1.1.1正弦定理

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1、正弦定理,正弦定理,1.1.1正弦定理,A,B,BC的长度与角A的大小有关吗?,三角形中角A与它的对边BC的长度是否存在定量关系?,在RtABC中,各角与其对边的关系:,不难得到:,C,B,A,a,b,c,在非直角三角形ABC中有这样的关系吗?,正弦定理:,在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等.,即,(1) 若直角三角形,已证得结论成立.,所以AD=csinB=bsinC, 即,同理可得,过点A作ADBC于D,此时有,证法1:,(2)若三角形是锐角三角形, 如图1,由(1)(2)(3)知，结论成立,且,仿(2)可得,(3) 若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2,此时也有,交BC延

2、长线于D,过点A作ADBC，,（2R为ABC外接圆直径）,2R,思考,求证:,证明：,作外接圆O,过B作直径BC/,连AC/,A,c,b,C,B,D,a,向量法,证法2:,利用向量的数量积，产生边的长与内角的三角函数的关系来证明.,剖析定理、加深理解,正弦定理可以解决三角形中哪类问题：,已知两角和一边，求其他角和边.,已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角，进而可求其他的边和角.,定理的应用,例 1,在ABC 中，已知c = 10,A = 45。, C = 30。求 a , b (精确到0.01）.,解：,且,19.32,=,已知两角和任一边， 求其他两边和一角,14.14,=,在ABC中

3、，已知 A=75，B= 45，c= 求a ， b.,在ABC中，已知 A=30，B=120，b=12 求a ， c.,a= ,c= , ,练习,例2,证明：,用正弦定理证明三角形面积,而,同理,ha,例 3,已知a=20， b=28 ， A=40 .解三角形 （角度精确到1 ,边长精确到1cm）,已知两边和其中一边 的对角,求其他边和角,变式: a=30, b=26, A=30求角B，C和边c,由于154.30 +3001800,故B只有一解 （如图）,C=124.30,变式: a=30, b=26, A=30求角B，C和边c,所以,25.70,C=124.30,a b A B ,三角形中大边对大角,已知两边和其中一边的对角,求其他边和角,1.根据下列条件解三角形 (1)b=13，a=26，B=30.,B=90，C=60，c= ,(2) b=40，c=20，C=45.,练习,注：三角形中角的正弦值小于时，角可能有两解,无解,课堂小结,（1）三角形常用公式：,（2）正弦定理应用范围：,已知两角和任意边，求其他两边和一角,已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角。(注意解的情况),正弦定理：,已知两边和其中一边的对角,求其他边和角时,三角形什么情况下有一解,二解,无解?,课后思考,谢谢大家,