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1、第六章 图与网路分析(图论 Graph Theory),6.1 图的基本概念 6.2 树图与最小生成树,2,哥尼斯堡七桥问题 哈密尔顿回路 Leonhard Euler (1707-1783) 在1736年发表第一篇图论方面的论文，奠基了图论中的一些基本定理 很多问题都可以用点和线来表示，一般点表示实体，线表示实体间的关联,3,6.1 图与网路的基本概念,1图与网路 节点 (Vertex) 物理实体、事物、概念 一般用 vi 表示 边 (Edge) 节点间的连线，表示有关系 一般用 eij 表示 图 (Graph) 节点和边的集合 一般用 G(V,E) 表示 点集 V=v1,v2, vn 边集
2、E=eij ,网路 (Network) 边上具有表示连接强度的权值，如 wij 又称加权图(Weighted graph),4,6.1.2 无向图与有向图,边都没有方向的图称为无向图 在无向图中 eij=eji，或 (vi, vj)=(vj, vi) 当边都有方向时，称为有向图，用G(V,A)表示 在有向图中，有向边又称为弧，用 aij表示，i, j 的顺序是不能颠倒的，图中弧的方向用箭头标识 图中既有边又有弧，称为混合图,6.1.3 端点，关联边，相邻，次,图中可以只有点，而没有边；而有边必有点 若节点vi, vj 之间有一条边 eij，则称 vi, vj 是 eij 的端点(end ver
3、tex)，而 eij 是节点 vi, vj 的关联边(incident edge) 同一条边的两个端点称为相邻(adjacent)节点，具有共同端点的边称为相邻边 一条边的两个端点相同，称为环；具有两个共同端点的两条边称为多重边 既没有自环也没有平行边的图称为简单图(simple graph) 在无向图中，与节点相关联边的数目，称为该节点的“次”(degree)，记为 d ；次数为奇数的点称为奇点(odd),次数为偶数的点称为偶点(even)；图中都是偶点的图称为偶图(even graph),6,6.1.3 端点，关联边，相邻，次,有向图中，由节点指向外的弧的数目称为正次数，记为 d+，指向该
4、节点的弧的数目称为负次数，记为 d 次数为 0 的点称为孤立点(isolated vertex) ，次数为 1 的点称为悬挂点(pendant vertex) 定理 1：图中奇点的个数总是偶数个6.1.4 链，圈，路径，回路，欧拉回路 相邻节点的序列 v1 ,v2 , vn 构成一条链(link)；首尾相连的链称为圈(loop)，在无向图中，节点不重复出现的链称为路径(path)；在有向图中，节点不重复出现且链中所有弧的方向一致，则称为有向路径(directed path) 首尾相连的路径称为回路(circuit)；,7,6.1.4 链，圈，路径，回路，连通图,走过图中所有边且每条边仅走一次的
5、圈称为欧拉回路 定理 2：偶图一定存在欧拉回路(一笔画定理)6.1.4 连通图，子图，成分 设有两个图 G1(V1, E1), G2(V2, E2), 若V2 V1, E2 E1， 则 G2 是 G1 的子图 无向图中，若任意两点间至少存在一条路径，则称为连通图，否则为非连通图；非连通图中的每个连通子图称为成分 一个简单图中若任意两点之间均有边相连，称为完全图。 链，圈，路径(简称路)，回路都是原图的子图 平面图，若在平面上可以画出该图而没有任何边相交,8,6.2 树图与最小生成树,一般研究无向图 树图：倒置的树，根(root)在上，树叶(leaf)在下 多级辐射制的电信网络、管理的指标体系、
6、家谱、分类学、组织结构等都是典型的树图,9,6.2.1 树的定义及其性质,任两点之间有且只有一条路径的图称为树(tree)，记为T树的性质： 任何树必存在次数为 1 的点 具有 n 个节点的树 T 的边恰好为 n1 条，反之，任何有n 个节点， n1 条边的连通图必是一棵树6.2.2 图的生成树 树 T 是连通图 G 的生成树，若 T 是 G的子图且包含图 G 的所有的节点；包含图 G 中部分指定节点的树称为 部分树； 每个节点有唯一标号的图称为标记图，标记图的生成树称为标记树； 定理：n (2)个节点，有nn2个不同的标记树,10,6.2.2 图的生成树,如何找到一棵生成树 深探法(dept
7、h first search)：任选一点标记为 0 点开始搜索，选一条未标记的边走到下一点，该点标记为 1，将走过的边标记；假设已标记到 i 点，总是从最新标记的点向下搜索，若从 i 点无法向下标记，即与 i 点相关联的边都已标记或相邻节点都已标记，则退回到 i 1 点继续搜索，直到所有点都被标记 广探法(breadth first search)：是一种有层级结构的搜索，一般得到的是树形图,11,6.2.3 最小生成树,有n 个乡村，各村间道路的长度是已知的，如何敷设光缆线路使 n 个乡村连通且总长度最短 显然，这要求在已知边长度的网路图中找最小生成树最小生成树的算法： 避圈 算法：将图中所有边按权值从小到大排列，依次选所剩最小的边加入边集 T，只要不和前面加入的边构成回路，直到 T 中有 n1 条边，则 T 是最小生成树 避圈算法基于下述定理 定理 3 指定图中任一点vi，如果 vj 是距 vi 最近的相邻节点，则关联边 eij 必在某个最小生成树中。 推论 将网路中的节点划分为两个不相交的集合V1和V2，V2=VV1，则V1和V2间权值最小的边必定在某个最小生成树中。,
