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1、第五章 变量数列分析,5.1 集中趋势的测定 5.2 离中趋势的测定,5.1 集中趋势的测定,一、集中趋势的涵义 二、平均指标的种类及计算方法,83名女生的身高,分布的集中趋势、中心数值,统计学第五章 变量数列分析,统计学第五章 变量数列分析,5.1 集中趋势的测定,一、集中趋势的涵义 二、平均指标的种类及计算方法,二、平均指标的种类及计算方法, 算术平均数 调和平均数 几何平均数 中位数 众数,基本形式：,例：,直接承担者, 注意区分算术平均数与强度相对数,算术平均数,统计学第五章 变量数列分析,式中： 为算术平均数; 为总体单位总数； 为第 个单位的标志值。,算术平均数的计算方法,统计学第
2、五章 变量数列分析,平均每人日销售额为：,算术平均数的计算方法,统计学第五章 变量数列分析,式中： 为算术平均数; 为第 组的次数； 为组数； 为第 组的标志值或组中值。,算术平均数的计算方法,统计学第五章 变量数列分析,【例】某企业某日工人的日产量资料如下：,计算该企业该日全部工人的平均日产量。,算术平均数的计算方法,统计学第五章 变量数列分析,解：,算术平均数的计算方法,统计学第五章 变量数列分析,分析：,起到权衡轻重的作用,算术平均数的计算方法,统计学第五章 变量数列分析,决定平均数的变动范围,算术平均数的计算方法,统计学第五章 变量数列分析,变量值与其算术平均数的离差之和衡等于零，即：
3、变量值与其算术平均数的离差平方和为最小，即：,算术平均数的主要数学性质,统计学第五章 变量数列分析,离差的概念,-1,-1,-2,1,3,统计学第五章 变量数列分析,二、平均指标的种类及计算方法, 算术平均数 调和平均数 几何平均数 中位数 众数,【例】 设X=（2，4，6，8），则其调和平均数可由定义计算如下：,再求算术平均数：,求各标志值的倒数 ： ， ， ，,再求倒数：,是总体各单位标志值倒数的算术平均数的倒数，又叫倒数平均数,调和平均数,统计学第五章 变量数列分析,A. 简单调和平均数,适用于总体资料未经分组整理、尚为原始资料的情况,式中： 为调和平均数; 为变量值 的个数； 为第 个
4、变量值。,调和平均数的计算方法,统计学第五章 变量数列分析,B. 加权调和平均数,适用于总体资料经过分组整理形成变量数列的情况,式中： 为第 组的变量值； 为第 组的标志总量。,调和平均数的计算方法,统计学第五章 变量数列分析,当己知各组变量值和标志总量时，作为算术平均数的变形使用。,因为：,调和平均数的应用,统计学第五章 变量数列分析,计算该企业该日全部工人的平均日产量。,调和平均数的应用,统计学第五章 变量数列分析,即该企业该日全部工人的平均日产量为12.1375件。,调和平均数的应用,统计学第五章 变量数列分析,求解比值的平均数的方法,由于比值（平均数或相对数）不能直接相加，求解比值的平
5、均数时，需将其还原为构成比值的分子、分母原值总计进行对比,设比值,则有：,统计学第五章 变量数列分析,求解比值的平均数的方法,统计学第五章 变量数列分析,【例A】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下：,计算该公司该季度的平均计划完成程度。,求解比值的平均数的方法,统计学第五章 变量数列分析,统计学第五章 变量数列分析,【例A】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下：,计算该公司该季度的平均计划完成程度。,求解比值的平均数的方法,应采用加权算术平均数公式计算,【例B】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下（按计划完成程度分组）：,计算该公司该季度的平均计划完
6、成程度。,求解比值的平均数的方法,统计学第五章 变量数列分析,【例B】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下（按计划完成程度分组）：,计算该公司该季度的平均计划完成程度。,求解比值的平均数的方法,应采用平均数的基本公式计算,统计学第五章 变量数列分析,二、平均指标的种类及计算方法, 算术平均数 调和平均数 几何平均数 中位数 众数,统计学第五章 变量数列分析,式中： 为几何平均数; 为变量值的个数； 为第 个变量值。,几何平均数的计算方法,统计学第五章 变量数列分析,【例】某流水生产线有前后衔接的五道工序。某日各工序产品的合格率分别为95、92、90、85、80，求整个流水生产线产
7、品的平均合格率。,分析：,设最初投产100A个单位 ，则 第一道工序的合格品为100A0.95； 第二道工序的合格品为（100A0.95）0.92； 第五道工序的合格品为 （100A0.950.920.900.85）0.80；,统计学第五章 变量数列分析,因该流水线的最终合格品即为第五道工序的合格品， 故该流水线总的合格品应为 100A0.950.920.900.850.80； 则该流水线产品总的合格率为：,即该流水线总的合格率等于各工序合格率的连乘积，符合几何平均数的适用条件，故需采用几何平均法计算。,统计学第五章 变量数列分析,因该流水线的最终合格品即为第五道工序的合格品， 故该流水线总的
8、合格品应为 100A0.950.920.900.850.80； 则该流水线产品总的合格率为：,即该流水线总的合格率等于各工序合格率的连乘积，符合几何平均数的适用条件，故需采用几何平均法计算。,统计学第五章 变量数列分析,思考,若上题中不是由五道连续作业的工序组成的流水生产线，而是五个独立作业的车间，且各车间的合格率同前，又假定各车间的产量相等均为100件，求该企业的平均合格率。,几何平均数的计算方法,统计学第五章 变量数列分析,因各车间彼此独立作业，所以有第一车间的合格品为：1000.95；第二车间的合格品为：1000.92；第五车间的合格品为：1000.80。 则该企业全部合格品应为各车间合
9、格品的总和，即 总合格品=1000.95+1000.80,几何平均数的计算方法,分析：,统计学第五章 变量数列分析,不再符合几何平均数的适用条件，需按照求解比值的平均数的方法计算。又因为,应采用加权算术平均数公式计算，即,统计学第五章 变量数列分析,式中： 为几何平均数; 为第 组的次数； 为组数； 为第 组的标志值或组中值。,几何平均数的计算方法,统计学第五章 变量数列分析,【例】某金融机构以复利计息。近12年来的年利率有4年为3，2年为5，2年为8，3年为10，1年为15。求平均年利率。,设本金为V，则至各年末的本利和应为：,第1年末的本利和为：,第2年末的本利和为：, ,第12年末的本利
10、和为：,分析：,统计学第五章 变量数列分析,则该笔本金12年总的本利率为：,即12年总本利率等于各年本利率的连乘积，符合几何平均数的适用条件，故计算平均年本利率应采用几何平均法。,解：,统计学第五章 变量数列分析,几何平均数的计算方法,分析,第1年末的应得利息为：,第2年末的应得利息为：,第12年末的应得利息为：, ,统计学第五章 变量数列分析,则该笔本金12年应得的利息总和为： =V（0.034+0.052+0.151）,这里的利息率或本利率不再符合几何平均数的适用条件，需按照求解比值的平均数的方法计算。因为,假定本金为V,统计学第五章 变量数列分析,所以，应采用加权算术平均数公式计算平均年
11、利息率，即：,解：,统计学第五章 变量数列分析,（比较：按复利计息时的平均年利率为6.85）,是否为比率 或速度,各个比率或速 度的连乘积是否等于总比 率或总速度,是否为 其他比值,算术平均法,求解比值的平均数的方法,数值平均数计算公式的选用顺序,指标,统计学第五章 变量数列分析,二、平均指标的种类及计算方法, 算术平均数 调和平均数 几何平均数 中位数 众数,不受极端数值的影响，在总体标志值差异很大时，具有较强的代表性。,中位数的作用：,二、平均指标的种类及计算方法,中位数的位次为：,即第3个单位的标志值就是中位数,中位数的确定,（未分组资料）,统计学第五章 变量数列分析,中位数的位次为：,
12、中位数应为第3和第4个单位标志值的算术平均数，即,中位数的确定,（未分组资料）,统计学第五章 变量数列分析,【例C】某企业某日工人的日产量资料如下：,计算该企业该日全部工人日产量的中位数。,中位数的位次：,中位数的确定,（单值数列）,统计学第五章 变量数列分析,中位数的确定,（组距数列）,【例D】某车间50名工人月产量的资料如下：,计算该车间工人月产量的中位数。,统计学第五章 变量数列分析,中位数的确定,共 个单位,共 个单位,共 个单位,共 个单位,L,U,中位数组,组距为d,共 个单位,假定该组内的单位呈均匀分布,中位数下限公式为,统计学第五章 变量数列分析,（组距数列）,二、平均指标的种
13、类及计算方法, 算术平均数 调和平均数 几何平均数 中位数 众数,二、平均指标的种类及计算方法,【例A】已知某企业某日工人的日产量资料如下:,众数的确定,（单值数列）,计算该企业该日全部工人日产量的众数。,统计学第五章 变量数列分析,众数的确定,（组距数列）,【例B】某车间50名工人月产量的资料如下：,计算该车间工人月产量的众数。,众数的原理及应用,83名女生身高原始数据,83名女生身高组距数列,统计学第五章 变量数列分析,当数据分布存在明显的集中趋势，且有显著的极端值时，适合使用众数； 当数据分布的集中趋势不明显或存在两个以上分布中心时，不适合使用众数（前者无众数，后者为双众数或多众数，也等
14、于没有众数）。,众数的原理及应用,统计学第五章 变量数列分析,第五章 变量数列分析,5.1 集中趋势的测定 5.2 离中趋势的测定,单位：分,某班三名同学三门课程的成绩如下：,请比较三名同学学习成绩的差异。,统计学第五章 变量数列分析,集中趋势弱、离中趋势强,集中趋势强、离中趋势弱,统计学第五章 变量数列分析,5.2 离中趋势的测定,一、离中趋势的涵义 二、标志变异指标的种类及计算 三、是非标志的标准差及方差,变异指标值越大，平均指标的代表性越小；反之，平均指标的代表性越大,统计学第五章 变量数列分析,测定离中趋势的意义,用来衡量和比较平均数代表性的大小； 用来反映社会经济活动过程的均衡性和节奏性； 用来测定变量数列次数分布较正态分布的偏离程度。,统计学第五章 变量数列分析,5.2 离中趋势的测定,一、离中趋势的涵义 二、标志变异指标的种类及计算 三、是非标志的标准差及方差,标志变异指标的种类,统计学第五章 变量数列分析,统计学第五章 变量数列分析,【例B】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下：,计算该公司该季度计划完成程度的全距。,统计学第五章 变量数列分析,优点:计算方法简单、易懂； 缺点:易受极端数值的影响，不能全面反映所有标志值差异大小及分布状况，准确程度差,往往应用于生产过程的质量控制中,全距的特点,
