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1、1.函数与方程的关系(会借助图象解决有关根个数的问题). 2.数学建模(把实际问题转化成数学问题). 3.能熟练解决有关函数零点的问题并能用二分法求相应方程的近似解. 4.数形结合思想在解答数学问题中的应用.,学案7 函数与方程及函数的实际应用,1.(2009福建)函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象关于直线 对称.据此可推测，对任意的非零实数a,b,c,m,n,p关于x的方程mf(x)2+nf(x)+p=0的解集不可能是 （ ）A.1,2 B.1,4C.1,2,3,4 D.1,4,16,64 解析 本题用特例法解决简洁快速,对方程mf(x)2+nf(x)+p=0中m,n,p分别赋值求
2、出f(x)代入f(x)=0求出检验即得.,D,2.(2008安徽)若函数f(x)、g(x)分别为R上的奇函数、偶函数,且满足f(x)-g(x)=ex，则有 （ ）A.f(2)f(3)g(0) B.g(0)f(3)f(2)C.f(2)g(0)f(3) D.g(0)f(2)f(3) 解析 由题意得f(-x)-g(-x)=e-x，又f(x)为奇函数，g(x)为偶函数,所以上式可化为-f(x)-g(x)=e-x,与已知f(x)-g(x)=ex联立得所以f(x)在定义域R上为增函数,所以0=f(0)f(2)f(3).又g(0)=-10,所以g(0)f(2)f(3）.,D,3.(2009北京)已知函数 若
3、f(x)=2,则x=_. 解析 ,log32,4.若函数f(x)为奇函数,当x0时,f(x)=-lg(-x)+x+3,已知f(x)=0有一个根为x0，且x0(n,n+1),nN*,则n的值为_. 解析 设x0,则-x0,所以f(-x)=-lg x-x+3,又因为函数f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),则x0时,f(x)=lg x+x-3,又f(x)在(0,+)上是增函数,由f(2)=lg 2-10,f(3)=lg 30, 所以x0(2,3)，则n=2.,2,题型一 函数的零点 【例1】(2009山东)已知定义在R上的奇函数f(x)，且满足f(x-4)=-f(x),且在区间0,2上是增
4、函数,若方程f(x)=m (m0)在区间-8,8上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=_. 解析 因为定义在R上的奇函数,满足f(x-4)=-f(x),所以f(x-4)=f(-x),所以函数图象关于直线x=-2对称且f(0)=0,由f(x-4)=-f(x)知f(x-8)=f(x),所以函数是以8为周期的周期函数,又因为f(x)在区间0,2上是增函数,所以f(x)在区间-2，0上也是增函数.,如图所示，那么方程f(x)=m (m0)在区间-8,8上 有四个不同的根x1,x2,x3,x4,不妨设x1x2x3x4， 由对称性知，x1+x2=-12,x3+x4=4, 所以x
5、1+x2+x3+x4=-12+4=-8. 答案 -8,【探究拓展】根据函数零点与方程的根之间的关系，可以求解有关一元二次方程的根的分布问题,也可利用零点的存在性定理来确定,即判断某个区间两端点的函数值的符号来断定零点的存在及零点的个数.数形结合也是处理这一类型问题的好方法.,变式训练1 设定义域为R的函数若关于x的方程f2(x)+af(x)+b=0有三个不同的实根x1,x2,x3,则 的值为_. 解析 由图象可知若方程f2(x)+af(x)+b=0有三个不同的实根只须f(x)=1,所以必有一根为2,另两根是方程的根,这两根分别是1和3.,14,题型二 函数思想的应用 【例2】已知二次函数f(x
6、)=ax2+bx+c,(1)若abc,且a+b+c=0,试证明f(x)=0必有两个实根;(2)若对x1，x2R且x1x2，f(x1)f(x2),试证明方程f(x)= f(x1)+f(x2)有两不等实根,且必有一个实根属于(x1,x2). 证明 (1)若abc,a+b+c=0,则a0,c0,且b=-(a+c),所以方程f(x)=0可化为:ax2-(a+c)x+c=0,即a(x-1)(x - )=0,则f(x)=0有两根x1=1,x2=,(2)令g(x)=f(x)- f(x1)+f(x2), 由题意可知:g(x)是开口向上的二次函数, 又g(x1)= f(x1)-f(x2), g(x2)= f(x
7、2)-f(x1), 且x1x2,f(x1)f(x2), 所以g(x1)g(x2)= f(x1)-f(x2)20,当k1时,方程(*)有一解=4-4m(1-k)=0,【探究拓展】此题考查了函数的零点、最值、一元二次方程等基础知识，运用导数研究函数的性质的方法，体现了函数与方程，分类与整合的数学思想方法.,变式训练3 已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.(1)若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);(2)设有且仅有一个实根x0,使得f(x0)=x0,求函数f(x)的解析表达式. 解 (1)因为对任意xR,有f(f(x)-x2+x)=f(x
8、)-x2+x.所以f(f(2)-22+2)=f(2)-22+2.又由f(2)=3,得f(3-22+2)=3-22+2,即f(1)=1,若f(0)=a,则f(a-02+0)=a-02+0,即f(a)=a.,(2)因为对任意xR,有f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)=x0. 所以对任意xR,有f(x)-x2+x=x0.在上式中令x=x0,有f(x0)- +x0=x0.又因为f(x0)=x0,所以x0- =0,故x0=0或x0=1,若x0=0,则f(x)-x2+x=0,即f(x)=x2-x.但方程x2-x=x有两个不相同实根,与题设条件矛盾.故x
9、00.若x0=1,则有f(x)-x2+x=1,即f(x)=x2-x+1.易验证该函数满足题设条件.综上,所求函数f(x)=x2-x+1 (xR).,题型四 函数的实际应用 【例4】(2009山东)两县城A和B相距20 km,现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧 上选择一点C建造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关,对城A和城B的总影响度为对城A与对城B的影响之和,记C点到城A的距离为x km,建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明:垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4;对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，
10、比例系数为k,当垃圾处理厂建在弧 的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.,(1)将y表示成x的函数; (2)讨论(1)中函数的单调性,并判断弧 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小?若存在,求出该点到城A的距离;若不存在,说明理由. 解 (1)如图所示,由题意知ACBC,即ACB=90,AC=x km，BC2=400-x2,其中当 时,y=0.065,所以k=9. 所以y表示成x的函数为,18x4=8(400-x2)2,所以x2=160, x= ,当0x 时,18x48(400-x2)2, 即y0,所以函数为单调减函数, 当 x20时,18x48(400-x
11、2)2,即y0, 所以函数为单调增函数.,所以当x= 时,即当C点到城A的距离为 时,【探究拓展】本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题.,变式训练4 (2009湖南)某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距m米,余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩,经预测,一个桥墩的工程费用为256万元,距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+ )x万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为y万元. (1)试写出y关于x的函数关系式; (2)当m=640米时,需新建多少个桥墩才能使
12、y最小?,解 (1)设需要新建n个桥墩,(n+1)x=m,令f(x)=0,得 所以x=64. 当0x64时，f(x)0,f(x)在区间(0,64)内为减 函数; 当64x640时,f(x)0, f(x)在区间(64,640)内为增函数, 所以f(x)在x=64处取得最小值, 此时, 故需新建9个桥墩才能使y最小.,【考题再现】(2009江西)设函数f(x)=x3- x2+6x-a.(1)对于任意实数x,f(x)m恒成立,求m的最大值;(2)若方程f(x)=0有且仅有一个实根,求a的取值范围. 【解题示范】解 (1)f(x)=3x2-9x+6=3(x-1)(x-2), 2分因为x(-,+),f(x)m,即3x2-9x+(6-m)0恒成立, 4分所以=81-12(6-m)0,得m即m的最大值为 6分,(2)因为当x1时,f(x)0; 当1x2时,f(x)0; 当x2时,f(x)0; 所以当x=1时,f(x)取极大值f(1)= -a; 9分 当x=2时,f(x)取极小值f(2)=2-a; 10分 故当f(2)0或f(1)0时,方程f(x)=0仅有一个实根. 解得a2或a 12分,
