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1、微分方程竞赛模型,2,1996年全国大学生数学建模竞赛试题分析 A题 最优捕鱼策略,利用微分、差分方程建立数学模型,为了保护人类赖以生存的自然环境, 可再生资源(如渔业、林业)的开发必须适度. 一种合理、简化的策略是在实现可持续收获的前提下, 追求最大产量或最佳效益. 考虑对某种鱼(鳀鱼)的最优捕捞策略：,鳀(t)鱼 体长十余厘米,银灰色,侧扁,生活在海中.亦称黑背鳀. 幼鱼干制品称海蜒(yn),3,假设这种鱼分4个年龄组: 称1龄组, ,4龄组. 各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07, 11.55, 17.86, 22.99(克); 各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8(1/年); 这种鱼为季
2、节性集中产卵繁殖, 平均每条4龄鱼的产卵量为1.109105(个); 3龄鱼的产卵量为这个数的一半, 2龄鱼和1龄鱼不产卵, 产卵和孵化期为每年的最后4个月; 卵孵化并成活为1龄鱼, 成活率(1龄鱼条数与产卵总量n之比)为,4,每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业. 如果每年投入的捕捞能力(如渔船数、下网次数等)固定不变, 这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比, 比例系数不妨称捕捞强度系数. 通常使用13mm网眼的拉网, 这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼, 其两个捕捞强度系数之比为0.42:1. 渔业上称这种方式为固定努力量捕捞.,渔业管理部门规定:,5,1) 建立数学模型分析如
3、何实现可持续捕获(即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变), 并且在此前提下得到最高的年收获量(捕捞总重量). 某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年, 合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏. 已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为: 122, 29.7, 10.1, 3.29(109条), 如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司采取怎样的策略才能使总收获量最高？,6,对该问题的几点说明:,原问题实质上是明确或隐含地给出了各年龄组鱼群的转化规律, 并给出了它们的自然死亡率及产卵的时间分布, 并固定每年投入的捕捞能力及 3 、 4 龄鱼捕捞能力的比值, 要求选择一定的捕捞能力系数, 使得各年龄
4、组鱼量在各年开始捕捞前条数不变, 或 5 年后鱼群的生产能力不会有太大的破坏, 并在此条件下, 得到以重量计的最大捕获量.,7,必须首先明确以下三个概念的含义： (1)捕捞强度系数. 如果用数学语言来表达就是: 只考虑捕捞对种群变化的影响, 则在t, t+t这段时间内鱼类种群由捕捞产生的变化量为 N(t) N(t+ t), 单位时间的捕捞量是: N(t) N(t+ t)/ t , 当它与鱼群的大小成正比时应该有关系 N(t) N(t+ t)/ t qN(t) 这个关系应该对任何时间间隔t都成立。,8,(2)“季节性集中繁殖”. 题目中说产卵孵化期是每年的最后四个月, 而且是集中繁殖, 那末假设
5、时间服从均匀分布是不合适的(这时鱼类个体每1.2分钟产一个卵).在不失生物学的真实的前提下, 使模型分析尽量简单的假设应该是假设: 鱼群的个体在后四个月的第一天集中一次产卵.,于是, 令t0就得到方程 dN/dt qN, 捕捞系数应该理解为满足这个关系的量q. 如果直接把它理解为捕捞的百分率是不恰当的.,9,(3) “自然死亡率(1/年) ”. 注意, 这是一个有量纲的量, 它既不是简单的百分率又不是简单的变化速率. 实际上它是百分比率的变化率. 它应该理解为以每年死亡80%的速率减少, 并不是在一年内恰好死亡80%. 另外, 题目中没有说明四龄以上的鱼如何处理. 我们可以假设这种鱼只活到四龄
6、, 以后它就死掉了. 也可以假设四龄以后的鱼仍然活着. 这对模型没有太大的差别, 只是后者的分析计算稍复杂, 计算结果也只是稍有差别.,10,摘要,本问题是典型的可再生资源开发问题, 因此我们以成熟的Scheafer模型为基础求解. 在建模过程中, 我们对各年龄组鱼在一年的数量变化规律应用微分方程进行分析, 建立捕捞期和产卵期各组鱼群的数量随时间变化的指数型方程. 此后我们又对各组鱼群之间的数量关系建立按年份变化的离散型方程, 最终获得既简单又比较精确的离散型迭代方程组.,11,在模型求解过程中 , 我们结合计算机分析求解的技术 ,应用 Mathematical 软件和 Wtcom C/C+
7、编辑器 , 通过编程求出了问题的解 , 并以作图的方式给出了模型的直观表示 . 我们 . 得出如下结论 : ( 略 ),所涉及的知识： 微分方程 ，差分方程,12,该模型讨论的主要内容,问题的分析 模型的假设与符号说明 模型的建立 模型结果及检验 模型的评价及应用 对鱼的捕捞的进一步讨论,13,一 . 问题的分析,说明你对该问题的总体思路 , 及其对关键概念及术语的理解 .( 略 ),二 . 模型的假设与符号说明,a. 模型的假设,( 一 ) 关于鱼的分类,鱼分为 1,2,3,4 龄鱼 ; 2. 4 龄鱼存活一年后仍为 4 龄鱼 .,14,( 二 ) 关于鱼的生长过程,(1) 3,4 龄鱼在一
8、年的后 4 个月集中产卵 , 且在该 4 个月的开始时刻进行 ; (2) 各年龄组鱼的自然死亡率为 0.8/ 年 , 且死亡是一个连续过程 , 不是在某一时刻的突发 ; (3) 3 龄鱼产卵量为 0.5 1.109 105 个 / 条，4 龄鱼产卵量为1.109 105个 / 条 ; (4) 卵孵化成活率为 1.22 1011 /(1.22 1011+n).,15,( 三 ) 关于鱼的捕捞,(1) 捕捞在产卵前 8 个月进行 , 且捕捞是一连续过程 , 不是在某一时刻发生； (2) 捕捞强度系数固定 , 只能捕捞 3,4 龄鱼 , 它们的捕捞强度系数之比为 0.42:1 ;,( 四 ) 关于经
9、济效益,经济效益以捕捞总量来衡量,16,b. 符号说明,17,三 . 模型的建立,考察 1,2 龄鱼的生长过程 , 可得到,得,T 年的 i 龄鱼在 T+1 年变为 i+1 龄鱼 , 所以,考察 3,4 龄鱼的生长过程 , 在前八个月 , 由于捕捞与存活均起作用 , 因而微分方程为 :,得,N0为每年年初的 i 龄鱼总数。,18,由此可得 , 每时刻 t的捕捞速率为Ei Ni (t), 则年捕捞量为,(1),在后四个月，只有存活率起作用，因而微分方程为,得,(2),N0为第八个月末的 i 龄鱼总数。,计算得T年第八个月末 i 龄鱼数为,(3),T 年末存活数,19,根据以上的分析，我们可以整理
10、得到鱼的生存过程满足以下公式：,其中,为捕捞结束后在产卵点出的第i种,鱼的数目.,20,四 . 模型的求解,1. 在可持续捕捞情况下,Ni 与T无关 , 可得以下方程组 :,21,其中Ni为第i种鱼的平衡数量 . 解得 :,由(4)的第一式得,其中,22,结果讨论,由于,所以当,事实上 , 当鱼群还未达到平衡状态时 , 由方程组 (3) 得 :,于是,23,所以,这表明无论 n(T) 初值如何 , 最后必将趋于,即,达到(N1, N2, N3, N4)平衡状态.,24,求E3和E4,利用(1)式得年捕捞量:,求得最大鱼量为 3.88707 1011克 , 对应得,此时的鱼群分布:,25,2.
11、对于渔业公司的五年计划,我们利用已得到的迭代方程 (4), 在已知各个年龄组鱼的初始值 (N10 , N20 , N30 , N40 ) 的条件下 , 可迭代地求出第 i 年的鱼量分布 (N1i , N2i , N3i , N4i ) 关于E4 的函数其中 Nji 为 j 龄鱼第 i 年的条数 .,根据 (1) 式可求出 5 年的捕捞总量 :,26,编程计算得计算结果 :,最大捕捞总量 Weightmax =1.60571012克 , 对应地 E3 = 7.3836, E4 =17.58 每年的捕鱼量分别为 : W1 = 2.344011011克 , W2 = 2.148521011克 W3
12、= 2.462761011克 , W4 = 3.778251011克 W5 = 3.822161011 克 .,27,对鱼群生产能力破坏程度的分析,在天然情况下鱼的生态系数总能趋于平衡 , 而对鱼的捕捞 , 使鱼的数量偏离平衡点 . 因而我们人为所谓的对鱼的生产能力的破坏实际上就是指 , 5 年捕捞后鱼数量恢复所需的年数的分析 .,首先我们求天然平衡点, 在 E4 = 0( 即不捕捞 ) 的情况下，代入方程 (4) 得 N1 = 1.219811011, N2 = 5.480981011 N3 = 2.462761011, N4 = 2.009531011 此即为无捕捞时的平衡点。,28,在捕
13、捞的情况下 .,由方程组 (4), 知Ni(T)呈指数分布 , 故可认为当Ni(T) 0.7010Ni.又鱼恢复的越快 , 说明对鱼的生产能力破坏的越小 , 因此可以认为如果在 5 年捕捞后的 4 年 ( 鱼的一个生产周期 ) 内恢复生产能力 , 那末捕捞就对生产能力没有太大的破坏 .,29,编制程序并绘图来观察当经过 5 年捕捞及停止捕捞后鱼的数量的恢复过程 .( 略 ) 经过验证 , 停止捕捞两年鱼的生产能力就得到恢复 , 故认为没有破坏鱼的生产能力 , 这是一个可以接受的策略 .,对鱼的捕捞的进一步讨 (略),30,五 . 模型结果及检验,A. 模型的结果( 略 ) B. 模型的检验(
14、略 ),六 . 模型的评价及应用,A. 评价 (优缺点) ( 略 ) B. 推广应用( 略 ),31,96年A题 最优捕鱼策略 为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度。一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。 考虑对某种鱼（鳀鱼）的最优捕捞策略： 假设这种鱼分4个年龄组：称1龄组，4龄组.各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55，17.86，22.99（克）；各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（1/年）；这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109105（个）；3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼
15、和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月；卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵总量n之比）为1.221011/（1.221011+n）。 渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数不妨称捕捞强度系数。通常使用13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42:1。渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。 1）建立数学模型分析如何实现可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量）。 2）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏。已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为：122，29.7，10.1，3.29（109条），如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司采取怎样的策略才能使总收获量最高？,
