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1、用导数求切线方程的四种类型用导数求切线方程的四种类型求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线00()P xy，00()P xy，上的一点，则以 的切点的切线方程为：若( )yf xP000()()yyfxxx曲线在点的切线平行于 轴（即导数不存在）时，由( )yf x00()P xf x，y切线定义知，切线方程为0xx下面例析四种常见的类型及解法类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数，并代入点斜式方( )fx程即可例 1 曲线在点处的切线方程为（ ）3231yxx(11)， 34yx32yx 43yx 45
2、yx1 解：由则在点处斜率，故所求的切2( )36fxxx(11)，(1)3kf 线方程为，即，因而选( 1)3(1)yx 32yx 练习：1设 f(x0)0，则曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线( )A不存在 B与 x 轴平行或重合C与 x 轴垂直 D与 x 轴斜交答案 B2.已知函数 yf(x)的图像如右图所示，则 f(xA)与 f(xB)的大小关系是( )Af(xA)f(xB)Bf(xA)0，所以 x3.3已知曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线方程为2xy10，那么( )Af(x0)0 Bf(x0)0 Df(x0)不能确定答案 B5如果曲线 yf(x)在点(x
3、0，f(x0)处的切线方程为 x2y30，那么( )Af(x0)0 Bf(x0)0)的一条切线，则实数 b12的值为_答案 ln214设曲线 yax2在点(1，a)处的切线与直线 2xy60 平行，则 a 等于( )A1 B.12C D112答案 A14设曲线 yeax在点(0,1)处的切线与直线 x2y10 垂直，则 a_.答案 2解析 由题意得 yaeax，y|x0aea02，a2.10函数 f(x)asinax(aR)的图像过点 P(2，0)，并且在点 P 处的切线斜率为 4，则 f(x)的最小正周期为( )A2 BC. D.24答案 B解析 f(x)a2cosax，f(2)a2cos2
4、a.又 asin2a0，2ak，kZ.f(2)a2cosk4，a2.T.2|a|6曲线 yln(2x1)上的点到直线 2xy30 的最短距离是( )A. B255C3 D05答案 A解析 y2，x1.切点坐标为(1,0)22x1由点到直线的距离公式，得 d.|2 103|2212519曲线 yx(x1)(2x)有两条平行于 yx 的切线，则两切线之间的距离为_答案 1627 2解析 yx(x1)(2x)x3x22x，y3x22x2，令3x22x21，得x11 或 x2 .13两个切点分别为(1,2)和( ，)131427切线方程为 xy10 和 xy0.527d.|1527|216 227类型
5、三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法6下列说法正确的是( )A曲线的切线和曲线有交点，这点一定是切点B过曲线上一点作曲线的切线，这点一定是切点C若 f(x0)不存在，则曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处无切线D若曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处有切线，则 f(x0)不一定存在答案 D例 3 求过曲线上的点的切线方程32yxx(11)，3 解：设想为切点，则切线的斜率为00()P xy， 02 032x xyx|切线方程为2 000(32)()yyxxx32 0000(2)(32)()yxxxxx又知切线过点，把
6、它代入上述方程，得(11)，32 00001(2)(32)(1)xxxx 解得，或01x 01 2x 故所求切线方程为，或，(12)(32)(1)yx13112842yx 即，或20xy5410xy 评注：可以发现直线并不以为切点，实际上是5410xy (11)，经过了点且以为切点的直线这说明过曲线上一点的切(11)，1 7 2 8，线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法练习：类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解例 4 求过点且与曲线相切的直线方程(2 0)，1yx4 解：设为切点，则切线的斜率为00()P xy， 02 01x xyx
7、|切线方程为，即002 01()yyxxx 02 0011()yxxxx 又已知切线过点，把它代入上述方程，得(2 0)，02 0011(2)xxx 解得，即00 0111xyx，20xy评注：点实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需(2 0)，判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性例 5 已知函数，过点作曲线的切线，求此33yxx(016)A ，( )yf x切线方程5 解：曲线方程为，点不在曲线上33yxx(016)A ，设切点为，则点的坐标满足因00()M xy，M3 0003yxx，2 00()3(1)fxx故切线的方程为2 0003(1)()yyxxx点在切线上，则有(0
8、16)A ，32 000016(3)3(1)(0)xxxx化简得，解得3 08x 02x 所以，切点为，切线方程为( 22)M ，9160xy评注：此类题的解题思路是，先判断点 A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点 A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点练习：17已知曲线方程为 yx2，求过 A(3,5)点且与曲线相切的直线方程解析 解法一 设过 A(3,5)与曲线 yx2相切的直线方程为y5k(x3)，即 ykx53k.由Error!得 x2kx3k50.k24(3k5)0，整理得(k2)(k10)0.k2 或 k10.所求的直线方程为2xy10,10xy250.解法
9、二 设切点 P 的坐标为(x0，y0)，由 yx2，得 y2x.y|xx02x0.由已知 kPA2x0，即2x0.5y03x0又 y02x0，代入上式整理，得 x01 或 x05.18已知曲线 S：y3xx3及点 P(2,2)，则过点 P 可向 S 引切线，其切线条数为( )A0 B1C2 D3答案 D解析 显然 P 不在 S 上，设切点为(x0，y0)，由 y33x2，得 y|xx033x 0.2切线方程为 y(3x0x 0)(33x 0)(xx0)32P(2,2)在切线上，2(3x0x 0)(33x 0)(2x0)，32即 x 03x 020.32(x01)(x 02x02)0.2由 x0
10、10，得 x01.由 x 02x020，得 x01.23有三个切点，由 P 向 S 作切线可以作 3 条综合练习：10已知 f(x)x22xf(1)，则 f(0)等于( )A0 B4C2 D2答案 B解析 f(x)2x2f(1)，令 x1，得 f(1)22f(1)，f(1)2.f(0)2f(1)4.12设函数 f(x)g(x)x2，曲线 yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为 y2x1，则曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为( )A4 B14C2 D12答案 A解析 依题意得 f(x)g(x)2x，f(1)g(1)24，选A.15(1)求过曲线 yex上点 P(1，e)且与曲
11、线在该点处的切线垂直的直线方程；(2)曲线 y x5上一点 M 处的切线与直线 yx3 垂直，求此15切线方程解析 (1)yex，曲线在点 P(1，e)处的切线斜率是 y|x1e.过点 P 且与切线垂直的直线的斜率为 k .1e所求直线方程为 ye (x1)，1e即 xeye210.(2)切线与 yx3 垂直，切线斜率为 1.又 yx4，令 x41，x1.切线方程为 5x5y40 或 5x5y40.4yax21 的图像与直线 yx 相切，则 a( )A. B.1814C. D112答案 B解析 由已知Error!有唯一解，即 xax21，ax2x10 有唯一解，14a0，a .1415点 P
12、在曲线 yf(x)x21 上，且曲线在点 P 处的切线与曲线 y2x21 相切，求点 P 的坐标解析 设 P(x0，y0)，则 y0x 1.2 0f(x0) 2x0.limx0x0x21x2 01x所以过点 P 的切线方程为 yy02x0(xx0)，即 y2x0x1x .2 0而此直线与曲线 y2x21 相切，所以切线与曲线 y2x21 只有一个公共点由Error!得2x22x0x2x 0.2 0即 4x 8(2x )0.2 02 0解得 x0，y0 . 2 3373所以点 P 的坐标为(， )或(， )2 33732 337317若直线 ykx 与曲线 yx33x22x 相切，求 k 的值解
13、析 设切点坐标为(x0，y0)，y|xx03x 6x02k.2 0若 x00，则 k2.若 x00，由 y0kx0，得 k.y0x03x 6x02，2 0y0x0即 3x 6x02.解之，得 x0 .2 0x3 03x2 02x0x032k3( )26 2 .323214综上，k2 或 k .1416已知函数 f(x)2x3ax 与 g(x)bx2c 的图像都过点 P(2,0)，且在点 P 处有公共切线，求 f(x)、g(x)的表达式解析 f(x)2x3ax 的图像过点 P(2,0)，a8.f(x)2x38x.f(x)6x28.对于 g(x)bx2c 的图像过点 P(2,0)，则 4bc0.又 g(x)2bx，g(2)4bf(2)16.b4.c16. g(x)4x216.综上可知，f(x)2x38x，g(x)4x216.1已知直线 l1 为曲线 yx2x2 在点(1,0)处的切线，l2 为该曲线的另一条切线，且 l1l2.(1)求直线 l1，l2 的方程；(2)求由直线 l1，l2 和 x 轴所围成的三角形的面积分析 (1)求曲线在某点处的切线方程的步骤：先求曲线在这点处的导数，这点对应的导数值即为过此点切线的斜率，再用点斜式写出直线方程；(2)求面积用 S ah 即可完成12解析 (1)因为 y2x1，则直线 l1的斜率 k12113，则直线 l1 的方程为
