工程，甲单独做需 36 天完成，乙单独做需 45 天完成。如果开工时甲、 乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了 18 天才完成任务。问：甲队干 了多少天？分析：分析：将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干 18 天，后面的工作甲、乙两队合 干需多少天？”这样一来，问题就简单多了。答：甲队干了 12 天。教师：王玉怀 学生： 年级： 学科： 总第 _ 次 _月 _日- 14 -例例 3 3

14、 单独完成某工程，甲队需 10 天，乙队需 15 天，丙队需 20 天。开始三个队一 起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了 6 天完成这一工程。问：甲队实际工作了 几天？分析与解：分析与解：乙、丙两队自始至终工作了 6 天，去掉乙、丙两队 6 天的工作量，剩下 的是甲队干的，所以甲队实际工作了例例 4 4 一批零件，张师傅独做 20 时完成，王师傅独做 30 时完成。如果两人同时做， 那么完成任务时张师傅比王师傅多做 60 个零件。这批零件共有多少个？分析与解：分析与解：这道题可以分三步。首先求出两人合作完成需要的时间，例例 5 5 一水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管 5 时

15、可将空池灌满，单开 排水管 7 时可将满池水排完。如果一开始是空池，打开放水管 1 时后又打开排水管，那么再 过多长时间池内将积有半池水？例例 6 6 甲、乙二人同时从两地出发，相向而行。走完全程甲需 60 分钟，乙需 40 分 钟。出发后 5 分钟，甲因忘带东西而返回出发点，取东西又耽误了 5 分钟。甲再出发后多长 时间两人相遇？分析：分析：这道题看起来像行程问题，但是既没有路程又没有速度，所以不能用时间、 路程、速度三者的关系来解答。甲出发 5 分钟后返回，路上耽误 10 分钟，再加上取东西的 5 分钟，等于比乙晚出发 15 分钟。我们将题目改述一下：完成一件工作，甲需 60 分钟，乙 需 40 分钟，乙先干 15 分钟后，甲、乙合干还需多少时间？由此看出，这道题应该用工程问 题的解法来解答。答：甲再出发后 15 分钟两人相遇。教师：王玉怀 学生： 年级： 学科： 总第 _ 次 _月 _日- 15 -练习练习 5 51.某工程甲单独干 10 天完成，乙单独干 15 天完成，他们合干多少天才可完成工程 的一半？2.某工程甲队单独做需 48 天，乙队单独做需 36 天。甲队先干了 6 天后转交给乙队 干，后来甲队重新回来与乙队一起干了 10 天，将工程做完。求乙队在中间单独工作的天数。3.一条水渠，甲、乙两队合挖需 30 天完工。现在合挖 1