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1、1,第三章 数字信号处理技术,1、数字信号处理的主要研究内容,数字信号处理主要研究用数字序列来表示测试信号，并用数学公式和运算来对这些数字序列进行处理。内容包括数字波形分析、幅值分析、频谱分析和数字滤波等。,3.1 数字信号处理概述,2,2、测试信号数字化处理的基本步骤,3,3、数字信号处理的优势,1)用数学计算和计算机显示代替复杂的电路和机械结构,4,2)计算机软硬件技术发展的有力推动,a)多种多样的工业用计算机。,5,b)灵活、方便的计算机虚拟仪器开发系统,6,3.2 模数(A/D)和数模(D/A),采样利用采样脉冲序列，从信号中抽取一系列离散值，使之成为采样信号x(nTs)的过程。,编码
2、将经过量化的值变为二进制数字的过程。,量化把采样信号经过舍入变为只有有限个有效数字的数，这一过程称为量化。,1、A/D转换,7,8,2) A/D转换器的技术指标,(1) 分辨率;用输出二进制数码的位数表示。位数越多，量化误差越小，分辨力越高。常用有8位、10位、12位、16位等。,为了缩短量化一个采样值所需的时间，一般均把采样值经过舍入变为只有有限个有效数字的整数，这个整数最大为255时，用二进制表示有8bit，最大为4095时，用二进制表示有12bit，分别表示量化能达到的精度。采样后的数据总是离散的及有限的，这就引出了离散傅里叶变换的问题，即希望电子计算机算出的离散傅里叶变换与原信号的连续
3、傅里叶变换是一致的。,9,(3) 模拟信号的输入范围; 如，5V， +/-5V，10V，+/-10V等。,(2) 转换速度;指完成一次转换所用的时间，如:1ms(1KHz)； 10us(100kHz) 时间间隔t必须大于量化一个采样值所需的时间才能保证采样能连续进行下去，f =1/t称为采样频率，各种A/D转换器件都规定了它能工作的最高采样频率。,10,2、D/A转换过程和原理,D/A转换器是把数字信号转换为电压或电流信号的装置。,11,3.3 采样定理,采样是将采样脉冲序列p(t)与信号x(t)相乘，取离散点x(nt)的值的过程。,12,X(0), X(1), X(2), , X(n),13
4、,每周期应该有多少采样点 ？,14,15,频域解释,16,采样定理,为保证采样后信号能真实地保留原始模拟信号信息，信号采样频率必须至少为原信号中最高频率成分的2倍。这是采样的基本法则，称为采样定理。,Fs 2 Fmax,17,需注意，满足采样定理，只保证不发生频率混叠，而不能保证此时的采样信号能真实地反映原信号x(t)。工程实际中采样频率通常大于信号中最高频率成分的3到5倍。,18,频混计算：,混迭频率=Fs-信号频率,19,A/D采样前的抗混迭滤波：,20,3.4 信号的截断、能量泄漏,为便于数学处理，对截断信号做周期延拓，得到虚拟的无限长信号。,用计算机进行测试信号处理时，不可能对无限长的
5、信号进行测量和运算，而是取其有限的时间片段进行分析，这个过程称信号截断。,21,周期延拓后的信号与真实信号是不同的，下面我们就从数学的角度来看这种处理带来的误差情况。,设有余弦信号x(t), 用矩形窗函数w(t)与其相乘，得到截断信号: y(t) =x(t)w(t),将截断信号谱 XT()与原始信号谱X()相比较可知，它已不是原来的两条谱线，而是两段振荡的连续谱. 原来集中在f0处的能量被分散到两个较宽的频带中去了，这种现象称之为频谱能量泄漏。,22,周期延拓信号与真实信号是不同的：,能量泄漏误差,23,克服方法之一：信号整周期截断,24,3.5 DFT与FFT,由于计算机的应用与普及，快速傅
6、立叶变化（FFT）技术的出现，数字信号分析发展越来越快，已完全替代模拟分析的趋势。进行数字信号分析，可以采用专用的数据处理机，用硬件进行快速傅立叶变换，也可以在电子计算机的控制下进行A/D转换，即采样，再用软件或硬件进行快速傅立叶变换及计算其它函数。,25,1、离散傅立叶变换,离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform）一词是为适应计算机作傅里叶变换运算而引出的一个专用名词。,周期信号xT(t)的傅里叶变换：,26,对周期信号xT(t)采样，得离散序列xT(n),将积分转为集合：,展开，得连续傅立叶变换计算公式：,用计算机编程很容易计算出指定频率点值：,27,f=？
7、/计算的频率点 Fs=? N=1024 dt=1.0/Fs pi=3.1415926 XR=0 XI=0,For n=0 To N-1 XR=XR+x(n)*cos(2*pi*f*n*dt)*dtXI=XI+x(n)*sin(2*pi*f*n*dt)*dt Next A=sqr(XR*XR+XI*XI) Q=atn(XI/XR),VBScript 样例,28,采样信号频谱是一个连续频谱，不可能计算出所有频率点值，设频率取样间隔为：,f = fs / N,频率取样点为0,f,2f,3f,，有：,29,下图为离散傅里叶变换的图解分析。图a中，左边是被分析的信号x（t）右边是希望得到的连续傅里叶变换
8、 X（f）。图 b中，左边是采样脉冲序列0（t），右边是其傅里叶变换 0（f） 。图c中，左边是被分析的信号x（t） 与采样脉冲序列 0（t）的乘积，右边是其傅里叶变换，相应于图a中右边信号与图b中右边信号的卷积，由于被分析信号中包含有较高频率成分，而采样频率相对较低，因而频谱的高端出现混叠。图d中，左边是矩形脉冲W（t），右边是其傅里叶变换W（f）。图e中，左边是有限个采样脉冲序列，这是实际情况，相应于图c中左边信号与图d中左边信号的乘积，右边是其傅立叶变换，由于时域中信号被截断，反映在频谱高端产生了皱波。,30,图f中，右边是频域采样脉冲序列 1（f），左边是其逆傅里叶变换 1（t）。图g
9、中，由于经过离散傅里叶变换后只能得到离散的频谱即右边信号X（n），相应于图 e中右边信号与图 f 中右边信号的乘积，其包络确实近似地表示出连续傅里时变换，左边是其逆傅里叶变换x（k），即还原的被分析信号，其包络也近似地表示出原被分析信号，但已将其周期化。由以上简单分析可知，若不希望产生频率混叠现象，采样频率必须大于最高被分析频率两倍以上，或必须将大于1/2采样频率以上的频率成分滤掉，即进行抗混滤波，这称为香农（shannon）采样定理；若希望减小皱波，则时域中不能突然截断信号，应根据信号的特点，采用不同的窗函数，减小皱波效应。,31,32,2、快速傅立叶变换 (FFT),DFT为离散信号的分析
10、处理从理论上提供了变换工具，而快速付里叶变换FFT（Fast FourierTransform）则是作为DFT的一种快速算法而发展起来的。我们知道，有限长度序列数字信号处理中占有重要的地位，从时间域到频率域处理这些序列的手段就是DFT。然而，按照DFT的定义式进行计算，尽管是采用计算机，也要花费很长的时间，因此，DFT的普及应用受到一定的限制。1965年美国学者库勒（J.W.Cooley）和图基（J.W.Tukey）提出了离散付里叶变换的一种快速算法，使计算工作量大为减少，从而使把时域问题转换到频域的高效处理成为可能。,33,34,按定义计算DFT，需要N2次复数乘法及N（N1）次复数加法，若
11、N=1024，则实数乘和实数加各为419万次，计算量非常巨大。FFT只需Nlog2 N数量级的运算，计算量比值为1/100，并且序列越长，计算量的减少越显著，因此大大地节约了运算时间。从三角公式也可看出有大量重复的cos、sin计算，FFT的作用就是用技巧减少cos、sin项重复计算。,35,FFT的具体实现方法有多种，关于这方面的讨论可参阅数字信号处理等有关文献资料，此处只简要介绍其中最基本、同时也是最重要的基 2时间选抽算法的原理。FFT的思路是：将序列逐次奇偶对分，直到各子序列只含有一个数，求出单项序列的DFT，（为其自身），然后合成两序列的 DFT，由此再合成四项序列的DFT，-，最后
12、由两个N/2项序列的DFT合成原序列的DFT。,36,37,38,这里相位因子WkN = e-j2nk/N有三个重要性质： （1）周期性Wk+mNN= WkN； （2）对称性Wk+N/2N=- WkN； （3）换底公式： WmNN= WkN/m。 正是利用这些性质，可以避免DFT计算式中很多不 必要的重复计算，减少计算量，加快DFT的运算速 度。,39,40,41,从上图可见，变换后的输出序列X（k）按正序排列，但在输入序列X（n）的排列次序不是原来的自然顺序，而是变成了0，4，2，6，1，5，3，7。这是由于对原序列作了三次奇偶分解后得到的，如下图所示。掌握这一规律可对N为2的任意次幂的序列
13、均能作出正确的抽取顺序。,数据整序方法 （奇偶分解整序）,0,42,3.6 栅栏效应与窗函数,1、栅栏效应,为提高效率,通常采用FFT算法计算信号频谱，设数据点数为N，采样频率为Fs。则计算得到的离散频率点为:,Xs(Fi) ， Fi = i *Fs / N , i = 0，1，2，.，N/2,如果信号中的频率分量与频率取样点不重合，则只能按四舍五入的原则，取相邻的频率取样点谱线值代替。,43,可见在进行DFT的过程中，最后需对信号的频谱作采样，经过这种采样所能显示出来的频谱仅在各采样点上，而不在此类点上的频谱一律显示不出来，即使在其它点上有重要的峰值也会被忽略，这就是栅栏效应。,44,2 能
14、量泄漏与栅栏效应的关系,频谱的离散取样造成了栅栏效应，谱峰越尖锐，产生误差的可能性就越大。,例如，余弦信号的频谱为线谱。当信号频率与频谱离散取样点不等时，栅栏效应的误差为无穷大。,45,实际应用中，由于信号截断的原因，产生了能量泄漏，即使信号频率与频谱离散取样点不相等，也能得到该频率分量的一个近似值。,从这个意义上说，能量泄漏误差不完全是有害的。如果没有信号截断产生的能量泄漏，频谱离散取样造成的栅栏效应误差将是不能接受的。,46,能量泄漏分主瓣泄漏和旁瓣泄漏，主瓣泄漏可以减小因栅栏效应带来的谱峰幅值估计误差，有其好的一面，而旁瓣泄漏则是完全有害的。,47,3 常用的窗函数,1）矩形窗,48,2
15、）三角窗,49,3）汉宁窗,50,常用窗函数,51,3.7 数字信号分析处理中存在的问题 及解决方法,1）量化误差时间离散、幅值离散。量化误差的最大值为数字编码最后位所代表值的一半。途径：加大量化编码的位数。十二位、十六位。2）混叠措施：提高采样频率，降低信号的最高频率fmax。抗混叠滤波。,52,3）泄漏 措施： 增加截断长度。 采用不同的窗函数。目的使主瓣突出，二是使旁瓣尽快衰减。但实际上两者往往不可兼的得。,4）栅栏效应 措施：整周期截取;采用不同的窗函数。,53,图示 周期信号作整周期截取的DFT,54,图示 周期函数作非周期截取的DFT,55,通过加窗控制能量泄漏，减小栅栏效应误差：
16、,加矩形窗,加汉宁窗,56,说明： 对x（t）采一段样，相当于用一矩形窗去截取原信号，在矩形窗外的信号值都假设为零，在矩形窗内同原信号。然后在作离散付里叶变换时，又相当于强迫原信号成为窗长度为周期的周期信号。当原信号不是周期信号，或者虽是周期信号，但截取长度不等于整周期时，就歪曲了原信号，如 图所示的正弦波（图中（a）当非整周期截断时，等价的周期函数将不再是正弦波（图中（b），这就改变了信号的频率结构。又如图正弦波整周期截断时，其频谱图上有一根谱线，但若是非整周期截断，就出现了原来频率以外的许多频率成分，即出现了频率泄漏现象。为了克服这种现象因而采用了各种不同的窗函数。,57,58,小结：,信号截断能量泄漏,FFT栅栏效应,从克服栅栏效应误差角度看，能量泄漏是有利的。,59,3.8 时域统计量的离散运算及平均,采样后的信号是离散的，积分相应地要变为求和运算，所以上面的各运算公式均要按求和来运算。这里就不在赘述了。由于数据处理设备的限制，采样后的数据点数N不可能非常大，常用的点数一般为1024、2048、4096等，只按一个样本的结果来分析信号，尤其对于平稳随机过程会产生较大的估计误差。解决的办法是，根据数据处理设备的特点，可每次采样 N点，进行处理并保存中间结果，再采样 N点，进行处理与前次中间结果平均，就能减少估计误差。这种方法称为集合平均的方法，它是算术平均的一种推广。,
