《高等数学课件 3.3(二维随机变量函数的分布)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学课件 3.3(二维随机变量函数的分布)（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,3.3 二维随机变量函数的分布,第3章 多维随机变量及其分布,已知二维随机变量（X，Y）的联合分布为F（x,y）, z=g(x,y)为二维连续函数，求一维随机变量Z=g(X,Y)的分布,3.3.1 二维离散型随机变量函数的分布设(X,Y)为二维离散型随机变量， 则函数 是一维离散型随机变量 若已知(X,Y)的分布律， 如何得到 的分布律?,3.3 二维随机变量函数的分布,设（X，Y）为二维离散型随机变量，其联合分布律为P(X=xi, Y=yj)=pij, i,j=1,2,Z=g(X, Y)为一维离散型随机变量，若对于不同(xi,yj)， 函数值g(xi,yj)互不相同， 则Z=g(X,Y)的
2、分布律为P(Z=g(xi,yj)=pij, i,j=1,2,若对于不同的(xi,yj) ，函数g(xi,yj)有相同的值，则取相同g(xi,yj)值对应的概率要合并相加。,3.3.1 二维离散型随机变量函数的分布,3.3.1 二维离散型随机变量函数的分布,【例】设(X，Y)的分布律为试求：Z1 = X，Z2 = Y / X，Z3 = minX，Y的分布律解：将(X，Y)及各个函数的取值对应列于同一表中,3.3.1 二维离散型随机变量函数的分布,易得到下列随机变量的分布律(取相同值的概率给以合并)：,3.3.1 二维离散型随机变量函数的分布,【例】设 , 且 X与Y独立，证明 证： 取值为0，1
3、，2， Z = k是互不相容事件 的和, 考虑到独立性，对任意非负整数k，有,3.3.1 二维离散型随机变量函数的分布,即证明了 本例的结论说明，泊松分布具有可加性 .,设(X，Y)为二维连续型随机变量，其概率密度为f(x，y)， 为X，Y的函数，它也是连续型随机变量 求Z的概率密度的一般按下面两步进行: (1)求Z的分布函数 其中 (2)FZ(z)对z求导数，得Z的概率密度为,3.3.2 二维连续型随机变量函数的分布,3.3.2 二维连续型随机变量函数的分布,【例】（和的分布）设(X，Y)的概率密度为 f(x，y)，求Z = X + Y的概率密度解：事件X + Y Z所占有的区域如图，对积分
4、 作变量变换x = u y得：于是,3.3.2 二维连续型随机变量函数的分布,对z求导数得由X，Y的对称性，又有:,3.3.2 二维连续型随机变量函数的分布,设(X，Y)的概率密度为f(x，y)，Z=X+Y的概率密度特别地，当X和Y独立时, X，Y的概率密度分别为 和 ，则上述两式可分别写成和 这两个公式称为卷积公式，记为:,3.3.2 二维连续型随机变量函数的分布,【例】（正态分布的可加性）设X和Y都服从N(0,1)且相互独立，求Z = X + Y的概率密度解：由卷积公式令 ，得 即ZN(0，2),3.3.2 二维连续型随机变量函数的分布,一般地，设X，Y相互独立，且 ，则更一般地，可以证明
5、，有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍服从正态分布即 定理3.1（正态分布的重要性质）若X1，X2，Xn为相互独立的随机变量，且 C1，C2，Cn为n个任意常数，则,3.3.2 二维连续型随机变量函数的分布,【例】设X和Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为求：随机变量Z = X + Y的概率密度 解：因 ,欲使 ， 即使 ， x与z必须满足 即 将上述x与z的关系描绘在xOz平面上便是图中的阴影部分,3.3.2 二维连续型随机变量函数的分布,(1) 时，由于 ，故 (2) 时， (3) 时，综上所述，得到：,3.3.2 二维连续型随机变量函数的分布,【例】（最大值与最小值分布）设X
6、1，X2，Xn是相互独立的n个随机变量 , 若 ，试在以下情况下求Y和Z的分布(1) XiFi (x)，i = 1，2，n(2) Xi同分布，即XiF(x)，i = 1，2，n(3) Xi为连续随机变量，且Xi同分布，即Xi的概率密度为f(x)，i = 1，2，n,3.3.2 二维连续型随机变量函数的分布,解：(1) 的分布函数为的分布函数为,3.3.2 二维连续型随机变量函数的分布,(2) 将Xi共同的分布函数F(x)代入(1)的结果中，得(3) Y和Z的分布函数仍为上述两式，概率密度可由上述两式分别对y和z求导得到,3.3.2 二维连续型随机变量函数的分布,【例】设随机变量X与Y相互独立，且同服从 (0，1)上的均匀分布，试求Z = | X Y |的概率密度 解：因为所以Z的概率密度为,作业： P81 习题3.33、4,
