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1、信号与系统,第四章 连续系统的频域分析,3,4.1 信号分解为正交函数,正交函数与正交矢量具有类似的概念 任意矢量可以分解为相互正交的矢量之和，函数亦有类似的结论。,4,函数正交,在区间 (t1, t2) 内有两个函数 1(t) 和 2(t)，若满足则称函数 1(t) 和 2(t) 在区间 (t1, t2) 内正交。,5,正交函数集,正交函数集如果有 n 个函数 i(t)，i = 1, 2, , n 构成一个函数集，当这些函数在区间 (t1, t2) 内满足则称此函数集为在 (t1, t2) 内的正交函数集。正交信号空间在 (t1, t2) 内相互正交的n 个函数 构成正交信号空间。,6,完备
2、正交函数集,在正交函数集 i(t)，i = 1, 2, , n 之外，若不存在函数 (t) 满足等式则称该函数集为完备正交函数集。函数 (t) 应满足条件,7,正交的三角函数集 (1),以上这些函数在区间 (t0, t0 + T ) 内构成正交函数集。,8,正交的三角函数集 (2),9,沃尔什函数,10,复函数的正交,若复函数集 i(t)，i = 1, 2, , n 在区间 (t1, t2) 内满足则称该复函数集为正交函数集。复函数集 ejnt，n = ,-2,-1,0,1, 2, 在区间 (t0, t0 + T ) 内为完备的正交函数集，即,11,信号分解为正交函数,设正交函数集 i(t)，
3、i = 1, 2, , n 在区间 (t1, t2) 内构成正交函数空间。用这 n 个函数的线性组合去逼近信号 f (t) ：由此带来的均方误差为,12,使均方误差最小 (1),13,使均方误差最小 (2),14,计算均方误差,15,均方误差分析,正交函数的项数 n 越大，均方误差越小。当 n 趋于无穷时，均方误差为零，即：帕塞瓦方程函数的分解,16,4.2 傅里叶级数,周期信号的定义区间：(，) 周期信号的定义：f (t) = f (t + mT ) m 为任意整数；T 为周期，其倒数为频率。 周期信号可在一个周期内展开成完备正交信号空间中的无穷级数：若构成完备正交信号空间的函数集为三角函数
4、集或复指数函数集，则展开的级数为傅里叶级数。,17,周期信号的分解,周期为 T 的周期信号 f (t) 可分解为傅里叶级数：,18,傅里叶系数,傅里叶系数为 n 和 的函数。 称为角频率系数 an 为 n 的偶函数，即系数 bn 为 n 的奇函数，即,19,三角形傅里叶级数的另一种形式(1),将同频率项合并：上式中,20,三角形傅里叶级数的另一种形式(2),于是，三角形傅里叶级数的另一种形式为上式中幅度 An 为 n 的偶函数，即相位 n 为 n 的奇函数，即,21,周期正方波信号的傅里叶级数(1),22,周期正方波信号的傅里叶级数(2),23,周期正方波信号的傅里叶级数(3),24,周期正方
5、波信号的傅里叶级数(4),25,周期正方波信号的傅里叶级数(5),26,偶函数的傅里叶级数(1),27,偶函数的傅里叶级数(2),28,偶函数的傅里叶级数(3),29,偶函数的傅里叶级数(4),30,奇函数的傅里叶级数(1),31,奇函数的傅里叶级数(2),32,奇函数的傅里叶级数(3),33,奇函数的傅里叶级数(4),34,任意函数分解为偶函数与奇函数之和(1),35,任意函数分解为偶函数与奇函数之和(2),36,奇谐函数（半波对称）的傅里叶系数,对于奇谐函数，傅里叶级数展开中只含有奇次谐波分量，而所有偶次谐波分量均为零，即,37,正方波为奇谐函数,38,傅里叶级数的指数形式,39,傅里叶级
6、数的指数形式,上式中，,40,指数形式傅里叶级数的系数,指数形式傅里叶级数,例如:,42,周期矩形脉冲,43,周期矩形脉冲的傅里叶级数系数,44,4.3 周期信号的频谱,周期信号可分解为一系列正弦信号之和周期信号也可一系列虚指数信号之和幅度频谱：以频率或角频率为横坐标，以各谐波幅度为纵坐标过程的图，称为幅度频谱。 相位频谱：以频率或角频率为横坐标，以各谐波相角为纵坐标过程的图，称为相位频谱。,45,频谱图,46,周期矩形脉冲,47,周期矩形脉冲的傅里叶级数及频谱图,48,脉冲宽度与频谱的关系,49,周期与频谱的关系,50,周期信号的频谱小结,周期信号的频谱是离散的，间隔为， 频谱过零点。在 处
7、，频谱过零点。 频带宽度零频率到第一个零点处的频率宽度，称为频带宽度。频谱与的关系（T保持不变）变小，则频带宽度变大， 变小，间隔 不变。频谱与周期T的关系（ 保持不变）T变大，则频宽不变， 变小，间隔 变小。,51,周期信号的平均功率,52,帕塞瓦恒等式,由于且 为 n 的偶函数，故有该等式称为帕塞瓦恒等式，它表明，在时域中求得的信号功率与在频域中求得的信号功率恒相等。,53,4.4 非周期信号的频谱,当 T 时，离散谱变为连续谱，各频率分量趋于无穷小，但相互之间的比例关系不变。,54,频谱密度,频谱密度由傅里叶级数系数到频谱密度由傅里叶级数到傅里叶积分,55,傅里叶变换的定义,傅里叶变换、
8、分析,傅里叶逆变换、综合,傅里叶变换对,56,频谱密度函数的其他表示形式,极坐标表示实部虚部表示,57,傅里叶逆变换的三角函数表示,58,傅里叶变换存在的充分条件,59,门函数,60,门函数的傅里叶变换,61,门函数的频谱,62,单边指数函数,63,单边指数函数的傅里叶变换,64,单边指数函数的频谱,65,双边指数函数(1),66,双边指数函数(1)的傅里叶变换,67,双边指数函数(1)的频谱图,68,双边指数函数(2),69,双边指数函数(2)的傅里叶变换,70,双边指数函数(2)的频谱图,71,冲激函数的频谱,72,冲激函数为矩形脉冲的极限,冲激函数 (t) 可以看成幅度为 1/ 的门函数
9、 g(t) 在 时的极限，即于是,73,冲激偶的频谱,由于故,74,单位直流信号的频谱(1),单位直流信号不满足绝对可积条件，但其傅里叶变换存在。 考察双边指数函数当 a 0 时，该信号趋于单位直流信号。 f1(t) 频谱为,75,单位直流信号的频谱(2),F1( j) 的极限F1( j)的强度,76,单位直流信号的频谱(3),F( j) 是冲激函数单位直流信号的频谱,77,单位符号函数的频谱(1),78,单位符号函数的频谱(2),f2(t) 频谱为当 a 0 时，F1( j) 趋于符号函数的频谱sgn(t) 的频谱为,79,单位符号函数的频谱(3),80,阶跃函数的频谱(1),阶跃函数可表示
10、成直流信号与符号函数之和阶跃函数的傅里叶变换,81,阶跃函数的频谱(2),82,4.5 傅里叶变换的性质,线性若则有,83,傅里叶变换的性质：奇偶性(1),傅里叶变换的三种表示方法上式中,84,傅里叶变换的性质：奇偶性(2),当 f (t) 为实函数时即：当信号为实函数时，其傅里叶变换的实部和模是偶函数，而其虚部和相位是奇函数。,85,傅里叶变换的性质：奇偶性(3),当 f (t) 为实偶函数时当 f (t) 为实偶函数时,86,傅里叶变换的性质：奇偶性(4),实函数 f ( t) 的傅里叶变换,87,傅里叶变换的性质：奇偶性(5),任意一个实信号都可以分解成偶函数与奇函数之和,88,傅里叶变
11、换的性质：奇偶性(6),一实信号的偶分量与其频谱的实部构成傅里叶变换对一实信号的奇分量与其频谱的虚部构成傅里叶变换对,89,傅里叶变换的性质：对称性,若 则 证明：,90,例1：对称性,91,例2：对称性,92,例3、4：对称性,例3例4,93,傅里叶变换的性质：尺度变换,证明：（当 a 0 ）（当 a 0 ）,94,傅里叶变换的性质：时移特性,证明：另：,95,傅里叶变换的性质：频移特性,例：,96,傅里叶变换的性质：时域卷积定理,证明,97,傅里叶变换的性质：频域卷积定理,98,例5：时域卷积定理,99,例6：求 的傅里叶变换,100,傅里叶变换的性质：时域微分定理,若则证明,101,傅里
12、叶变换的性质：时域积分定理,若 则 证明当,102,例7：时域微分,103,傅里叶变换的性质：频域微分和积分,频域微分若 则 频域积分若 则当,104,例8：求 的傅里叶变换,105,例9：求 Sa(t) 的傅里叶变换(1),106,例9：求 Sa(t) 的傅里叶变换(2),107,信号的能量谱(1),信号的能量 实信号的能量 信号能量与频谱的关系,108,信号的能量谱(2),帕塞瓦尔方程能量密度谱,109,信号的功率谱,信号的平均功率 实信号的平均功率功率密度函数,110,小结,教材P410卷积积分表P411-412周期信号的傅里叶级数表P414-415信号的傅里叶变换表（表一、表二）P16
13、1傅立叶变换的性质（表4-2）,111,4.6 周期信号的傅里叶变换,112,周期信号的傅里叶变换,将周期为 T 的周期信号 f (t) 展开成傅里叶级数信号 f (t)的傅里叶变换为,113,例1：周期矩形脉冲的傅里叶变换,114,例1：周期矩形脉冲的傅里叶变换（续）,115,傅里叶级数系数与傅里叶变换的关系,116,4.7 ：LTI 系统的频域分析,设：LTI 系统的冲激响应为 h(t)，系统激励为 f (t) = ejt， 那么，系统响应为上式中，H( j) 为系统的频率响应。,117,系统对任意信号的响应,118,系统的频率响应,119,频域分析与时域分析的关系,120,4.7.1 频
14、率响应,频率响应实例一系统的输入信号为 f (t) = 2 + 4cos(10t) + 4cos(20t)系统的频率响应如图所示，求系统的输出信号。,121,4.7.1 频率响应,频率响应实例一（续）,122,4.7.1 频率响应,频率响应实例一（再续）,直流分量不变(H(0)=1)； 基波分量衰减且发生相移; 二次谐波被滤除。,123,4.7.1 频率响应,频率响应实例二描述系统的微分方程为求输入为 时的系统响应*。 解：,对方程取傅里叶变换,124,4.7.1 频率响应,频率响应实例三描述系统的微分方程为求输入为 时的系统响应*。 解：,125,4.7.2 无失真传输,无失真传输的概念信号
15、经系统传输后，只有幅度大小的变化和时间上的延迟，没有波形上的变化。 无失真传输的时域描述设输入信号为 f (t)，则经系统无失真传输后的输出信号为y (t) = K f (t td ) 无失真传输的输出信号频谱,126,4.7.2 无失真传输,无失真传输系统的频率响应无失真传输系统的延迟时间无失真传输系统的单位冲激响应h (t) = K (t td ),127,4.7.3 理想低通滤波器的响应,理想低通滤波器的频率响应,问题：理想低通滤波器的冲激响应？,截止频率：c 通带：| c,128,4.7.3 理想低通滤波器的响应,理想低通滤波器的冲激响应,理想低通滤波器的阶跃响应,129,4.6(3)(6) 4.7(a)(b) 4.13(a)(b) 4.14 4.21(1)(2)(5) 4.30(2),
