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1、安庆师范学院数学与计算科学学院 2012 届毕业论文第 1 页 共 18 页柯西施瓦茨不等式的应用及推广柯西施瓦茨不等式的应用及推广作者：查敏 指导老师:蔡改香摘要摘要 本文探讨的是柯西施瓦茨不等式在不同数学领域的各种形式和内容及其多种证明方法和应用，并对其进行了一定程度上的推广.通过一系列的例题，反映了柯西施瓦茨不等式在证明相关的数学命题时可以使得解题方法得以简捷明快，甚至可以得到一步到位的效果，特别是在概率统计中的广泛应用.关键词关键词 Cauchy-Schwarz 不等式 Minkowski 不等式 Holder 不等式 Hermite 阵1 1 引言引言柯西施瓦茨不等式在数学中的应用比
2、较广泛，是异于均值不等式的另一个重要不等式，灵活巧妙的运用它，可以使一些较困难的实际问题得到比较简捷地解决，这个不等式结构和谐，无论代数、几何，都可以应用.本文正是从实数域、微积分.内积空间、概率空间以及矩阵分析这五个方面的内容进行证明并举例说明其应用，对实数域和微积分中的形式进行了一定程度的推广.2 2 在实数域中的Cauchy不等式命题命题 1 设，则,(1,2, )iia bR in（1） 222111()() ()nnniiii iiiabab其中当且仅当（为常数）等号成立.,(1,2, )iibkaink证明证明 由则21( )()0,nii if xxabxR 222111)(2)
3、0nnniiii iiiaxab xb（由于,因此上述不等式的判别式大于零，即：xR 2221114()4)()0nnniiii iiiabab（易得（1）式成立.例例 1 设求证(1,2,., ),iaRin2 12 12111()(+n naaanaaa（证明证明 由不等式左边的形式，很容易想到柯西不等式解之12 12111)(+)n naaaaaa（安庆师范学院数学与计算科学学院 2012 届毕业论文第 2 页 共 18 页222 12222 122 21 1222111()+ (+)()()()111(1 11)n nn naaaaaaaaaaaan （柯西施瓦茨不等式在实数域中的应用
4、十分广泛，而且许多著名的不等式就是用柯西施瓦茨不等式直接导出.下面介绍两个著名的不等式.由上面的柯西施瓦茨不等式可以得到 Minkowski 不等式 定理定理 1 任意的个实数，有2n1212,nna aa b bb（2）111 222222111nnniiii iiiabab事实上，由（1）得22211112nnnniiiiii iiiiabaabb1 11112 22222222221111112=nnnnnniiiiii iiiiiiaabbab 这就证明了（2）.将柯西施瓦茨不等式中的幂指数扩充，则有赫尔德不等式.定理定理 2 对任意的非负数有,1,2,iia b in11111()(
5、)nnn pqpq iiii iiiabab其中，满足且., p qR111pq1p 证明证明 由杨格不等式，其中且得pqapbqab,0a b 111pq111111111111111()()() )1111()()1nnnnnn pqpqpqqp iiiiiiii iiiiiipqnnn pqpq iiii iiiababaabbaabbpqpq 安庆师范学院数学与计算科学学院 2012 届毕业论文第 3 页 共 18 页赫尔德不等式中，当时为柯西施瓦茨不等式，若将则可导出相2,2pqn 应的无穷不等式.由定理 2 可将定理 1 的幂指数进行扩充定理定理 3 3 若对任意的非负实数，且，则
6、,iia b111pq, p qR1p 111111nnnpppppp iiii iiiabab证明 -1=pp iiiiiiababab =+p qiiiipp qqiiiiiiababaabbab由杨格不等式 111nnnpppqqiiiiiiii iiiabaabbab111111nnnppqppp iiii iiiabab化简即得所要证得的不等式.还可将上述赫尔德不等式推广到无限和不等式：推论推论 1 若对任意非负实数，有，则,iia b11,nnii iiab 11111nnnpqpq iiii iiiabab下面将上命题 1 进行推广：引理引理 1 （算术-几何平均值不等式）设为个
7、正数，则12,na aan，111nnnii iiaan等号成立的充要条件为.12naaa引理引理 2 设,作定义：1212,nnx xxy yyV kR 1122121122,nnnnnxy xyxykkx kxkxx y x yx y （安庆师范学院数学与计算科学学院 2012 届毕业论文第 4 页 共 18 页则在中定义了的加法、数乘、内积作成上的线性空间一定构成欧几里得空间，简称欧氏VR空间 (在介绍柯西施瓦茨不等式在内积空间中的应用时会用到此定义).推论推论 2 设是组实数，则有,(1,2,)iiix yz inm（2） 1111()()()()nnnn mmmm iiiiii ii
8、iix yzxyz等号成立的充要条件为 . 111222:=:nnnxyzxyzxyz证明 为方便起见，不妨设1,n mm xi iSx1,n mm yi iSy1,n mm zi iSz,i i xxaS,i i yybS,(1,2,)i i zzcinS从而由引理 1 有iiixyziiix yzS SS abcmmm iii xyzabcS SSm对上式进行的累次求和，可得n11()mn mmm iiixyziii iix yzS SSabcm即（4）1111()mnnn mmm iiixyziii iiiix yzS SSabcm由于111()1n m inn mmii im iixx
9、xxaSS同理，11n m i ib 11n m i ic这样（4）式为miiixyz ix yzS SS再两边同时次幂，得m()m mmmm iiixyz ix yzSSS故证得（3）式成立.注注 1 在命题 1 中，除，其余均为 1，且，则不,(1,2, )iiiixa ybin2m 等式（3）就是不等式（1）的推广.推论推论 3 （将命题 1 推广为无限和不等式）设且，,iiix yzR iN1m i ix 安庆师范学院数学与计算科学学院 2012 届毕业论文第 5 页 共 18 页，则1m i iy 1,m i iz 1111()()()()mmmm iiiiii iiiix yzxy
10、z（证明过程可仿推论 2 的证法并结合引理 2）.3 3微积分中的微积分中的 Cauchy-Schwarz 不等式不等式命题命题 2 设在可积，则( ), ( )f x g x, a b（5）222( ) ( )( )( )bbbaaaf x g x dxfx dxgx dx证明证明 类似命题 1 可以利用判别式证明之.下面给出另一种证法:因为在上可积，则由定积分的性质均在上上可积，( ), ( )f x g x, a b22,fgfg, a b对区间进行 n 等分，分点为.由定积分的定义，有, a b+,0,1,2,ibaxai inn1( ) ( )lim( ) ( )bniiniabaf
11、 x g x dxf x g xn221( )lim( )bniniabafx dxfxn221( )lim( )bniniabagx dxgxn由（1）式知222( ) ( )( )( )bbbaaaf x g x dxfx dxgx dx再由极限的保号性易知（5）式成立.注注 2 若对，或成正比，则（5）式等号成立，但,( )0xa bf x ( ), ( )f x g x其逆不真.例如，除有限点外，有，但( )( ),f xg x xa b( )( )bbaaf x dxg x dx并不成比例.( ), ( )f x g x安庆师范学院数学与计算科学学院 2012 届毕业论文第 6 页
12、共 18 页例例 2 利用柯西施瓦茨不等式求极限：设在上连续，( ), ( )f x g x, a b有正下界，记，求证：( )0, ( )f xg x( )( ),1,2,b n n adf xg x dx n.1limmax( )nna x bndf xd 证明 为了分析的变化趋势，研究邻项之间的关系. 1nnd dndnd ( )( )b naf xg x dx 11 2211 221111 22 11( )( )( )( )bnnabbnnaanng xf xg xf xdxg xf xdxg xf xdxdd 因为，平方得，即.0nd 2 11nnnddd11nnnndd dd因为在
13、连续，所以存在，使得,故( )f x, a b0M f xM 110bbbbnnnnnnaaaadg xf xdxg xf xdxMg xf xdxg xf xdxMd因为单调有上界，所以有极限.1nnd d即1limmax( )nna x bndMf xd 在微积分中的柯西施瓦茨不等式也可以得到一些比较著名的不等式，如下面介绍的Minkowski 不等式：定理定理 4 设在可积，则 Minkowski 不等式( ), ( )f x g x, a b111 222222( )( )( )( )bbbaaaf xg xdxfx dxgx dx安庆师范学院数学与计算科学学院 2012 届毕业论文第 7 页 共 18 页证明证明 由（5）式 22
