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1、3.5 回归模型的其他函数形式,一、模型的类型与变换 二、非线性回归实例,在实际经济活动中，经济变量的关系是复杂的，直接表现为线性关系的情况并不多见。,如著名的恩格尔曲线(Engle curves)表现为幂函数曲线形式、宏观经济学中的菲利普斯曲线（Pillips cuves）表现为双曲线形式等。但是，大部分非线性关系又可以通过一些简单的数学处理，使之化为数学上的线性关系，从而可以运用线性回归的方法进行计量经济学方面的处理。,一、模型的类型与变换,1、倒数模型、多项式模型与变量的直接置换法,例如，描述税收与税率关系的拉弗曲线：抛物线s = a + b r + c r2 c0s：税收； r：税率,
2、设X1 = r，X2 = r2， 则原方程变换为s = a + b X1 + c X2 c0,2、幂函数模型、指数函数模型与对数变换法,例如，Cobb-Dauglas生产函数：幂函数Q = AKL Q：产出量，K：投入的资本；L：投入的劳动,方程两边取对数：ln Q = ln A + ln K + ln L,3、复杂函数模型与级数展开法,方程两边取对数后，得到：,(1+2=1),Q:产出量，K：资本投入，L：劳动投入：替代参数， 1、2：分配参数,例如，常替代弹性CES生产函数,将式中ln(1K- + 2L-)在=0处展开台劳级数,取关于的线性项，即得到一个线性近似式。,如取0阶、1阶、2阶项
3、，可得,并非所有的函数形式都可以线性化,无法线性化模型的一般形式为:,其中，f(x1,x2,Xk)为非线性函数。如：,二、非线性回归实例,例3.5.1 建立中国城镇居民食品消费需求函数模型。,根据需求理论，居民对食品的消费需求函数大致为,Q:居民对食品的需求量，X：消费者的消费支出总额 P1：食品价格指数，P0：居民消费价格总指数。,零阶齐次性，当所有商品和消费者货币支出总额按同一比例变动时，需求量保持不变,(*),(*),为了进行比较，将同时估计（*）式与（*）式。,根据恩格尔定律，居民对食品的消费支出与居民的总支出间呈幂函数的变化关系:,首先,确定具体的函数形式,对数变换:,考虑到零阶齐次
4、性时,(*),(*),(*)式也可看成是对（*）式施加如下约束而得,因此，对（*）式进行回归，就意味着原需求函数满足零阶齐次性条件。,X：人均消费 X1：人均食品消费 GP：居民消费价格指数 FP：居民食品消费价格指数 XC：人均消费（90年价） Q：人均食品消费（90年价） P0：居民消费价格缩减指数（1990=100） P：居民食品消费价格缩减指数（1990=100,中国城镇居民人均食品消费,特征： 消费行为在19811995年间表现出较强的一致性 1995年之后呈现出另外一种变动特征。,建立19811994年中国城镇居民对食品的消费需求模型:,(9.03) (25.35) (-2.28) (-7.34),按零阶齐次性表达式回归:,（75.86）(52.66) (-3.62),为了比较，改写该式为：,发现与,接近。,意味着：所建立的食品需求函数满足零阶齐次性特征,
