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1、第 7 章 几何光学基础,7.1 几何光学的基本定律 7.2 单个折射球面的光路计算 7.3 单个折射球面的近轴区成像 7.4 球面反射镜成像 7.5 共轴球面光学系统 7.6 薄透镜成像 7.7 平面的折射成像 7.8 平面镜和棱镜系统 例题,7.1 几何光学的基本定律 7.1.1 波面、 光线和光束发射光能的物体称为光源。 实际光源都有一定的大小， 光源的大小影响着光源辐射光场的分布。 如果光源的大小与其辐射光能的作用距离相比可略去不计时， 该光源称为点光源。点光源是为了简化光波传播问题的研究而引入的一个物理模型， 它被抽象为一个几何点。 ,光源发出的光波是一种电磁波， 可以采用描述电磁波
2、的基本参数描述光波， 譬如频率、波长和相位等。 实际光源发射的光波包含多种频率的成分， 称为复色光。 通常为了简化光波传播问题的研究， 主要研究单一频率的光波， 即单色光(或简谐电磁波)。 对于由同一光源发出的单色波， 在同一时刻由相位相同的各点所形成的曲面称为该光波的波面。 波面可以是平面、 球面或其它曲面， 单色点光源的波面为球面。 光波沿波面的法线方向前进， 将该方向定义为光波的方向， 通常用波矢量描述， 它与波面垂直。 光波的传播过程实际上是光能量的传播过程， 光能量在空间的传播可以用能流密度矢量描述。 在几何光学中， 光学元件结构尺寸比波长大的多， 光波传播时， 衍射效应和矢量特性可
3、以忽略不计， 通常采用一种简化的方法表征光能量的传播。 为了了解这种处理方法， 我们首先看一个简单的例子。,考虑图7-1所示的水作稳定流动的水管， 水流在水管内任一点的流速确定， 可以将水管看做是由许多的细小的细水管即流管构成。 如果流管上各点沿轴线的切线方向和水流速度方向相同， 则每个流管的水只会在该管内流动， 不会流到管外， 这时可以将水在水管中的流动看做水在许多细小流管中的流动。 ,图7-1 水作稳定流动的水管,类似地， 光在空间传播时， 如果系统的结构尺寸比波长大得多， 传播过程中光的衍射可以忽略， 则可以在空间定义许多细小的管道， 称为光管， 光管上任一点沿轴线的切线方向与光波在该点
4、的能流密度矢量方向相同， 这时光在空间的传播可以看做光沿许多细小的光管传播。 相对系统的结构尺寸， 如果光管非常细， 则可以用一条曲线表示， 该曲线就是几何光学的光线。 光线是几何光学中为了简化光能量在空间的传播方向而引入的一个模型， 光线被抽象为既无直径又无体积的几何线， 它的切线方向实际上表示了光波能量的传播方向。 ,在各向同性介质中， 能流密度矢量和波矢量方向相同,光线方向即代表了能量的流动方向， 也表示光波传播的波矢量方向。 光源发出的光场在空间任一点的光线和相应的波面垂直， 光波波面法线就是几何光学中的光线。 同一波面的光线束称为光束。 如果光束中光线能够直接相交一点或各光线的反向延
5、长线能够相交于一点， 这样的光束称为同心光束。 球面波对应于会聚或发散的同心光束， 平面波对应于平行光束， 有时和同一波面对应的光束沿两个相互垂直的方向分别会聚成位于不同位置的两条线段， 称为像散光束， 如图7-2所示。,图7-2 几种光束,几何光学中的传播规律和成像原理，是用光线的传播途径加以直观表示的，光线的这种传播途径称为光路。实际上， 一个点光源发出的光线为数条，不可能对每一条光线都求出其光路。几何光学的做法是从光束中取出一个适当的截面， 求出其上的几条光线的光路，这种截面通常称为光束截面。,7.1.2 基本定律几何光学理论是以实验定律为基础的理论。为了研究光在介质和光学系统中的传播路
6、径，历史上，人们从不同角度描述光的传播路径，形成了多个基本定律。这些定律主要有光的直线传播定律、光的独立传播定律、光的折射定律和反射定律、费马原理和马吕斯定律。 1. 光的直线传播定律在各向同性的均匀介质中，光沿着直线传播，这就是光的直线传播定律。这是一种常见的普遍规律。光波在均匀介质中传播时，如果遇到的障碍物大小或通过孔径的大小比波长大得多，衍射可以忽略，就可以基于光的直线传播定律分析光波的传播。例如，利用光的直线传播定律可以很好地解释影子的形成、日蚀、月蚀等现象。,2. 光的独立传播定律从不同光源发出的光线， 以不同的方向通过介质某点时，各光线彼此互不影响， 好像其它光线不存在似地独立传播
7、， 这就是光的独立传播定律。 利用这条定律， 可以使我们对光线传播规律的研究大为简化， 因为当研究某一条光线的传播时，可不考虑其它光线的影响。,3. 光的折射定律和反射定律1) 折射定律和反射定律光波在传播过程中遇到两种不同介质构成的界面时，在界面上将部分反射，部分折射，如图7-3所示。反射光线和折射光线的传播方向可以由光的反射和折射定律确定。光的反 射和折射定律最早是由实验得到的，正如1.2节的讨论，也可以基于光的电磁理论进行严格的推导。它实质上反映了入射光波、反射光波和折射光波的波矢量在界面上的切向分量连 续。,在图7-3中，光滑界面两侧介质的折射率分别为n和n，入射光线在界面上的入射点为
8、O, 虚线为过O点的界面的法线，将入射光线与该法线所确定的平面称为入射面，则反射光线和折射光线均在入射面内。入射光线、折射光线和反射光线的方向可以利用其与法线的夹角表征，夹角依次为I、I和I。进一步规定由光线沿锐角转向法线，如果顺时针转动，光线和法线的夹角为正，反之，光线和法线的夹角为负。按照这样的规定，图中的入射角I和折射角I为正，反射角I为负，图中表示的是角度的大小，所以反射角的大小表示为I。这时折射定律可以表示为 n sinI=nsinI (7.1-1) 反射定律可以表示为 I=I (7.1-2),图7-3 反射和折射定律,如果在(7.1-1)式中，令n=n，则得I=I，此即反射定律的形
9、式。这表明，反射定律可以看做是折射定律的特殊情况，凡是基于折射定律推导得到的光线经过界面折射有关的公式，只要令n=n，I=I，便可得到光线经过界面反射时有关的公式。正是因为这样，可以用统一的方法和公式研究光线在折射光学系统和包含有反射光学元件的光学系统中的传播。 从折射定律和反射定律的数学表达式(7.1-1)和(7.1-2)可以看出，两个等式两边完全等价，这说明在图7-3中，当光线沿折射光线的反方向入射到界面经过折射后，折射光线沿原来入射光线的反方向出射；或光线沿反射光线反方向入射到界面经过反射后，反射光线也沿原来入射光线的反方向出射， 这就是所谓“光路的可逆性”。,光的反射和折射定律是在平面
10、波入射到无限大的几何平面的界面上，基于电磁波在介质界面上的边值关系严格推导出来的。实际上，当界面的大小和曲率半径比入射光波的波长大的多时，反射和折射定律在界面的局部也近似成立。实际几何光学元件表面的大小和曲率半径都是宏观尺寸，我们将光波分隔为许多细小的光管，每个光管的极限光线在界面上传播时，光的反射和折射定律是成立的。正因为此，光的反射和折射定律是借助光线研究光通过几何光学元件构成的光学系统传播的一个基本定律。 ,2) 矢量形式光线沿着一条光路传播时，碰到界面的法线方向可能沿空间任意方向，这时，为确定光线经过界面反射或折射后出射光线的传播方向，可以由光的反射和折射定律的矢量形式直接求解。 现在
11、定义三个矢量A、 A和A，它们的方向依次沿入射光线、折射光线和反射光线的传播方向，它们的大小分别为各光线所在空间的折射率。假如入射光波在真空中的波矢量大小为k0，入射光线、 折射光线和反射光线代表的光电磁波的波矢量依次为ki、kt和kr，则,(7.1-3),根据电磁场的边值关系及图1-19，ki、kt和kr在界面上的切向分量相等，相应的A、A和A在界面上的切向分量也相等，如图7-4所示。定义界面上入射点处的法向单位矢量为N0，它由入 射介质指向折射介质，显然有AA平行N0，AA平行N0，它们的关系可以表示为 AA=tN0, AA=rN0 (7.1-4) 上式中t和r分别称为折射和反射偏向常数。
12、在上面两式等号两边同时点乘N0，并且考虑到 N0A=n cosI, N0A=ncosI, N0A=n cosI (7.1-5) 可以得到,图7-4 反射和折射定律矢量关系,(7.1-6a),(7.1-6b),从而反射光线和折射光线矢量可以由入射光线矢量表示为,(7.1-7a),(7.1-7b),3) 全反射现象正如第1章的讨论，当光由光密介质进入光疏介质时，在两种介质的光滑界面上会出现所谓的全反射现象。当入射角大于由两种介质折射率所决定的临界角,(7.1-8),时， 光线将完全被界面反射。 ,在实际的光学应用中，对于反射光线的几何光学元件总是希望有高的反射率，为此在几何光学元件表面一般都镀有金
13、属膜或增反介质膜。但是金属膜层对光有吸收作用，增反介质膜的反射率与光波的波长有关，很难保证在一个比较宽的光谱范围内都具有高的反射率。相比之下，利用光在界面发生全反射来代替金属膜反射，可以减少光能的反射损失，且具有很宽的光谱范围。所以全反射在光学仪器中有广泛的应用， 例如在光学系统中，经常利用全反射棱镜代替平面反射镜。,4. 费马原理费马原理是由费马(Pierr Fermat)在1661年提出来的。这个原理从光程的角度来描述光线传播的路径，是一个极值定律。它不仅可以确定光线在均匀介质中的传播路径，也可以确定光线在非均匀介质中的传播路径。 如图7-5所示，如果光线在折射率为n(r)的介质中由A点传
14、播到B点，则在任一时刻，经过A和B的两个波阵面间的相位差不仅与光线从A到B的几何路径有关，还与沿光路介质的折射率分布有关。 ,图7-5 光在介质中的传播路径,通常将光线从A到B的几何路径与沿光路介质的折射率的乘积定义为光线从A到B的光程。如果介质均匀，从A到B的光路几何路程为S，则从A到B的光程L为 L=nS (7.1-9) 如果介质不均匀，则可以将光路分隔为任意小的线元ds，这时从A到B的光程L可以表示为积分形式：,(7.1-10),进一步，由于线元ds上的光程可以表示为n dsc ds/v=c dt，因而从A到B的光程L可表示为 L=ct (7.1-11),即光线在介质中从A到B的光程等于
15、光在介质中从A到B的传播时间与光速的乘积。由于在一个线元上相位的变化量为djk dsk0n ds，因而A和B两点的相位差为k0L，即光线上两点的相位差等于这两点间的光程乘以真空中波矢量的大小。 显然，从A到B的可能光路有无数条，每条路径都对应着一个光程值，到底光线沿哪一条路径由A传播到B呢？费马原理指出，光线从A点到B点，是沿着光程为极值的那条路径传播的，即实际光路所对应的光程，或者是所有光程可能值中的极小值，或者是所有光程可能值中的极大值，或者是某一稳定值。 若把任意一条几何上可能的路径记为l， 则与l对应的光程L(l)可表示为下面的方程： ,(7.1-12),对于不同的路径l，光程L(l)
16、可能取不同的值。如果广义地把路径l看做是自变量，则光程L(l)是l的泛函。泛函的极值可以由变分表示为,(7.1-13),这就是费马原理的数学表达式。 利用费马原理可以直接导出光的直线传播定律。这是因为两点间的路径以直线的长度为最短，故在均匀介质中直线所对应的光程为最小光程。,当光通过两种不同介质的分界面时，利用费马原理也可导出光的反射定律和折射定律。下面由费马原理推导光的折射定律。 如图7-6所示，过A点的光线经过由折射率为n和n的两种介质的界面折射后通过B点。由费马原理推导光的折射定律的问题，实际上就是证明在从A到B的所有可能的路径中，光实际传播的路径为光程取极值的路径，而这时在界面上的入射光线和折射光线满足折射定律。下面，首先证明满足光程极值的路径中，入射光线、折射光线和法线共面。,
