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1、 2.61 双曲线的性质双曲线的性质【学习目标学习目标】1.理解双曲线的对称性、范围、定点、离心率、渐近线等简单性质.2.能利用双曲线的简单性质求双曲线的方程.3.能用双曲线的简单性质分析解决一些简单的问题.【要点梳理要点梳理】要点一、双曲线的简单几何性质要点一、双曲线的简单几何性质双曲线（a0，b0）的简单几何性质22221xy ab范围范围2 22 21xxaa xaxa即或 双曲线上所有的点都在两条平行直线 x=-a 和 x=a 的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足 x-a 或 xa.对称性对称性对于双曲线标准方程（a0，b0） ，把 x 换成-x，或把 y 换成-y，或把
2、x、y 同时换成-x、-22221xy aby，方程都不变，所以双曲线（a0，b0）是以 x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点22221xy ab为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。顶点顶点双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。双曲线（a0，b0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为22221xy abA1（-a，0） ，A2（a，0） ，顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。两个顶点间的线段 A1A2叫作双曲线的实轴；设 B1（0，-b） ，B2（0，b）为 y 轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=
3、2a，|B1B2|=2b。a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长。双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。双曲线的焦点总在实轴上。实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。离心率离心率双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用 e 表示，记作。2 2cceaa因为 ca0，所以双曲线的离心率。1cea由 c2=a2+b2，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e 也越22 22 2( )11bcaceaaa b ab a大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。等轴双曲线，所以离心率。ab2e渐近线渐近线经过点 A2、A1
4、作 y 轴的平行线 x=a，经过点 B1、B2作 x 轴的平行线 y=b，四条直线围成一个矩形（如图） ，矩形的两条对角线所在直线的方程是。byxa 我们把直线叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。xaby22|bbMNxaxaa22220 bxaxa abxxa要点二、双曲线两个标准方程几何性质的比较要点二、双曲线两个标准方程几何性质的比较标准方程22221xy ab(0,0)ab22221yx ab(0,0)ab图形焦点，1(,0)Fc2( ,0)F c，1(0,)Fc2(0, )Fc焦距22 12| 2 ()FFc cab22 12| 2 ()FFc cab范围，x
5、 xaxa 或yR，y yaya 或xR对称性关于 x 轴、y 轴和原点对称顶点 (,0)a(0,)a轴实轴长=，虚轴长= a22b离心率(1)ceea性质渐近线方程xabyayxb 要点诠释：要点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看 x2、y2的系数，如果 x2项的系数是正的，那么焦点在 x 轴上；如果 y2项的系数是正的，那么焦点在 y 轴上。对于双曲线，a 不一定大于 b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上。要点三、双曲线的渐近线要点三、双曲线的渐近线（1）已知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程为，则其渐近线方程为1222
6、2 by ax02222by ax0by axxaby已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程。（2）已知渐近线方程求双曲线方程：若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可。0mxny2222m xn y（3）与双曲线有公共渐近线的双曲线12222 by ax与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，12222 by ax2222(0)xy ab 0x，焦点在 y 轴上）0（4）等轴双曲线的渐近线等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为.yx 22(0)xy 要点四、双曲线中要点四、双曲线中 a,b,c 的
7、几何意义及有关线段的几何特征：的几何意义及有关线段的几何特征： 双曲线标准方程中，a、b、c 三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：cb0，ca0，且c2=b2+a2。双曲线，如图：22221xy ab(0,0)ab（1）实轴长，虚轴长,焦距，12| 2A Aa2b12| 2FFc（2）离心率：；2 121122 2 121122|11|PFPFAFA FcbeePMPMAKA Kaa（3）顶点到焦点的距离：，；11AF 22A Fca12AF 21A Fac（4）中结合定义与余弦定理，将有关线
8、段、和角结合起21FPFaPFPF2211PF2PF21FF来.（5）与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理） 、三21FPF角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、 1 21211sin2PF FSPFPFFPF1PF2PF，有关角结合起来，建立、之间的关系. 12FF21PFF12PFPF12PFPF【典型例题典型例题】类型一：双曲线的简单几何性质类型一：双曲线的简单几何性质例例 1求双曲线的实轴长和虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程与离心率.22169144xy【解析】 把方程化为标准方程，由此可知实半轴长，虚半轴长，22 1916yx
9、3a 4b 225cab双曲线的实轴长，虚轴长，顶点坐标，焦点坐标，26a 28b (0, 3), (0,3)(0, 5), (0,5)离心率，渐近线方程为5 3cea3 4yx 【总结升华】在几何性质的讨论中要注意 a 和 2a，b 和 2b 的区别，另外也要注意焦点所在轴的不同，几何量也有不同的表示. 举一反三：举一反三：【变式 1】双曲线 mx2y21 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m 等于( )A B4 C4 D.1 41 4【答案】A【变式 2】已知双曲线 8kx2ky2=2 的一个焦点为，则 k 的值等于（ ）3(0,)2A2 B1 C1 D3 2【答案】C类型二：双曲线的渐近线
10、类型二：双曲线的渐近线例例 2.已知双曲线方程，求渐近线方程。（1）；（2） 22 1916xy22 -1916xy【解析】（1）双曲线的渐近线方程为：22 1916xy22 0916xy即4 3yx （2）双曲线的渐近线方程为：22 -1916xy22 0916xy即4 3yx 【总结升华】双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线22221(0,0)xyababbyxa 22221yx ab方程为，即；若双曲线的方程为（，焦点在轴上，bxya ayxb 2222xy mn00mn、，x，焦点在 y 轴上） ，则其渐近线方程为.022220xy mn0xy mnnyxm 举一反三：举一反三：【变式
11、 1】求下列双曲线方程的渐近线方程（1）；（2）；（3）22 11636xy2228xy22272yx【答案】（1）；（2）；（3）3 2yx 2 2yx 2yx 【变式 2】(2015 北京)已知双曲线的一条渐近线为，则 a_2 2 21(0)xyaa30xy【答案】3 3【解析】 渐进线为，有，由双曲线的方程得 b=1，且 a0所30xy3b a 2 2 21xya以3 3a 【变式】 （2016 北京文）已知双曲线22221xy ab （a0，b0）的一条渐近线为 2x+y=0，一个焦点为（5 ,0） ，则 a=_；b=_.【答案】依题意有，结合 c2=a2+b2，解得 a=1，b=2。
12、52cb a例例 3. 根据下列条件，求双曲线方程。（1) 与双曲线有共同的渐近线，且过点；22 1916xy( 3,2 3)（2）一渐近线方程为，且双曲线过点320xy(8,6 3)M【解析】 （1）解法一：解法一：当焦点在 x 轴上时，设双曲线的方程为22221xy ab由题意，得，解得，22224 3 ( 3)(2 3)1b aab29 4a 24b 所以双曲线的方程为224194xy当焦点在 y 轴上时，设双曲线的方程为22221yx ab由题意，得，解得，（舍去）22224 3 (2 3)( 3)1a bab24a 29 4b 综上所得，双曲线的方程为224194xy解法二：解法二：
13、设所求双曲线方程为（） ，22916xy0将点代入得，( 3,2 3)1 4所以双曲线方程为即221 9164xy224194xy（2）依题意知双曲线两渐近线的方程是.023xy故设双曲线方程为，2249xy点在双曲线上，(8,6 3)M ，解得，228(6 3) 494所求双曲线方程为.22 11636xy【总结升华】求双曲线的方程，关键是求、，在解题过程中应熟悉各元素（、及准线）ababce之间的关系，并注意方程思想的应用。若已知双曲线的渐近线方程，可设双曲线方程为0axby（）.2222a xb y0举一反三：举一反三：【变式 1】中心在原点，一个焦点在(0,3)，一条渐近线为的双曲线方
14、程是（ ）2 3yxA. B. 225513654xy225513654xyC. D.22131318136xy22131318136xy【答案】D【变式 2】过点(2，-2)且与双曲线有公共渐近线的双曲线是 ( )1222 yxA. B. 14222 xy12422 yxC. D. 12422 xy14222 yx【答案】A 【变式 3】设双曲线的渐近线方程为，则a的值为2221(0)9xyaa320xyA4 B3 C2 D1【答案】C【变式 4】双曲线与有相同的（ ）22221xy ab2222(0)xy ab A实轴 B焦点 C渐近线 D以上都不对【答案】C类型三：类型三：求双曲线的离心率或离心率的取值范围求双曲线的离心率或离心率的取值范围例例 4. 已知是双曲线的左、右焦点,过且垂直于轴的直线与双曲线的左支21,FF22221(0)xyabab1Fx交于 A、B 两点,若是正三角形,求双曲线的离心率。2ABF【解析】，是正三角形，12| 2FFc2ABF，12 3| 2 tan303AFcc 224 3|
