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1、第 1 页，共 11 页20202020 届高一下期届高一下期 4 4 月月考数学试题月月考数学试题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1.已知集合 A=1，2，3，B=x|（x+1）（x-2）0，xZ，则 AB=（ ） A. 1B. 1，2 C. 0，1，2，3D. -1，0，1，2，3 2.幂函数 f（x）=（m2-2m+1）x2m-1在（0，+）上为增函数，则实数 m 的值为（ ） A. 0B. 1C. 2D. 1 或 23.ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c已知 a=，c=2，cosA= ，则b=（ ） A. B. C. 2D. 3
2、 4.在ABC 中，A=75，B=45，则ABC 的外接圆面积为（ ）A. B. C. 2D. 45.方程 2x+x=2 的解所在区间是（ ） A. （0，1）B. （1，2）C. （2，3）D. （3，4） 6.角 的终边经过点（2，-1），则 sin+cos 的值为（ ）A. -B. C. -D. 7.已知向量=（ ， ），=（ ， ），则ABC=（ ）A. 30B. 45C. 60D. 1208.已知向量 ， 的夹角为 60，且| |=| |=1，则| + |等于（ ）A. 3B. C. 2D. 19.已知 ， 是不共线向量，=2 + ，=- +3 ，= - ，且 A，B，D 三点共线，
3、则实数 等于（ ） A. 3B. 4C. 5D. 610. 已知 D、E、F 分别为ABC 的边 BC、CA、AB 的中点，且= 、= 、= 、则；= 其中正确的等式个数为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4第 2 页，共 11 页11. 向量，且 ，则 cos2=（ ）A. B. C. D. 12. 函数 y=sinx+cosx 的最小值为（ ） A. 1B. 2C. D. -2 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 已知，若，则 k= _ 14. 向量 =（2，3）在向量 =（3，-4）方向上的投影为_15. 函数 f（x）=log cos（2x- ）的单调递增区间
4、为_ 16. 已知函数 f（x）=x2-|x|+a，若存在 x1，x2，x3，x4（x1，x2，x3，x4互不相同），使 f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4）=1，则 a 的取值范围是_ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72.0 分）17. 已知向量 ， 满足| |=2，| |=1，向量=2 - ，= +3 （1）若 与 的夹角为 60，求| - |的值；（2）若，求向量 与 的夹角 的值18. 如图，在平面四边形 ABCD 中， AD=1，CD=2，AC= （）求 cosCAD 的值；（）若 cosBAD=- ，sinCBA=，求 BC 的长第 3 页，共 11 页19. 已知
5、函数（1）判断函数 f（x）在区间0，+）上的单调性，并用定义证明其结论； （2）求函数 f（x）在区间2，9上的最大值与最小值20. 设向量 =（sinx，-1）， =（cosx，- ），函数 f（x）=（ + ） （1）求函数 f（x）的单调递增区间；（2）当 x（0， ）时，求函数 f（x）的值域21. 在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 acosC+ccosA=2bcosA （1）求角 A 的值； （2）若，求ABC 的面积 S22. 如图，渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60方向的 B 处，且 与岛屿 A 相距 6 海里，渔船乙以 5 海里/小时的速度从 岛屿
6、 A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从 B 处出 发沿北偏东 的方向追赶渔船乙，刚好用 2 小时追上 （1）求渔船甲的速度； （2）求 sin 的值第 4 页，共 11 页第 5 页，共 11 页答案和解析答案和解析【答案答案】 1. C2. C3. D4. B5. A6. D7. A 8. B9. C10. B11. D12. D 13. 6 14. 15. （k+ ，k+）（kZ） 16. （1， ） 17. 解：（1）=21cos60=1| - |2=2-2+2=3| - |=（2），=0，即（2 - ）（ +3 ）=22+5-32=8+10cos-3=0cos=- =120 18.
7、解：（）cosCAD=（）cosBAD=- ，sinBAD=，cosCAD=，sinCAD= sinBAC=sin（BAD-CAD）=sinBADcosCAD-cosBADsinCAD=+ =，由正弦定理知=，BC=sinBAC= =3 19. （1）解：f（x）在区间0，+）上是增函数 证明如下： 任取 x1，x20，+），且 x1x2，=x1-x20，（x1+1）（x2+1）0， f（x1）-f（x2）0，即 f（x1）f（x2） 函数 f（x）在区间0，+）上是增函数 （2）由（1）知函数 f（x）在区间2，9上是增函数，第 6 页，共 11 页故函数 f（x）在区间2，9上的最大值为，
8、最小值为 20. 解：（1） =（sinx，-1）， =（cosx，- ），f（x）=（ + ） =（sinx+cosx，- ）（sinx，-1）=sin2x+sinxcos+ = （1-cos2x）+ sin2x+= sin2x- cos2x）+2=sin（2x- ）+2，由 2k- 2x- 2k+ ，解得：k- xk+ ，故函数的递增区间是k- ，k+ ；（2）x（0， ），2x- （- ，），故 sin（2x- ）的最大值是 1，sin（2x- ）sin（- ）=- ，故函数的最大值是 3，最小值大于 ，即函数的值域是（ ，3 21. 解：（1）在ABC 中，acosC+ccosA=2b
9、cosA， sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA， sin（A+C）=sinB=2sinBcosA， sinB0，可得：（2），b2+c2=bc+4，可得：（b+c）2=3bc+4=10，可得：bc=2 22. 解：（1）依题意，BAC=120，AB=6，AC=52=10，BCA= 在ABC 中，由余弦定理，得 BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC =62+102-2610cos120=196解得 BC=14，所以渔船甲的速度为海里/小时答：渔船甲的速度为 7 海里/小时 （2）在ABC 中，因为 AB=6，BAC=120，BC=14，BCA=，第 7 页，共 11
10、 页由正弦定理，得即答：sin 的值为 【解析解析】 1. 解：集合 A=1，2，3， B=x|（x+1）（x-2）0，xZ=0，1， AB=0，1，2，3 故选：C 先求出集合 A，B，由此利用并集的定义能求出 AB 的值 本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用 2. 解：幂函数 f（x）=（m2-2m+1）x2m-1在（0，+）上为增函数， 解得 m=2 故选：C 利用幂函数的定义及性质列出方程组，由此能求出实数 m 的值 本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意幂函数的定义及性质的 合理运用3. 解：a=，c=2，cosA= ，由余弦定理可得
11、：cosA= =，整理可得：3b2-8b-3=0，解得：b=3 或- （舍去）故选：D由余弦定理可得 cosA=，利用已知整理可得 3b2-8b-3=0，从而解得 b 的值本题主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算能 力和转化思想，属于基础题4. 解：在ABC 中，A=75，B=45，C=180-A-B=60，设ABC 的外接圆半径为 R，则由正弦定理可得 2R= ，解得 R=1， 故ABC 的外接圆面积 S=R2=， 故选：B 由三角形的知识和正弦定理可得外接圆的半径，可得面积 本题考查正弦定理，求出外接圆的半径是解决问题的关键，属基础题 5. 解：令 f（x）
12、=2x+x-2， A、由 f（0）=-1，f（1）=2+1-2=1 知，f（0）f（1）0，故 A 正确； B、由 f（2）=4+2-2=4，f（1）=2+1-2=1 知，f（2）f（1）0，故 B 不正确； C、由 f（2）=4+2-2=4，f（3）=8+3-2=9 知，f（2）f（3）0，故 C 不正确； D、由 f（4）=16+4-2=18，f（3）=8+3-2=9 知，f（2）f（3）0，故 D 不正确；故选 A 构造函数 f（x）=2x+x-2，分别计算区间端点的函数值，再验证是否符合函数零点存在第 8 页，共 11 页的判定内容 本题考查了函数零点的判定定理应用，一般的方法是把方程
13、转变为对应的函数，求出 区间端点的函数值，并验证它们的符号即可 6. 解：已知角 的终边经过点（2，-1），则 x=2，y=-1，r=，sin=- ，cos=，sin+cos=- ，故选 D 由题意可得 x=2，y=-1，r=，可得 sin 和 cos 的值，从而求得 sin+cos 的值 本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于中档题7. 解：，；又 0ABC180； ABC=30 故选 A根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出 cosABC 的值，根据ABC 的范围便可得出ABC 的值 考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦 公
14、式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角8. 解：向量 ， 的夹角为 60，且| |=| |=1，| + |=故选：B由已知结合，展开平方，代入平面向量数量积公式得答案 本题考查平面向量的数量积运算，是基础的计算题 9. 解：A，B，D 三点共线，=，（ 为实数），=2 + ，=- +3 ，= - ，=（-1），=，解得，=5故选：C由 A，B，D 三点共线，得=，（ 为实数），由此能求出实数 第 9 页，共 11 页本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量运算法则、共 线向量的性质的合理运用 10. 解：E、F 分别为ABC 的边 CA、AB 的中点，= （ + ）= +
15、 ，故错误，= + ，故正确，= + ，故错误，= （ - ）+ （ - ）+ （ - ）= ，故正确，故正确是，共有 2 个， 故选：B 根据向量加法和减法的运算法则进行化简即可 本题主要考查向量的加法和加法的运算，根据三角形法则是解决本题的关键11. 解：，且 ，即，化简得 sin= ，cos2=1-2sin2=1- = 故选：D 根据向量平行的条件建立关于 的等式，利用同角三角函数的基本关系算出 sin= ，再由二倍角的余弦公式加以计算，可得 cos2 的值 本题给出向量含有三角函数的坐标式，在向量互相平行的情况下求 cos2 的值着重 考查了同角三角函数的基本关系、二倍角的三角函数公式和向量平行的条件等知识， 属于基础题12. 解：y=sinx+cosx=2（ sinx+ cosx）=2sin（x+ ）
