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1、在信号与系统中的应用,9.1 连续信号和系统,严格说来,MATLAB(就基本部分而言)是不能表示连续信号的,因为它给出的是各个样本点的数据。只是当样本点取得很密时可看成连续信号,什么叫密,要相对于信号变化的快慢而言,形象地说,在所有相邻样本点之间的数据变化必须非常小才能看成密,其严格的数学定义此处不予讨论。以下均假定相对于采样点密度而言,信号变化足够慢。 例9-1-1 连续信号的MATLAB描述 列出单位脉冲、单位阶跃、复指数函数等连续信号的MATLAB表达式。,程序exn911(1),clear, t0=0;tf=5;dt=0.05;t1=1; t=t0:dt:tf; % (1)单位脉冲信号
2、, % 在t1(t0t1tf)处有面积为1的脉冲信号。t=t0:dt:tf;st=length(t);n1=floor(t1-t0)/dt); % 求t1对应的样本序号x1=zeros(1,st); % 把信号先初始化为零x1(n1)=1/dt; % 给出t1处的脉冲信号subplot(2,2,1),stairs(t,x1)% 绘图,用stairs命令axis(0,5,0,22) % 为了使脉冲顶部避开图框,程序exn911(2),%(2)单位阶跃信号, %信号从t0到tf,在t1前为0,到t1处跃变为1. % 程序前几句即求t,st,n1的语句与上同 %产生阶跃信号 x2 = zeros(1
3、,n1-1),ones(1,st-n1+1); subplot(2,2,3),stairs(t,x2) % 绘图 axis(0,5,0,1.1) % 改变图框坐标 %(3)复数指数信号 u=-0.5;w=10;x4=exp(u+j*w)*t); subplot(2,2,2),plot(t,real(x4) % 绘图, subplot(2,2,4),plot(t,imag(x4) % 绘图,程序exn911运行结果,x1,x2,x3,x4的波形见右图.注意若要显示连续信号波形中的不连续点,用stairs命令;而要使波形光滑些,则用plot命令较好。复数指数信号可以分解为余弦和正弦信号,它们分别是
4、复数信号的实部和虚部。右图中的两个衰减振荡信号就代表了这两个相位差90度的分量。,例9-1-2 线性系统冲击响应,编写求任意高阶连续常系数线性系统冲击响应的程序。 解:建模 这个问题在第四章介绍多项式函数库时已打下了基础,在第七章例7-3-1中又给出了解法,读者可先看懂那些内容,然后再看本题。任意阶次的连续线性系统可用下列微分方程表述:写成传递函数形式为其特性可用系统传递函数的分子分母系数向量b和a来表示。,传递函数反变换的求法,如果分母系数多项式没有重根,则可以把两个多项式之比分解成n个一阶部分分式之和。即:其中p1,p2,pn是分母多项式的n个根,而r1,r2,rn是则对应于这n个根的留数
5、。一阶分式的反变换可以查表得到,容易写出冲击响应的公式如下:可见只要求出根向量p和留数向量r,线性方程的解就得到了。求根是代数问题,当阶次很高时,代数方程没有解析解。可喜的是MATLAB提供了用数值方法求根和留数的函数residue.m,它的调用格式为:r,p=residue(b,a),程序exn912,a=input(分母系数向量a=(书上取 poly(0,-1,-2,-5) ) ) b=input(分子系数向量b=(书上取 1,7,1 ) ) r,p = residue( b, a), % 求留数 k=input(是否要求波形？是,键入1;否,键入0 ); if k=1dt=input(d
6、t=(书上取0.05) );tf=input(tf=(书上取5 ); %设定时间数组t=0:dt:tf;h=zeros(1,length(t); % h的初始化for i=1:length(a)-1 % 根数为a的长度减1h = h+ r(i)*exp(p(i)*t); % 叠加各根分量end, plot(t,h),grid else,end,程序exn912运行结果,给出系统的传递函数为运行程序exn912,依次输入: (注意用poly函数把极点向量p=0,-1,-2,-5转换成系数向量a) a=poly(0,-1,-2,-5) B=1,7,1,dt=0.05,tf=5 得出的h(t)如右图
7、所示。,9-1-3 线性系统零输入响应的计算,线性时不变连续系统的特性可用常微分方程表示为:求其零输入响应。 解:在零输入条件u=0时,等式右端为零。系统响应的通解为:其中,p是特征方程的n个根组成的向量p1,p2,pn,其每个分量的系数Cn则由y及其各阶导数的初始条件y0, Dy0, , D(n-1)y0来确定。,代入初始条件得到的矩阵方程,初始条件数应该和常数数相等,由此构成一个确定C1,Cn的线性代数方程组,写成:矩阵V由特征根向量p确定,这种矩阵称为范德蒙特矩阵。在MATLAB中,有生成它的函数vander(p)。,求零输入响应程序exn913,它产生的矩阵与上述矩阵排列转了90度,故
8、用V=rot90(vander(p),按此思路编成程序exn913:a=input(输入分母系数向量a=a1,a2,.= ); n=length(a)-1; Y0=input(初始条件 Y0=y0,Dy0,D2y0,.= ); p=roots(a); V=rot90(vander(p);%生成系数矩阵V c= VY0; % 用左除求出系数向量C % 以下是计算并画出时间响应的程序段 dt=input(dt=); tf=input(tf= ) % 生成t向量和y初始向量 t=0:dt:tf; y=zeros(1,length(t); for k=1:n y= y+c(k)*exp(p(k)*t)
9、;end plot(t,y),grid % 绘图,数字实例,用这一个普遍程序来解一个三阶系统,设其微分方程为:初始条件为: ,求零输入响应。,解:运行exn913,按提示输入a为1,2,9,3; Y0为1,0,0; dt为0.1; tf为5;即可得到t=05秒的零输入响应曲线。再分别取Y0为0,1,0; 0,0,1,用hold on语句使三次运行生成的图形叠画在一幅图上,得到右图。,例9-1-4 重极点求反变换,命题:n级放大器,每级的转移函数均为 ,求阶跃输入下的过渡过程,画出n不同时的波形及频率特性。 解:建模 系统的转移函数为H(s)=,阶跃输入的拉普拉斯变换为1/ s,因此 输出为两者
10、的乘积,即求Y(s)的拉普拉斯反变换,即可得到输出过渡过程y(t)。这里我们遇到了一个有多重极点-wn的H(s)求拉普拉斯反变换的问题,数学上比较麻烦。为了避开重极点问题,可以有意把极点拉开一些,例如设n个极点散布在-0.98wn到1.02wn之间,由此就可用下面的程序来求:,程序exn914(1),clear,clf, N=input(输入放大器级数N=); wn=1000; dt=1e-4; tf=0.01;t = 0:dt:tf; y=zeros(N,length(t); % 输出初始化 for n=1:Np0=-linspace(.95,1.05,n)*wn; % 将H(s)极点分散布
11、置ay = poly(p0,0); % 由Y(s)的极点求分母系数by = prod(abs(p0); % 求Y(s)的分子系数r,p = residue(by,ay); % 求Y(s)的留数极点for k = 1: n+1 % 把各时域分量相加y(n,:) = y(n,:) + r(k)*exp(p(k)*t); endfigure(1),plot(t, y(n,: );grid,hold on % 绘制过渡过程 end,程序exn914(2)-画波德图,%下面的语句用来绘制波德图,如果用bode函数,只要一句 % figure(2),bode(prod(abs(p0), poly(p0);
12、hold onbh=by;ah= poly(p0); % 求H(s)的分子分母系数w=logspace(2,4); % 给出频率范围和分度H = polyval(bh,j*w)./polyval(ah,j*w); % 求H(jw)aH=unwrap(angle(H)*180/pi; % 求出相角fH=20*log10(abs(H); % 求出振幅figure(2),subplot(2,1,1),semilogx(w,fH),grid on,hold on % 绘幅频图subplot(2,1,2),semilogx(w,aH),grid on,hold on% 相频图 end,程序exn914运
13、行结果(时域),运行此程序,设N=4,可得过渡过程如右图,从中看出输出信号达到0.6处所需的时间约为单级时常数乘以级数。由于极点互相接近,此程序在N4时又会出现很大误差。,程序exn914运行结果(频域),右图绘出了多级放大器的频率特性,其幅特性(图上为分贝数),显示了低通特性,随级数的增加,通带减小, 从相特性看出,随级数的增加,负相移成比例地增加。,例9-1-5 方波通过滤波器,设方波信号的宽度为5秒,信号持续期为10秒,试求其在020【1/秒】频段间的频谱特性。如只取从010【1/秒】的频谱分量作反变换(相当于通过了一个低通滤波器),求其输出波形。 解:建模 设信号的时域波形f(t),在
14、0到10秒的区间外信号为零,则其付利叶变换为:按MATLAB作数值计算的要求,必须把t分成N份,用相加来代替积分,对于任一,可写成:,积分转化为求和运算,这说明求和的问题可以用f(t)行向量乘以ejt列向量来实现.此处的t是t的增量,在程序中,将用dt来代替. 由于要求出一系列不同的处的F值,而都可用同一公式,这就可以利用MATLAB中的元素群运算能力,把设成一个行数组,分别代入本公式左右端的中去,写成:F=f*exp(-j*t*w)*t 其中,F是与同长的行向量,exp中的t是列向量,w是行向量,t*w是一个矩阵,其行数与t相同,列数与w相同.这个式子就完成了付利叶变换,类比地可以得出付利叶
15、逆变换表示式. 由此得到下面的付利叶变换程序。,程序exn915,clear,tf=10; N=256;t = linspace(0,tf,N); % 给出时间分割 w1 = linspace(eps,20,N);dw =20/(N-1); % dw=1/4/tf;w1 =eps:dw:(N-1)/4/tf; % 给出频率分割 f =ones(1,N/2),zeros(1,N/2); % 给出信号(此处是方波) F1 = f*exp(-j*t*w1)*tf/(N-1); % 求付利叶变换 w = -fliplr(w1),w1(2:N); % 补上负频率 F = fliplr(F1),F1(2:N); % 补上负频率区的频谱 w2 = w(N/2:3*N/2); % 取出中段频率 F2 = F(N/2:3*N/2); % 取出中段频谱 subplot(1,2,1),plot(w,abs(F),linewidth,1.5),grid f1=F2*exp(j*w2*t)/pi*dw; % 对中段频谱求付利叶逆变换 subplot(1,2,2),plot(t,f,t,f1,linewidth,1.5),grid,程序exn915运行结果,执行这个程序的结果见下图,因为方波含有很丰富的高频分量,要充分恢复其原来波形需要很宽的频带,实践中不太可能做到。,
