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1、微分方程的基本概念,含未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程；,未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程;,未知函数是多元函数的微分方程，称为偏微分方程；,微分方程中未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶.,能使微分方程成为恒等式的函数，称为微分方程的解.,微分方程的解、通解与特解,如果微分方程的解中含任意常数,且独立的(即不可合并而使个数减少的)任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解为微分方程的通解.,不包含任意常数的解为微分方程特解.,可分离变量的微分方程,1定义 形如,的方程称为可分离变量的方程.,特点 - 等式右端可以分解成两个函数之积，其中一个只是x的函数，另一个只
2、是y的函数,2解法:,两端积分得通解:,齐次方程,如果一阶微分方程 可以化成 的形式，则称此方程为齐次微分方程 这类方程的求解分三步进行： （1）将原方程化为方程 的形式 （2）作变量代换 以 为新的未知函数（注意， 仍是 的函数），就可以把齐次微分方程化为可分离变量的微分方程来求解,由 ，得 两端求导，得代入方程中，得,这是变量可分离的微分方程分离变量并积分，得（3）求出积分后，再以 代回，便得到所求齐次方程的通解,一阶线性微分方程,形如 的方程称为一阶线性微分方程，其中P(x)，Q(x)是连续函数，且方程关于y及 是一次的，Q(x)是自由项.,为一阶线性非齐次方程，,为一阶线性齐次方程.,
3、一阶线性非齐次微分方程的求解步骤如下:,1.先求,的通解：,分离变量后得,化简后，方程(2)的通解为,其中C为任意常数.,2.利用“常数变易法”求线性非齐次方程(1)的通解：,设,是方程(1)的解，其中C(x)为待定常数,将(4)式求其对x的导数，得,代入方程(1)中，得,化简后，得,把(5)式代入(4)式中，即得方程(1)的通解为,通过把对应的线性齐次方程的通解中的任意常数变易为待定函数，然后求出线性非齐次方程的通解，这种方法称为常数变易法.,二阶常系数线性微分方程,一、二阶常系数线性微分方程二、 常系数线性齐次微分方程解的结构三、 二阶常系数线性齐次微分方程的解法,的方程，称为二阶线性微分
4、方程.当 时，方程(1)成为,形如,当系数P(x)、Q(x)分别为常数p、q时，则称方程,为二阶常系数线性齐次微分方程，称方程,/,为二阶常系数线性非齐次微分方程.,定理 设y1(x)， y2(x)是二阶常系数线性齐次微分方程(3)的两个解，则 也是方程(3)的解，其中C1, C2是任意常数.,一、二阶常系数线性齐次微分方程解的性质与通解结构,定理 如果函数y1(x) 与y2(x)是二阶常系数线性齐次微分方程(3)的两个线性无关的特解，则,就是方程(3)的通解.,求二阶常系数齐次线性微分方程(3)的通解步骤：,1.写出特征方程，并求出特征方程的两个根；,2 .根据两个特征根的不同情况，按照公式
5、(6)、(7)或(8)写出微分方程的通解.可使用下表:,二阶常系数非齐次线形微分方程,二阶常系数非齐次线形微分方程的一般形式为：当 时，二阶常系数非齐次线形 微分方程具有形如 的特解，其中 是与 同次（m次）的多项式，而k按 是不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2。,当 或 时， 由欧拉公式知道， 和 分别是 的实部和虚部。 而方程 具有形如的特解，其中 是与 同次（m次）的多项式，而k按 是不是特征方程的根、是特征方程的单根依次取0或1。 方程 和 的特解分别是（9）式的特解的实部和虚部。,欧拉方程,形如 的方程称为欧拉方程，其中 为常数。 欧拉方程的特点是：方程中各项未知函数导数的阶数与其乘积因子自变量的幂次相同。 解法：作变量替换 将自变量x换成t，则有,如果采用记号D表示对自变量t的求导运算 则上述结果可以写为将上述变换代入欧拉方程，则可化为以t为自变量的常系数线性微分方程，求出该方程的解后，把t换为，即得欧拉方程的解。,
