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1、第二 章函数、导数及其应用,第十二节导数的应用(一),抓 基 础,明 考 向,提 能 力,教 你 一 招,我 来 演 练,二、函数的极值与导数 1函数的极小值 函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在xa附近其它点的函数值都小，f(a)0，而且在点xa附近的左侧，右侧 ，则点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值,f(x)0,f(x)0,2函数的极大值 函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近的其他点的函数值都大，f(b)0，而且在点xb附近的左侧 ，右侧 ，则点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值 极小值点，极大值点
2、统称为极值点，极大值和极小值统称为极值,f(x)0,f(x)0,解析：f(x)3x22ax3，f(3)0， a5.,答案：D,1若函数f(x)x3ax23x9在x3时取得极值， 则a等于 ( ) A2 B3 C4 D5,3函数f(x)的定义域为开区间(a，b)， 导函数f(x)在(a，b)内的图象如图 所示，则函数f(x)在开区间(a，b) 内有极小值点 ( ) A1个 B2个 C3个 D4个 变式 上述图像为f(x)的图像 则该函数的极值情况如何？,解析：若f(x)0，则f(x)单调递增；若f(x)0.由图象可知只有1个极小值点,答案： A,1f(x)0与f(x)为增函数的关系：f(x)0能
3、推出f(x)为增函数，但反之不一定如函数f(x)x3在(，)上单调递增，但f(x)0，所以f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件,2可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0 的点不一定是极值点，即f(x0)0是可导函数f(x)在xx0处取得极值的必要不充分条件例如函数 yx3在x0处有y|x00，但x0不是极值点 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点 3 求函数极值的步骤,1已知函数f(x)x23x2ln x，求函 数f(x)的极值,(2)若f(x)为R上的单调函数， 则f(x)在R上不变号，结合与条件a0，知ax22ax10在R上恒成立，因此4a24a4a(a1)0， 由此并
4、结合a0，知0a1.,思考 若函数在某个区间上没有极值点则该函数在该区间上的图像情况如何？,例3 已知aR，讨论函数f(x)ex(x2axa1)的极值点的个数,即此时f(x)有两个极值点(2)当0即a0或a4时，方程x2(a2)x(2a1)0有两个相同的实根x1x2. 由题易知f(x)无极值(3)当0即0a0,2a3x，2a6.a3. 即a的取值范围是3，),冲关锦囊 求函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域 (2)求方程f(x)0的根 (3)用方程f(x)0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格 (4)由f(x)0的根左右的符号以及f(x)在不可导点左右的符号
5、来判断f(x)在这个根或不可导点处取极值的情况.,精析考题 例3 (2012兰州调研)已知实数a0，函数f(x) ax(x2)2(xR)有极大值32. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)求实数a的值,冲关锦囊,1求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能 2如果一个函数在给定定义域上的单调区间不止一个， 这些区间之间一般不能用并集符号“”连接，只能用“，”或“和”字隔开,解题样板（三）导数应用问题的规范解答,高手点拨在解答本题时，易误点是：一是求导后不会因式分解；二是由增函数得出3ax23ax10；三是对a的值不加讨论；四是当a0时，不会求a的范围 在解答解答题时，要注意以下几点：,(1)审题的规范性：明确条件，分析条件与目标的联系，确定解题思路 (2)语言叙述的规范性：要注意解题的步骤清楚，正确完整，不要漏掉必要的说明及出现跳步严重的现象 (3)答案的规范性：解完题目要准确写出答案，特别对分类讨论问题一定要将答案整合,点击此图进入,
