逻辑函数化简--卡诺图化简

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1、庆元职业高级中学,电子电工组：叶行铨,计划课时：8课时,概 述,逻辑代数基础,逻辑函数及其表示方法,逻辑代数的基本定律和规则,逻辑函数的代数化简法,逻辑函数的卡诺图化简法,本章小结,逻辑代数的基本定律和规则,主要要求：,掌握逻辑代数的基本公式和基本定律。,了解逻辑代数的重要规则。,一、基本公式,二、基本定律,普通代数没有！,(二) 逻辑代数的特殊定理,吸收律,A + AB = A,推广公式：,思考：(1) 若已知 A + B = A + C，则 B = C 吗？,(2) 若已知 AB = AC，则 B = C 吗？,推广公式：,摩根定律,(又称反演律),主要要求：,掌握最小项的概念与编号方法，

2、了解其主要性质。,掌握用卡诺图表示和化简逻辑函数的方法。,理解卡诺图的意义和构成原则。,掌握无关项的含义及其在卡诺图化简法中 的应用。,逻辑函数的卡诺图化简法,代数 化简法,优点：对变量个数没有限制。缺点：需技巧，不易判断是否最简式。,卡诺图 化简法,优点：简单、直观，有一定的步骤和方法易判断结果是否最简。缺点：适合变量个数较少的情况。一般用于四变量以下函数的化简。,一、代数化简法与卡诺图化简法的特点,卡诺图是最小项按一定规则排列成的方格图。,n 个变量有 2n 种组合，可对应写出 2n 个乘积 项，这些乘积项均具有下列特点：包含全部变量， 且每个变量在该乘积项中 (以原变量或反变量)只 出现

3、一次。这样的乘积项称为这 n 个变量的最小 项，也称为 n 变量逻辑函数的最小项。,1. 最小项的定义和编号,(一)最小项的概念与性质,二、最小项与卡诺图,如何编号？,如何根据输入变量组 合写出相应最小项？,例如,3 变量逻辑函数的最小项有 23 = 8 个,将输入变量取值为 1 的代以原变量，取值为 0 的代以反变量，则得相应最小项。,简记符号,例如,2. 最小项的基本性质,(2) 不同的最小项，使其值为 1 的那组变量取值也不同。,(3) 对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为 0。,(4) 对于变量的任一组取值，全体最小项的和为 1。,3. 相邻最小项,两个最小项中只有一个变量互为

4、反变量，其余变量均相同，称为相邻最小项，简称相邻项。,相邻最小项重要特点：,两个相邻最小项相加可合并为一项， 消去互反变量，化简为相同变量相与。,(二) 最小项的卡诺图表示,将 n 变量的 2n 个最小项用 2n 个小方格表示， 并且使相邻最小项在几何位置上也相邻且循环相邻， 这样排列得到的方格图称为 n 变量最小项卡诺图， 简称为变量卡诺图。,变量取 0 的代以反变量取 1 的代以原变量,二 变 量 卡 诺 图,0 1,0 1,0 0,0 1,m0,m1,m2,m3,四 变 量 卡 诺 图,三 变 量 卡 诺 图,0 1,00 01,11,10,m6,m7,m4,m2,m3,000,m0,m

5、5,001,m1,以循环码排列以保证相邻性,变量取 0 的代以反变量取 1 的代以原变量,卡诺图特点： 循环相邻性,如何写出卡诺图方格对应的最小项？,已知最小项如何找相应小方格？,例如,原变量取 1，反变量取 0。,1,0,0,1,？,用卡诺图表示逻辑函数举例,已知 标准 与或 式画 函数 卡诺 图,例 试画出函数 Y = m (0,1,12,13,15) 的卡诺图,解： (1) 画出四变量卡诺图,(2) 填图,逻辑式中的最小项 m0、m1、m12、m13、m15 对 应的方格填 1，其余不填。,已 知 真 值 表 画 函 数 卡 诺 图,例 已知逻辑函数 Y 的真值表如下，试画出 Y 的卡诺

6、图。,解：(1) 画 3 变量卡诺图。,(2)找出真值表中 Y = 1对应的最小项，在卡诺图相应方格中填 1，其余不填。,已 知 一 般 表 达 式 画 函 数 卡 诺 图,解：(1) 将逻辑式转化为与或式,(2) 作变量卡诺图,找出各与项所对应的最小项方格填 1，其余不填。,例 已知 ，试画出 Y 的卡诺图。,AB,+,(3) 根据与或式填图,AB 对应最小项为同时满足 A = 1， B = 1 的方格。,四、用卡诺图化简逻辑函数,化简规律,（1）任何两个（21个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去一个变量（消去互为反变量的因子，保留公因子）。,（2）任何4个（22个）标1的相邻最小项

7、，可以合并为一项，并消去2个变量。,（3）任何8个（23个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去3个变量。,2 个相邻项合并消去 1 个变量，化简结果为相同变量相与。,4 个相邻项合并消去 2 个变量， 化简结果为相同变量相与。,8 个相邻项合并消去 3 个变量,画包围圈规则,包围圈必须包含 2n 个相邻 1 方格，且必须成方形。 先圈小再圈大，圈越大越是好；1 方格可重复圈，但 须每圈有新 1；每个“1”格须圈到，孤立项也不能掉。,同一列最上边和最下边循环相邻，可画圈； 同一行最左边和最右边循环相邻，可画圈； 四个角上的 1 方格也循环相邻，可画圈。,注意,m15,m9,m7,m6,m5

8、,m4,m2,m0,解：(1)画变量卡诺图,例 用卡诺图化简逻辑函数Y(A,B,C,D)=m (0,2,4,5,6,7,9,15),(2)填卡诺图,1,1,1,1,1,1,1,1,(3)画包围圈,a,b,c,d,(4)将各图分别化简,圈 2 个可消去 1 个变量，化简为 3 个相同变量相与。,Yb = BCD,圈 4 个可消去 2 个变量，化简为 2 个相同变量相与。,循环相邻,(5)将各图化简结果逻辑加，得最简与或式,解：(1)画变量卡诺图,例 用卡诺图化简逻辑函数Y(A,B,C,D)=m (0,2,5,7,8,10,12,14,15),(2)填卡诺图,1,1,1,1,1,1,1,1,(4)

9、求最简与或式 Y=,1,消 1 个剩 3 个,(3)画圈,消 2 个剩 2 个,4 个角上的最小项循环相邻,解：(1)画变量卡诺图,(2)填图,1,1,(4)化简,(3)画圈,例 用卡诺图化简逻辑函数,Y =,例 已知某逻辑函数的卡诺图如下所示，试写出其最简与或式。,解：,例 已知函数真值表如下，试用卡诺图法求其最简与或式。,注意： 该卡诺 图还有 其他画 圈法,可见，最简结果未必唯一。,解：(1)画函数卡诺图,1,1,1,1,1,1,(3)化简,(2)画圈,Y =,解：,利用卡诺图化简逻辑函数 F（A，B，C，D）=m(1,5,6,7,11,12,13,15),ACD,多余包围圈,约束项和随

10、意项都不会在逻辑函数中出现，所对应函数值视为 1 或 0 都可以，故称无关项。,不允许出现的无关项又称约束项；客观上不会出现的无关项又称随意项。,五、具有无关项的逻辑函数的化简,合理利用无关项可使逻辑式更简单,1. 无关项的概念与表示,无关项是特殊的最小项，这种最小项所对应的变量取值组合或者不允许出现或者根本不会出现。,无关项在卡诺图和真值表中用“”“”来标记，在逻辑式中则用字母 d 和相应的编号表示。,2. 利用无关项化简逻辑函数,无关项的取值对逻辑函数值没有影响。化简时应视需要将无关项方格看作 1 或 0 ，使包围圈最少而且最大，从而使结果最简。,将 d10 看成 0,其余看成 1,解：(

11、1)画变量卡诺图,例 用卡诺图化简函数Y=m (0,1,4,6,9,13)+ d (2,3,5,7,10,11,15),(2)填图,1,1,1,1,1,(4)写出最简与 - 或式,最小项,(3)画包围圈,无关项,1,0,例 已知函数 Y 的真值 表如下，求其最简 与 - 或式。,解：(1)画变量卡诺图,1,1,1,(4)写出最简与 - 或式,(2)填图,(3)画包围圈,解：(1)画变量卡诺图,(2)填图,(4)求最简与 - 或式,(3)画包围圈,求最简与非式基本方法是：先求最简与或式，再利用还原律和摩根定律变换为最简与非式。,(5)求最简与非式,分析题意,称约束条件，表明与项 AB 和 AC 对应的最小项不允许出现，因此 AB 和 AC 对应的方格为无关项。,因此卡诺图具有下面的特点：2n 个相邻最小项 有 n 个变量相异，相加可以消去这 n 个变量， 化简结果为相同变量的与。,卡诺图是按照使相邻最小项在几何位置上也相 邻且循环相邻这样的原则排列得到的方格图。,无关项有约束项和随意项两种情况，其取值 对逻辑函数值没有影响。因此，化简时应视 需要将无关项方格看作 1 或 0，使包围圈最 少而且最大，从而使结果最简。,同学们再见！,电子电工组：叶行铨,