【江海名师零距离】2015届高三数学二轮总复习专题20：数学填空题解题突破

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1、专题二十专题二十数学填空题解题突破数学填空题解题突破【典题导引典题导引】（一）直接求解法（一）直接求解法直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得到结论的，称之为直接求解法它是解填空题的常用基本方法使用直接法解填空题，要善于透过现象抓本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法例 1.（1）过双曲线的左顶点作斜率为的直线，若与双曲线2 2 2:1(0)yM xbbA1ll的两条渐近线分别相交于，且，则双曲线的离心率是 M,B CABBC （2）已知是奇函数，且，若，则 2( )yf xx(1)1f( )( )2g xf x( 1)g （3）已知

2、向量，则的最大值与最小值之和为 (cos ,sin ),( 3,1)abrr |abrr（4）已知函数在定义域内不是单调函数，则实数的取值范围2( )ln2f xmxxxm 是解：（1）由题设，直线的方程为，双曲线的两条渐近线方程为( 1,0)A l1yxM ，ybx 由得，即1yx ybx 1 1Bxb 1 1CxbABBC2ACBxxx，双曲线的离心率1112()11bb 3b2110eb（2）函数为奇函数，2( )yf xx 22=fxxf xx 即，又， 2=2fxf xx(1)1f 1 =12=3f 1 =12=32=1gf（3）法（一）代数方法：(利用向量模的坐标计算公式) ，

4、得：，的最大值与最小值之和为max|3abrrmin|1abrr |abrr 4（4）法一：转化为在定义域上有正有负.21221( )22mxxfxmxxx(0,)即在上有正有负. 当时，满足；2( )221g xmxx(0,)0m 当时，对称轴，所以只需，；0m 102xm480m 102m当时，开口向下的抛物线且经过点，满足0m (0,1)综上所述，1 2m 法二：先求“当函数在定义域内是单调函数，实数 m 的2( )ln2f xmxxx(0,) 取值范围”即转化为问题的对立事件函数在定义域内是单调函数2( )ln2f xmxxx(0,)，或1(0,),( )220xfxmxx 1(0,)

5、,( )220xfxmxx ，或，211(0,),2xmxx 211(0,),2xmxx 令，则，211( ),02h xxxx31( ),0xh xxxx(0,1)(1,) ( )h x ( )h xZ，时，max1 ( )(1)2h xh0x ( )h x 函数在定义域内是单调函数，2( )ln2f xmxxx(0,)1 2m在定义域内不是单调函数时，( )f x1 2m （二）（二）特殊化法特殊化法当填空题的结论唯一或其值为定值时，我们只须把题中的参变量用特殊值(或特殊函数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)代替之，即可得到结论一般性存在于特殊性之中，只

6、要是求一般性的问题，绝大多数可以用特殊化法来解决例 2. （1）已知函数为奇函数，则函数上任一点处的22,0,( ),0xx xf xaxbx x3( )ag xbxx切线与直线和直线所围成的三角形面积为 0x yx（2）在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两ABCOBCO,AB AC点，若，则的值为_,M NABmAM ACnANmn（3）设，若时，均有，则 aR0x 21110axxaxa （4）如图，在平行四边形中，垂足为，且，则=ABCDAPBDP3AP AP AC . （5）观察下列等式：；2cos22cos1；42cos48cos8cos1 ；642cos632c

7、os48cos18cos1 ；8642cos8128cos256cos160cos32cos1 108642cos10cos1280cos1120coscoscos1mnp 可以推测， mnp（6）已知二次函数有零点与，设，2( )f xaxbxc1x2x20091009 12pxx，则常数的值为 20101010 12qxx20111011 12rxxarbqcpABCDP例 2（4）图（7）椭圆的焦点为、，点为其上的动点，当为钝角时，22 194xy1F2FP12FPF点横坐标的取值范围是 P解：（1）为奇函数可求得：，( )f x1,1ab 3( )g xxx题设暗示：所围成的三角形面积

8、为定值，故可用“特殊点”探求定值可就图象上点求得切线方程为，从而求得直线46yx与( )yg x(1, 2)46yx 直线和直线所围成的三角形面积为60x yx （2）题设暗示：为定值，故可用“特例”探求定值易知1mn满足题设，mn 2mn（3）0x 时均有21110axxax，应用特殊元素法，取2x ，得222112210230aaa ，32302aa（4）题设暗示：为定值，故可用“特殊图形”探求定值平行四边形是AP AC ABCD 特殊的平行四边形菱形时，则AP 与AC共线，2ACAP ，2222318AP ACAP （5）首先，由2,8,32,128，联想等比数列，得1284512m

9、；其次，由2, 8,18, 32，分别除2并去负号后，得1,4,9,16，这是一个正整数的平方序列，22550p 最后，对，令0，则151212801120501n，于是400n ，故962mnp（6）（特殊函数）令1,0,1abc ，则两零点分别为1，1，0p，2q ，0r ， 0arbqcp（7）设 P(x，y)，则当1290FPF时，点的轨迹方程为225xy，由此可得点的PP横坐标3 5 5x ，由此可得点 P 横坐标的取值范围是3 53 5 55x（三）数形结合法（三）数形结合法借助图形的直观性，通过数与形的关系，迅速作出判断的方法称为数形结合法文氏图、三角函数线、函数的图像及方

10、程的曲线等，都是常用的图形例 3.（1）已知函数( )2xf xx，2( )logg xxx，3( )h xxx的零点依次为, ,a b c，则, ,a b c由小到大的顺序是_（2）满足条件2,2ABACBC的三角形ABC的面积的最大值为（3）若方程lg()2lg(1)kxx仅有一个实根，那么k的取值范围是_解：（1）零点依次为, ,a b c分别为函数2xy ，2logyx，3yx与直线 yx 的交点横坐标，在同一直角坐标系xOy中作出他们的图象，易得acb （2）2AB Q（定长），可以以 AB 所在的直线为 x轴， AB 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系，则( 1,0), (1

11、,0)AB，设( , )C x y，由2ACBC可得2222(1)2 (1)xyxy，化简得22(3)8xy，即点C在以(3,0)为圆心，2 2为半径的圆上运动，又12 22ABCCCSAByy，max()2 2ABCS（3）201lg()2lg(1)102,1 (1)kx kxxxkxxxkxx 且0x ，题设有直线yk与函数12,1yxxx 且0x 的图象有一个公共点，作出函数12,1yxxx 且0x 的图象后易知4k 或0k （四）构造模型法（四）构造模型法例 4.（1）已知函数的最大值为M，最小值为ee2cos3sin4( )(R)cos2xxxxf xxx m ，则Mm （2）

12、在四面体ABCD中，13ABCD，5ACBD，2 5ADBC，则该四面体的体积V （3）已知定义在R上的可导函数( )yf x的导函数为( )fx，满足( )( )fxf x且(1)yf x为偶函数，(2)1f，则不等式的解集为 ( )exf x 解：（1）函数式 f(x)不熟悉，形式较为陌生，那先变形，后再作定夺=，其中ee2cos3sin4( )cos2xxxxf xxee3sin2( )2cos2xxxg xx，因为( )g x为奇函数，而奇函数的图象关于原点对称， ee3sin( )cos2xxxg xxRx所以( )g x的最大值N与最小值n的代数和为 0，即0Nn注意到2MN，2

13、mn，故(2)(2)4MmNn（2）构造如图所示的长方体，并且满足13ABCD， 5ACBD，2 5ADBC现设APp，AQq， ARr，则22213pqAB，22220rpAD，22225qrAC将以上三式分别相加得22229pqr，于是 2,3,4pqr 故 1142344234832CAQBVVV 长方体（3）着眼于题中的条件( )( )fxf x，构造函数求解. 令，则( )( )exf xg x ( )( )exf xg x ，在上是减函数为偶函数，( )( )( )0exfxf xg x( )g xR(1)yf x，令，则，R,(1)(1)xfxf x 1x (0)(2)1ff(0)1g( )e( )(0)0xf xg xgx 【归类总结归类总结】所谓填空题，就是不要求写出计算或推理过程，只需将结论直接写出的“求解题” 填空题的结构，往往是在一个正确的命题或断

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