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1、 第二章:实数第二章:实数知识梳理知识梳理1.1.平方根平方根如果一个数 x 的平方等于 a,那么,这个数 x 就叫做 a 的平方根;即:当时,我们称 x 是 a 的平方根,记做:。因此:)0(2aax)0( aax(1)当 a=0 时,它的平方根只有一个,也就是 0 本身;(2)当 a0 时,也就是 a 为正数时,它有两个平方根,且它们是互为相反数,通常记做:。ax(3)当 a0 时,也即 a 为负数时,它不存在平方根。例例 1.1.(1) 的平方是 64,所以 64 的平方根是 ;(2) 的平方根是它本身。(3)若的平方根是2,则 x= ;的平方根是 x16(4)当 x 时,有意义。x23
2、(5)一个正数的平方根分别是 m 和 m-4,则 m 的值是多少?这个正数是多少?2.2.算术平方根算术平方根(1)如果一个正数正数 x 的平方等于 a,即,那么,这个正数 x 就叫做 aax 2的算术平方根,记为:“” ,读作, “根号 a” ,其中,a 称为被开方a数。特别规定:0 的算术平方根仍然为 0。(2)算术平方根的性质:具有双重非负性,即:。)0(0aa(3)算术平方根与平方根的关系:算术平方根是平方根中正的一个值,它与它的相反数共同构成了平方根。因此,算术平方根只有一个值,并且是非负数,它只表示为:;而平方根具有两个互为相反数的值,表示为:。aa例例 1.1.(1)下列说法正确
3、的是 ( )A.1 的算数平方根是 B.;C.的平方根是 D.0 没有平方根 124813(2)下列各式正确的是( )A. B. C. D.98114. 314. 33927235(3)的算术平方根是 。2)3((4)若有意义,则_。xx1x(5)已知ABC 的三边分别是且满足,求 c 的,cbaba,0)4(32ba取值范围。(6) (提高题)如果 x、y 分别是 4的整数部分和小数部分。求 x y 的3值.3.3.立方根立方根(1)如果 x 的立方等于 a,那么,就称 x 是 a 的立方根,或者三次方根。记做:,读作,3 次根号 a。注意:这里的 3 表示的是开根的次数。一3a般的,平方根
4、可以省写根的次数,但是,当根的次数在两次以上的时候,则不能省略。(2)平方根与立方根:每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根;但是,并不是每个数都有平方根,只有非负数才能有平方根。例例 3.3. (1)64 的立方根是 (2)若,则 b 等于( ) 9 .28,89. 233abaA. 1000000 B. 1000 C. 10 D. 10000(3)下列说法中:都是 27 的立方根,的立方根是3yy33642,。4832其中正确的有 ( )A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个(4)已知:A=是的算术平方根,B=是yxyx33 yx322yxyx的立方根。求 AB 的平方根。yx
5、24.4.无理数无理数(1)无限不循环小数叫做无理数;它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。在初中阶段,无理数的表现形式主要包含下列几种:特殊意义的数,如:圆周率以及含有的一些数,如:2-,3等;开方开不尽的数,如:等;39,5,2特殊结构的数:如:2.010 010 001 000 01(两个 1 之间依次多1 个 0)等。应当要注意的是:带根号的数不一定是无理数,如:等;无理数也不一定带根号,如:9(2)有理数与无理数的区别:有理数指的是有限小数和无限循环小数,而无理数则是无限不循环小数;所有的有理数都能写成分数的形式(整数可以看成是分母为 1 的分数) ,而无理数则不能写成分数形式
6、。例例 4.4.(1)下列各数:3.141、0.33333、75 、0.3030003000003(相邻两个 3 之间 0 的个数逐252. 32 次增加 2) 、其中是有理数的有;是无理数的有。 (填序号)(2)有五个数:0.125125,0.1010010001,-,其中无理数有 432( )个A 2 B 3 C C 4 D 5 4.4.实数实数(1)有理数与无理数统称为实数。在实数中,没有最大的实数,也没有最小的实数;绝对值最小的实数是 0,最大的负整数是-1。(2)实数的性质:实数 a 的相反数是-a;实数 a 的倒数是(a0) ;实数 aa1的绝对值|a|=,它的几何意义是:在数轴上
7、的点到原点的距离。 )0()0(aaaa(3)实数的大小比较法则:实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同:即正数大于 0,0 大于负数;正数大于负数;两个正数,绝对值大的就大,两个负数,绝对值大的反而小。 (在数轴上,右边的数总是大于左边的数) 。对于一些带根号的无理数,我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。(4)实数的运算:在实数范围内,可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一致。例例 5.5.(1)下列说法正确的是( ) ;A、任何有理数均可用分数形式表示 ; B、数轴上的点与有理数一一对应 ;C、1 和 2 之间的无理数只有 ; D、不带根号
8、的数都是有理数。2(2)a,b 在数轴上的位置如图所示,则下列各式有意义的是( )A、 B、 C、 D、ba abba ab (3)比较大小(填“”或“0,则 ab=1;( )2把下列各数分别填入相应的集合里|3|,213,1234,,0,, , 22 7931 8 28()0,32,ctg45,1.2121121112 中23无理数集合 负分数集合 整数集合 非负数集合 *3已知 10,且 y|x|,用“连结 x,x,|y|,y。10最大负整数、最小的正整数、最小的自然数、绝对值最小的实数各是什么?11绝对值、相反数、倒数、平方数、算术平方根、立方根是它本身的数各是什么?12把下列语句译成式
9、子:(1)a 是负数 ;(2)a、b 两数异号 ;(3)a、b 互为相反数 ;(4)a、b 互为倒数 ;(5)x 与 y 的平方和是非负数 ;(6)c、d 两数中至少有一个为零 ;(7)a、b 两数均不为 0 。*13.数轴上作出表示,的点。235四独立训练:四独立训练:10 的相反数是 ,3 的相反数是 , 的相反数是 38; 的绝对值是 ,0 的绝对值是 ,的倒数23是 2数轴上表示32 的点它离开原点的距离是 。A 表示的数是 ,且 AB ,则点 B 表示的数是 。1 21 3,(1)0 0,01313, 31 ,1101001000 33222 7(两 1 之间依次多一个 0),中无理
10、数有 ,整数有 ,负数有 。4. 若 a 的相反数是 27,则a| ;5若|a|,则 a= 25若实数 x,y 满足等式(x3)24y0,则 xy 的值是 6实数可分为( )(A)正数和零(B)有理数和无理数(C)负数和零 (D)正数和负数*7若 2a 与 1a 互为相反数,则 a 等于( )(A)1 (B)1 (C) (D)1 21 38当 a 为实数时,=a 在数轴上对应的点在( )a2(A)原点右侧(B)原点左侧(C)原点或原点的右侧(D)原点或原点左侧*9代数式的所有可能的值有( ) (A)2 个 (B)3 个 (C)4 个 (D)无数个10已知实数 a、b 在数轴上对应点的位置如图(1)比较 ab 与 a+b 的大小 (2)化简|ba|+|a+b|11实数、在数轴上的对应点如图所示,其中试化简:2*12已知等腰三角形一边长为,一边长,且(2)2920 。求它的周长。13若 3,5 为三角形三边,化简:(2)2(8)2