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1、- 0 -第第 1 1 章章 空间几何体空间几何体 1 11 1 .1.1 柱、锥、台、球的结构特征柱、锥、台、球的结构特征 1.1. 2 2 空间几何体的三视图和直观图空间几何体的三视图和直观图1111 三视图：三视图：正视图：从前往后正视图：从前往后侧视图：从左往右侧视图：从左往右俯视图：从上往下俯视图：从上往下 2222 画三视图的原则：画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等长对齐、高对齐、宽相等3333 直观图：斜二测画法直观图：斜二测画法 4444 斜二测画法的步骤：斜二测画法的步骤： （1 1）. .平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2 2）.
2、 .平行于平行于 y y 轴的线长度变半，平行于轴的线长度变半，平行于 x x，z z 轴的线长度不变；轴的线长度不变； （3 3）. .画法要写好。画法要写好。 5 5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（用斜二测画法画出长方体的步骤：（1 1）画轴（）画轴（2 2）画底面（）画底面（3 3）画侧棱（）画侧棱（4 4）成图）成图1.31.3 空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积 （一（一 ）空间几何体的表面积）空间几何体的表面积 1 1 棱柱、棱锥的表面积：棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和各个面面积之和2 2 圆柱的表面积圆柱的表面积 3 3 圆锥的表面积圆锥的表面积2rrlS4
3、 4 圆台的表面积圆台的表面积22RRlrrlS5 5 球的表面积球的表面积24 RS（二）空间几何体的体积（二）空间几何体的体积1 1 柱体的体积柱体的体积 hSV底2 2 锥体的体积锥体的体积 hSV底313 3 台体的体积台体的体积 hSSSSV)31下下上上（4 4 球体的体积球体的体积 3 34RV第二章第二章 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系2.12.1 空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系222rrlS- 1 -2.1.12.1.1 1 1 平面含义：平面是无限延展的平面含义：平面是无限延展的 2 2 平面的画法及表示平面的画法及表示 （1 1
4、）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边行四边 形，锐角画成形，锐角画成 45450 0，且横边画成邻边的，且横边画成邻边的 2 2 倍长（如图）倍长（如图） （2 2）平面通常用希腊字母）平面通常用希腊字母 、 等表示，如平等表示，如平面面 、 平面平面 等，也可以用表示平面的平行四边形的四个等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或顶点或 者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面 ACAC、平、平 面面 ABCDABCD 等。等。 3 3 三个公理：三个公理： （1 1）公理）公理 1 1：如果一条
5、直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为符号表示为 ALAL BLBL = L L AA BB 公理公理 1 1 作用：判断直线是否在平面内作用：判断直线是否在平面内 （2 2）公理）公理 2 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：符号表示为：A A、B B、C C 三点不共线三点不共线 = 有且只有一个平面有且只有一个平面 ， 使使 AA、BB、CC。 公理公理 2 2 作用：确定一个平面的依据。作用：确定一个平面的依据。 （3 3）公理）公理 3
6、3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：符号表示为：PP =L=L，且，且 PLPL 公理公理 3 3 作用：判定两个平面是否相交的依据作用：判定两个平面是否相交的依据2.1.22.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系1 1 空间的两条直线有如下三种关系：空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面
7、直线：异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 2 公理公理 4 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设符号表示为：设 a a、b b、c c 是三条直线是三条直线 abab cbcb 强调：公理强调：公理 4 4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理公理 4 4 作用：判断空间两条直线平行的依据。作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补等角定理：
8、空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 4 注意点：注意点： aa与与 bb所成的角的大小只由所成的角的大小只由 a a、b b 的相互位置来确定，与的相互位置来确定，与O O的选择无关，为了简便，点的选择无关，为了简便，点O O 一般取在两直线中的一条上；一般取在两直线中的一条上； 两条异面直线所成的角两条异面直线所成的角 (0(0， ) )； 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作 abab； 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；两条直线互相垂直，有共面垂直
9、与异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。DCBALA CB A P L共面直线=ac2- 2 -2.1.32.1.3 2.1.42.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1 1、直线与平面有三种位置关系：、直线与平面有三种位置关系： （1 1）直线在平面内）直线在平面内 有无数个公共点有无数个公共点 （2 2）直线与平面相交）直线与平面相交 有且只有一个公共点有且只有一个公共点 （3 3）直线在平面平行）直线在平面平行 没有公共点没有
10、公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a a 来表示来表示a a a=Aa=A aa 2.2.2.2.直线、平面平行的判定及其性质直线、平面平行的判定及其性质2.2.12.2.1 直线与平面平行的判定直线与平面平行的判定1 1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平 面平行。面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。简记为：线线平行，则线面平行。 符号表示：符号表示： a a b b = a
11、a abab 2.2.22.2.2 平面与平面平行的判定平面与平面平行的判定 1 1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示：符号表示： a a b b abab = = P P aa bb 2 2、判断两平面平行的方法有三种：、判断两平面平行的方法有三种： （1 1）用定义；）用定义； （2 2）判定定理；）判定定理； （3 3）垂直于同一条直线的两个平面平行。）垂直于同一条直线的两个平面平行。 2.2.32.2.3 2.2.42.2.4 直线与平面、平面与
12、平面平行的性质直线与平面、平面与平面平行的性质 1 1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为：线面平行则线线平行。简记为：线面平行则线线平行。 符号表示：符号表示：aa a a abab = b b 作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。- 3 -2 2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 符号表示：符号表示： = a a abab
13、= b b 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.32.3 直线、平面垂直的判定及其性质直线、平面垂直的判定及其性质2.3.12.3.1 直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定1 1、定义、定义如果直线如果直线 L L 与平面与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 L L 与平面与平面 互相垂直，记互相垂直，记作作 LL，直线，直线 L L 叫做平面叫做平面 的垂线，平面的垂线，平面 叫做直线叫做直线 L L 的垂面。如图，直线与平面垂直时的垂面。如图，直线与平面垂直时, ,它们唯一公共点它们唯一
14、公共点 P P 叫做垂足。叫做垂足。L Lp p 2 2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。注意点：注意点： a)a)定理中的定理中的“两条相交直线两条相交直线”这一条件不可忽视；这一条件不可忽视；b)b)定理体现了定理体现了“直线与平面垂直直线与平面垂直”与与“直线与直线垂直直线与直线垂直”互相转化的数学思想。互相转化的数学思想。2.3.22.3.2 平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定1 1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A A 梭梭 l l B B 2 2、二面角的记法：二面角、二面角的记法：二面角 -l-l- 或或 -AB-AB-3 3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线
