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1、五年级奥数专题二十五年级奥数专题二十:多边形的面积多边形的面积关键词关键词：多边 正方 面积 边长 周长 多边形 奥数 正方形 之和 厘米我们已经学习过三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形以及圆、扇形等基本图形的面积计算，图形及计算公式如下：正方形面积正方形面积=边长边长边长边长=a2，长方形面积长方形面积=长长宽宽=ab，平行四边形面积平行四边形面积=底底高高=ah，圆面积圆面积=半径半径半径半径=r2，扇形面积扇形面积=半径半径半径半径圆心角的度数圆心角的度数360在实际问题中，我们遇到的往往不是基本图形，而是由基本图形组合、拼凑成的组合图形，它们的面积不能直接用公式计算。在本讲和后面
2、的两讲中，我们将学习如何计算它们的面积。例例 1 小两个正方形组成下图所示的组合图形。已知组合图形的周长是 52 厘米，DG=4 厘米，求阴影部分的面积。分析与解分析与解：组合图形的周长并不等于两个正方形的周长之和，因为 CG 部分重合了。用组合图形的周长减去 DG，就得到大、小正方形边长之和的三倍，所以两个正方形的边长之和等于（52-4）3=16（厘米）。又由两个正方形的边长之差是 4 厘米，可求出大正方形边长=（16+4）2=10（厘米），小正方形边长=（16-4）2=6（厘米）。两个正方形的面积之和减去三角形 ABD 与三角形 BEF 的面积，就得到阴影部分的面积。102+62-（101
3、02）-（10+6）62=38（厘米2）。例例 2 如左下图所示，四边形 ABCD 与 DEFG 都是平行四边形，证明它们的面积相等。分析与证明：分析与证明：这道题两个平行四边形的关系不太明了，似乎无从下手。我们添加一条辅助线，即连结 CE（见右上图），这时通过三角形 DCE，就把两个平行四边形联系起来了。在平行四边形 ABCD 中，三角形 DCE 的底是 DC，高与平行四边形 ABCD 边DC 上的高相等，所以平行四边形 ABCD 的面积是三角形 DCE 的两倍；同理，在平行四边形 DEFG 中，三角形 DCE 的底是 DE，高与平行四边形 DEFG 边 DE 上的高相等，所以平行四边形 D
4、EFG 的面积也是三角形 DCE 的两倍。两个平行四边形的面积都是三角形 DCE 的两倍，所以它们的面积相等。例例 3 如左下图所示，一个腰长是 20 厘米的等腰三角形的面积是 140 厘米2，在底边上任意取一点，这个点到两腰的垂线段的长分别是 a 厘米和 b 厘米。求 a+b 的长。分析与解分析与解：a，b 与三角形面积的关系一下子不容易看出来。连结等腰三角形的顶点和底边上所取的点，把等腰三角形分为两个小三角形，它们的底都是 20 厘米，高分别为 a 厘米和 b 厘米（见右上图）。大三角形的面积与 a，b 的关系就显露出来了。根据三角形的面积公式，两个小三角形的面积分别为 20a2 和 20
5、b2。因为这两个小三角形的面积之和等于原等腰三角形的面积，所以有20a2+20b2=140，10（a+b）=140，a+b=14（厘米）。在例 2、例 3 中，通过添加辅助线，使图形间的关系更清晰，从而使问题得解。下面再看一例。例例 4 如左下图所示，三角形 ABC 的面积是 10 厘米2，将 AB，BC，CA 分别延长一倍到 D，E，F，两两连结 D，E，F，得到一个新的三角形 DEF。求三角形 DEF 的面积。分析与解分析与解：想办法沟通三角形 ABC 与三角形 DEF 的联系。连结 FB（见右上图）。因为 CA=AF，所以三角形 ABC 与三角 ABF 等底等高，面积相等。因为 AB=B
6、D，所以三角形 ABF 与三角形 BDF 等底等高，面积相等。由此得出，三角形 ADF 的面积是10+10=20（厘米2）。同理可知，三角形 BDE 与三角形 CEF 的面积都等于 20 厘米2。所以三角形 DEF 的面积等于 203+10=70（厘米2）。例例 5 一个正方形，将它的一边截去 15 厘米，另一边截去 10 厘米，剩下的长方形比原来正方形的面积减少 1725 厘米2，求剩下的长方形的面积。分析与解分析与解：根据已知条件画出下页左上图，其中甲、乙、丙为截去的部分。由左上图知，丙是长 15 厘米、宽 10 厘米的矩形，面积为 1510=150（厘米2）。因为甲、丙形成的矩形的长等于
7、原正方形的边长，乙、丙形成的矩形的长也等于原正方形的边长，所以可将两者拼成右上图的矩形。右上图矩形的宽等于 10+15=25（厘米），长等于原正方形的边长，面积等于（甲+丙）+（乙+丙）= 甲+乙+丙）+丙= 1725+150= 1875（厘米2）。所以原正方形的的边长等于 187525=75（厘米）。剩下的长方形的面积等于 7575-1725=3900（厘米2）。例例 6 有红、黄、绿三块同样大小的正方形纸片，放在一个正方形盒的底部，它们之间互相叠合（见右图）。已知露在外面的部分中，红色面积是 20，黄色面积是 14，绿色面积是 10，求正方形盒子底部的面积。分析与解分析与解：把黄色正方形纸
8、片向左移动并靠紧盒子的左边。由于三个正方形纸片面积相等，所以原题图可以转化成下页右上图。此时露出的黄、绿两部分的面积相等，都等于（14+10）2=12。因为绿：红=A黄，所以绿黄=红A，A=绿黄红=121220=7.2。正方形盒子底部的面积是红+黄+绿+A=20+12+12+7.2=51.2。练习练习 201.等腰直角三角形的面积是 20 厘米2，在其中做一个最大的正方形，求这个正方形的面积。2.如左下图所示，平行四边形 ABCD 的周长是 75 厘米，以 BC 为底的高是 14 厘米，以 CD 为底的高是 16 厘米。求平行四边形 ABCD 的面积。3.如右上图所示，在一个正方形水池的周围，
9、环绕着一条宽 2 米的小路，小路的面积是 80 米2，正方形水池的面积是多少平方米？4.如右图所示，一个长方形被一线段分成三角形和梯形两部分，它们的面积差是 28 厘米2，梯形的上底长是多少厘米？5.如下图，在三角形 ABC 中，BD=DF=FC，BE=EA。若三角形 EDF 的面积是 1，则三角形 ABC 的面积是多少？6.一个长方形的周长是 28 厘米，如果它的长、宽都分别增加 3 厘米，那么得到的新长方形比原长方形的面积增加了多少平方厘米？7.如下图所示，四边形 ABCD 的面积是 1，将 BA，CB，DC，AD 分别延长一倍到E，F，G，H，连结 E，F，G，H。问：得到的新四边形 EFGH 的面积是多少？
