《《导数的概念》说课稿(完成稿)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《导数的概念》说课稿(完成稿)（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、实验探究，让数学概念自然生长实验探究，让数学概念自然生长导数的概念导数的概念说课说课江苏省常州市第五中学 张志勇 一一. 教学内容与内容解析教学内容与内容解析 1、教学内容：本节课的教学内容选自苏教版普通高中课程标准实验教科书数学选修 22 第一章第一节的导数的概念第 2 课时“瞬时变化率导数”，导数的概念包括 三部分教学内容，即平均变化率、瞬时变化率、导数，其中瞬时变化率包括曲线上一点处 的切线和瞬时速度、瞬时加速度，本节课之前学生已完成平均变化率的学习2、内容解析：导数是研究现代科学技术必不可少的工具，是进一步学习数学和其他自 然科学的基础，在物理学、经济学等领域都有广泛的应用对于中学阶段
2、而言，导数是研 究函数的有力工具，在求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题时有着广泛 的应用，同时对研究几何、不等式起着重要作用从而导数在函数研究中的应用应是整个 章节的重点，但不能仅仅将导数作为一种规则和步骤来学习，导数的概念无疑是教学的起 点也是关键，否则学生很难体会导数的思想及其内涵事实上导数概念的建立基于“无限 逼近”的过程，这与初等数学所涉及的思想方法有本质的不同囿于学生的认知水平和可 接受能力，教材中并没有引进极限概念（过多的极限知识可能会冲淡甚至干扰对导数本质 的理解），而是从学生的生活经验出发，通过实例引导学生经历由平均变化率到瞬时变化 率的过程，直至建立起导数的数学
3、模型3、教学设想：导数的本质在于从平均变化率到瞬时变化率的“无限逼近”，而无限逼 近有三种方式：数值逼近、几何直观感知、解析式抽象；而达成学生极限思想形成之教学 目标，需要以问题为背景，关键是设计活动让学生经历从平均变化率到瞬时变化率的过 程因此教学处理时， 试图还原知识建构的完 整过程，实现导数概念 的“再创造”，其中数 学探究环节采用数学实验的方式，用数值逼近法感知导数作为逼近值的存在性，用解析式抽象法从数学角度加以 确认；模型解释环节则是教材中“曲线上一点处的切线”的流程再造（原来是作为导数知 识的引入环节） 二目标设定及目标解析二目标设定及目标解析 1、知识与技能目标： 会从数值逼近、
4、几何直观感知、解析式抽象三个角度认识导数的涵义，应用导数定义 求简单函数在在某点处的导数，掌握求导数的基本步骤，初步学会求解简单函数在一点处 的切线方程 2、过程与方法目标： 经历从平均变化率到瞬时变化率的过程，感知“无限逼近”与“量变到质变”、“近 似与精确”的哲学思想，在实验观察、归纳抽象的过程中建构导数概念，在解释应用与拓 展的过程中领悟数学发现的完整过程 3、情感、态度、价值观目标： 经历数学发现过程、感受数学研究方法，提升数学学习兴趣和信念；应用手持技术进 行数学实验中改善数学学习方法，从向书本学习数学转向用技术研究数学 教学重点教学重点 导数概念的建构及导数的解释应用 教学难点教学
5、难点 导数的几何解释及切线概念的形成 三教学问题诊断分析三教学问题诊断分析 本节课需要用到的知识储备包括平均变化率、直线的斜率、物理中物体运动的瞬时速 度、解析几何中的切线等，而所要用到的归纳、概括、类比、抽象思维能力等也已具备， 特别地实验班的学生均能熟练操作图形计算器，也多次经历过数学再创造的过程，对“问 题情境建立模型解释应用与拓展”这样的学习程序并不陌生，这些都是开展本节课学 习的基础 可能存在的问题：一是对学生而言，“无限逼近”的思想闻所未闻，需要精心设计活 动帮助学生经历从平均变化率到瞬时变化率的过程；二是数值逼近的运算繁琐，不能采取 简单告诉的方式而需应用技术来实现计算；三是概念
6、建构很难一蹴而就，需要有丰富的实 例作支持，于是在数学探究环节中就需要从数值计算走向解析式抽象，从而实现概念形成 的“水到渠成”；四是导数概念的几何解释是从数走向形的基本保证，需要有几何直观作 支持，需要创设资源支持“以直代曲”；五是尽管学生的图形计算器操作较熟练，但 CAS 系统还很陌生，在教学中需要有示范性讲解并提供即时帮助 四教学支持条件分析四教学支持条件分析 导数知识再创造教学设想的达成，离不开教育技术的支持，本教学案例中利用 HP Prime 的表征优势，为学生提供如下支持平台： 一是数值逼近计算平台，在电子表格中设置图 2 所示的情境，其中，0.1xRow ，而则在 CAS 中设置
7、（如图 1）；()JIEGUOgx( )g x二是几何直观解释平台，在几何学模块中，设置好图 4 所示的 APP，学生在操作时可 以改变 Q 点位置，观察割线斜率的变化，然后再与相应的瞬时变化率作比较； 三是导数求值验证平台：如图 5，导数运算对学生而言是含有字母的运算，过程中涉 及因式分解问题，操作中可以让学生先进行纸笔运算，然后再作计算器验证 教学过程中前两个平台通过 Connkit 课堂管理系统发送给学生，让他们进行自主操作、 探索发现后面一个平台用于教师演示，必要时还可开发 GeoGebra 用于几何解释演示 五教学流程设计五教学流程设计1、问题情境、问题情境 问题一、气球膨胀率 我们
8、都吹过气球，回忆一下吹气球的过程可以发现，随着 气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢，能否从数 学角度来描述这种现象呢？气球的体积为 V，半径为 r，则1133343 34Vrrr问题二、高台跳水 在高台跳水运动中，运动员的助跑、起跳、空中和入水动 作都是评判的依据，科学训练时需要测量每一瞬间的运算速 度如果假设某次跳水中，运动员相对于水面的高度 h 与起跳后的时间 t 存 在 函 数 关 系，那么你是否能描述该运动员每一瞬间的运动状态？2( )4,96.510h ttt 设计意图：通过实例来体会平均变化率的应用局限性，使学生有机会经历由平均变化 率过渡到瞬时变化率的过程 2、数学探究
9、、数学探究 教师讲授： 问题 1、如何对瞬时变化率进行数学刻画？当时，平均变化率0x 就趋近于瞬时变化率2111 21 21()()()()(=f xf xf xxf xx xxxxx 其中）问题 2、如何体现？让平均变化率的取值间隔逐渐缩小，如0x x0.10.010.0010.00010.00001 问题 3、这么繁琐的运算怎么实现？借助图形计算器进行数值计算 数值逼近：以计算时高台跳水的跳水速度为例，进入“电子表格”模块，在 CAS2t 系统中先定义两个函数、，然后计算2( )4.96.510h ttt (2)(2)( )hxhg xx，可以发现当时，运动速度稳定在（如图 1）；(0.1
10、), (0.01), (0.001), (0.0001)gggg0x 13.1也可以“电子表格”模块中进行即时运算（如图 2）解析式抽象：2222(2)(2)4.9(2)6.5(2)104.926.52104.9(4)6.513.1hhthttttttt 图 1图 22(2)(2)13.113.1hhthtttttt 当时，0t 13.1h t 学生活动：借助于教师发送的 APP，分组计算（共同完成下表的填写）如 V=1，2 时气球的变化率，t=1，3 时高台跳水运动员的跳水速度等t 值跳水瞬时速度V 值气球膨胀率0.51.60.50.328251-3.310.206781.5-8.21.50
11、.1578052-13.120.13026设计意图：导数概率中涉及的极限思想不能采取简单的“告诉”方式，而是在图形计 算器的支持下，让学生有一个亲身操作的过程，通过学生的亲身操作，在的取值逐渐变x 小（）中观察相应的变化率的变化，从而经历由0.10.010.0010.00010.00001 平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，切实感知极限的涵义，以保证导数概念的建构“水 到渠成” 操作说明：在学生操作时，需要将教师提供的 APP 进行适当修改，先在 CAS 系统中 拖曳改动（如图 1-1），然后再在电子表格模块中重新运算（如图 2-1，按 JIEGUO 列名后 编辑完成）3、模型建构模型建构 教
12、师带领学生就操作过程中得到的表格（图 2、图 2-1 或通过 Connkit 课堂管理系统截 取的任何学生操作界面），进行归纳总结并进行形式化表述（可逐步递进），形成导数模 型：（1）无限趋近于 0 时，无限趋近常数-13.1，无限x(2)(2)hxh x (2)(2)rxr x 趋近常数 0.13026，（2）这个常数可称为导数，记作，即、0()fx(2)13.1h (2)0.13026r（3）设函数在区间上有定义，若时，( )yf x, a b0,xa b0x ，则称在处可导，并称该常数 A 为函数在00()()f xxf xAx 常数( )f x0xx( )f x图 1-1图 2-1处的
13、导数，记作0xx0()fx设计意图：导数的概念比较抽象，从具体案例的归纳提炼出发，层层递进逐步抽象， 可以帮助学生实现导数概念的生成和建构；教学中一方面需要需要关注形式化抽象的进阶 性，另一方面要关注学生的参与度，尤其是归纳的过程让学生多参与，随机截图分析概括 是一个比较理想的组织形式 4、模型解释模型解释提问：我们已经知道“时，”，这是从代数的角度0x 00()()f xxf xAx 常数刻画的，那么是不是可以从几何角度加以描述呢？（1）教师解释几何构造：如图 3，设点，1111,() ,()P xf xQ xx f xx 则可表示曲线的割线 PQ 的斜率；211121()()()()f x
14、f xf xxf x xxx （2）学生活动：在几何学的 APP（如图 4）中进行操作，探索无限趋近于 0（即xQ 向 P 无限靠近），那么的无限逼近值的何几何意义；11()()f xxf x x （3）总结概括：Q 向 P 无限靠近，割线 PQ 逼近曲线在点 P 处的切线，如图 5 所示； （4）学生验证：在几何学中，将图形放大可以发现，曲线接近于一条直线，而此直线 与相应的切线非常接近，经计算可以发现切线的斜率即是相应的导数值完善结论如下：设曲线上一点，过点 P 的一条割线交曲线于另一点，C( ,( )P x f xC(,()Q xx f xx 则割线 PQ 的斜率为()( )()( )
15、()PQf xxf xf xxf xkxxxx 当点 Q 沿曲线向点 P 运动，并无限靠近点 P 时，割线 PQ 逼近点 P 的切线 的斜率，Cl即当无限趋近于 0 时，无限趋近于点处的切线的斜率x()( )f xxf x x ( ,( )P x f x设计意图：“割线斜率切线斜率”是“平均变化率瞬时变化率”的“视觉化”， 让学生动手实验感知“切线的存在性”以及“局部以直代曲”的思想 5、应用拓展、应用拓展图 3图 41、求函数在处的导数2( )2f xx1x 简解：(1)(1)2fxfxx 时，0x 22x (1)2f 说明：1、求导的基本步骤：求函数的 增量求平均变化率无限趋近于 0 得瞬时 变化率得到导数值 2、在学生纸笔运算后可用图形计算器 CAS 命令进行检验（如图 5），在运算时可 借助于“simplify”命令将解析式化简2、求函数在处的导数1( )f xx2x 3、求曲线在点处的切线方1yx12,2 程 4（思考题）、已知酒杯的形状为倒立的圆锥，杯深 8cm，上口宽 6cm，水以的流量倒入杯中，当水深
