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1、2010 届高三数学一轮复习精品教案届高三数学一轮复习精品教案数列（附高考预测）数列（附高考预测） 一、本章知识结构：一、本章知识结构： 二、重点知识回顾二、重点知识回顾 数列的概念及表示方法数列的概念及表示方法 （）定义：（）定义：按照一定顺序排列着的一列数 （）表示方法：（）表示方法：列表法、解析法（通项公式法和递推公式法） 、图象法 （）分类：（）分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系 可分为单调数列、摆动数列和常数列 （）与的关系： n a n S 1 1 (1) (2) n nn S n a SSn 2 2等差数列和等比数列的比较等差数列和等比数列的比
2、较 （）定义：（）定义：从第 2 项起每一项与它前一项的差等于同一常数的数列叫等差数列；从第 2 项起每一项与它前一项的比等于同一常数（不为 0）的数列叫做等比数列 （）递推公式：（）递推公式： 11 0 nnnn aadaa qqn N， （）通项公式：（）通项公式： 1 11 (1) n nn aandaa qn N， （）性质（）性质 等差数列的主要性质：等差数列的主要性质： 单调性：时为递增数列，时为递减数列，时为常数列0d0d0d 若，则特别地，当mnpq() mnpq aaaa mnpq N， 时，有2mnp2 mnp aaa () () nm aanm d mn N， 成等差数列
3、 232kkkkk SSSSS， 等比数列的主要性质：等比数列的主要性质： 单调性：当或时，为递增数列；当，或时，为 1 0 01 a q ， 1 0 1 a q 1 0 1 a q ， ， 1 0 01 a q 递减数列；当时，为摆动数列；当时，为常数列0q 1q 若，则特别地，若，mnpq() mnpq aaa a mnpq N，2mnp 则 2 mnp aaa (0) n m n m a qmnq a N， ，当时为等比数列；当时，若为偶数， 232kkkkk SSSSS，1q 1q k 不是等比数列若为奇数，是公比为的等比数列k1 三、考点剖析三、考点剖析 考点一：考点一：等差、等比数
4、列的概念与性质等差、等比数列的概念与性质 例例 1. （2008 深圳模拟）已知数列 .12 2 nnSna nn 项和的前 （1）求数列的通项公式； （2）求数列 n a.| nn Tna项和的前 解：解：（1）当；、111112,1 2 11 San时 当，.213) 1() 1(12)12(,2 22 1 nnnnnSSan nnn 时 、.21311 1 的形式也符合na.213,naa nn 的通项公式为数列所以 （2）令 . 6 , 0213 * nnnan解得又N 当； 2 2121 12|,6nnSaaaaaaTn nnnn 时 当|,6 7621nn aaaaaTn时 n a
5、aaaaa 87621 .7212)12()6612(22 222 6 nnnnSS n 综上， . 6 ,7212 , 6,12 2 2 nnn nnn Tn 点评：点评：本题考查了数列的前 n 项与数列的通项公式之间的关系，特别要注意 n时 情况，在解题时经常会忘记。第二问要分情况讨论，体现了分类讨论的数学思想 例、 （2008 广东双合中学）已知等差数列的前 n 项和为，且， n a n S 3 5a . 数列是等比数列，（其中）. 15 225S n b 3232 5 ,128baa b b1,2,3,n （I）求数列和的通项公式；（II）记. n a n b, nnnnn ca bc
6、nT求数列前项和 解解：（I）公差为 d， 则 . ,22571515 , 52 1 1 da da 12 , 2 , 1 1 na d a n 故(1,2,3,n ) 设等比数列的公比为， n bq ,128 , 8 2 3 3 3 qb q b b 则 . 2 , 8 3 qb . nn n qbb2 3 3 (1,2,3,n ) （II） ,2) 12( n n nc 23 23 25 2(21) 2 , n n Tn .2) 12(2)32(252322 1432 nn n nnT 作差： 11543 2) 12(22222 nn n nT 31 1 2 (1 2) 2(21) 2 1
7、 2 n n n 311221 22 (21)(21) 222822 nnnnn nn 1 62(23) n n . 1 (23) 26 n n Tn (1,2,3,n ) 点评点评：本题考查了等差数列与等比数列的基本知识，第二问，求前 n 项和的解法，要抓 住它的结特征，一个等差数列与一个等比数列之积，乘以后变成另外的一个式子，体现了 数学的转化思想。 考点二：求数列的通项与求和考点二：求数列的通项与求和 例例 3.（2008 江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 按照以上排列的规律，第行（）从左向右的第 3 个数为
8、n3n 解解：前 n1 行共有正整数 12（n1）个，即个，因此第 n 行第 3 个 2 2 nn 数是全体正整数中第3 个，即为 2 2 nn 2 6 2 nn 点评点评：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式，难点在于求出数列的通项，解决此题 需要一定的观察能力和逻辑推理能力。 例例 4.（2008 深圳模拟）深圳模拟）图（1） 、 （2） 、 （3） 、 （4）分别包含 1 个、5 个、13 个、25 个第 二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎” ，按 同样的方式构造图形，设第个图形包含n 个“福娃迎迎” ，则 ；( )f n(5)f ( )(1)f nf n 解解：第 1 个图个数：1 第
9、 2 个图个数：1+3+1 第 3 个图个数：1+3+5+3+1 第 4 个图个数：1+3+5+7+5+3+1 第 5 个图个数：1+3+5+7+9+7+5+3+1=，41 所以，f（） f(2)-f(1)= ，f()-f()=，f()-f()=，f()-f()= ( )(1)f nf n4(1)n 点评点评：由特殊到一般，考查逻辑归纳能力，分析问题和解决问题的能力，本题的第二问 是一个递推关系式，有时候求数列的通项公式，可以转化递推公式来求解，体现了转化与化 归的数学思想。 考点三：数列与不等式的联系考点三：数列与不等式的联系 例例 5.（届高三湖南益阳）已知等比数列的首项为，公比满足 n
10、a 3 1 1 aq 。又已知，成等差数列。10qq且 1 a 3 5a 5 9a （1）求数列的通项 n a （2）令，求证：对于任意，都有 n a n b 1 3 lognN 1 22 31 1111 .1 2 nn bbb bb b （1）解： 315 2 59aaa 24 111 109a qaa q 42 91010qq 10qq且 1 3 q 1 1 3 nn n aa q （2）证明： ， 1 33 loglog 3 n an n bn 1 1111 (1)1 nn b bn nnn 1 22 31 111111111 .11 22311 nn bbb bb bnnn 1 22
11、31 1111 .1 2 nn bbb bb b 点评点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（）问，采 用裂项相消法法，求出数列之和，由 n 的范围证出不等式。 例、例、(2008 辽宁理辽宁理) 在数列，中，a1=2，b1=4，且成等差数列，| n a| n b 1nnn aba ， 成等比数列（） 11nnn bab ，n * N （）求 a2，a3，a4及 b2，b3，b4，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；| n a| n b （）证明： 1122 1115 12 nn ababab 解：（）由条件得由此可得 2 111 2 nnnnnn baaab b
12、中 223344 6912162025ababab中中中中中 猜测 2 (1)(1) nn an nbn中 用数学归纳法证明： 当 n=1 时，由上可得结论成立 假设当 n=k 时，结论成立，即 ， 2 (1)(1) kk ak kbk中 那么当 n=k+1 时， 2 22 2 11 22(1)(1)(1)(2)(2) k kkkk k a abakk kkkbk b 中 所以当 n=k+1 时，结论也成立 由，可知对一切正整数都成立 2 (1)(1) nn an nb n中 （） 11 115 612ab n2 时，由（）知(1)(21)2(1) nn abnnnn 故 1122 11111
13、111 62 2 33 4(1) nn abababn n 11 111111 62 23341nn 11 11115 62 216412n 综上，原不等式成立 点评点评：本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综 合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力 例例. （2008 安徽理）安徽理）设数列满足为实数 n a 3* 01 0,1, nn aacac cNc 中中 （）证明：对任意成立的充分必要条件是；0,1 n a * nN0,1c （）设，证明：; 1 0 3 c 1* 1 (3 ), n n acnN （）设，证明： 1 0 3 c 222* 12 2 1, 1 3 n aaannN c 解：解： (1) 必要性必要性 ： ， 12 0,1aac 又 ，即 2 0,1,011ac 0,1c 充分性充分性 ：设，对用数学归纳法证明0,1c * nN0,1 n a 当时，.假设1n 1 00,1a 0,1(1) k ak 则，且 3 1 111 kk acaccc 3 1
