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1、延安大学西安创新学院专业实训报告,题 目：人教版八年级上册 专 业：数学与应用数学 姓 名：高 建 指导老师：陈 婷 学 号：1043031019 毕业时间：2014年6月,目录,11.1 与三角形有关的线段11.2 与三角形有关的角11.3 多边形及其内角和,14.1 整式的乘法14.2 乘法公式（平方差公式）14.3. 2完全平方公式,第十一章 三角形,11.1 与三角形有关的线段11.2 与三角形有关的角11.3 多边形及其内角和,11.1.1 三角形的边,由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.,在图11.1-1中，线段 AB, BC, CA 是三角形的边,点
2、A, B, C是三角形的顶点.A, B,C是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角.,顶点是A, B, C的三角形,记作ABC,读作“三角形 ABC”.ABC的三边，有时也用 a, b, c来表示,如图11.1-1，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示,图11.1-1,A,B,C,c,b,a,我们知道：三边都相等的三角形叫做等边三角形（11.1-2（1）两条边都相等的三角形叫做等腰三角形（11.1-2（2）.图11.1-2（3）中的三角形是三边都不相等的三角形.,（1）,（2）,（3）,图11.1-2,思考,我们知道，按照三个内角的大小
3、，可以将三角形分为锐角 三角形、直角三角形和钝角三角形。如何按照边的关系对 三角形进行分类呢？说说你的想法，并与同学交流.,以“是否有边相等”可以将三角形分为两类:三边都不相等的三角形和等腰三角形.我们还知道:在等腰三角形中,相等的两边叫做腰，另一条边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角.等边三角形是特殊的等腰三角形,即底边和腰相等的等腰三角形.,综上,三角形按边的相等关系分类如下:,三角形,三边都不相等的三角形,等腰三角形,底边和腰不相等的等腰三角形,等边三角形,对于任意一个 ,如果把其中任意两个顶点（例如B, C）看成定点,有“两点之间,线段最短”可得AB+ACBC 同理有
4、AC+BCAB AB+BCAC ,一般的,我们有三角形两边的和大于第三边. 由不等式移项可得BCAB-AC,BCAC-AB.这就是说,三角形两边的差小于第三边.,探究,用一条长为 的细绳围成一个等腰三角形。 （1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边长是 的等腰三角形吗？为什么？,解： （1）设底边长为 ,则腰长为 .,（2）因为长为 的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况来讨论。,例,解得,所以，三边长分别为3.6cm，7.2cm，7.2cm,如果 长的边为底边，设腰长为 ，则,解得,如果 长的边为腰，设底边的长为 ，则解得,因为 ，不符合三角形两边的和大于第三
5、边，所以不能围成腰长是 的等腰三角形.由以上讨论可知，可以围成底边长是 的等腰三角形.,如果 长的边为腰，设底边的长为 ，则解得,练习,1.图中有几个三角形？用符号表示这些三角形,第1题,2.（口答）下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？,（1）3，4，8 （2）5，6，11 （3）5，6，10.,11.1.2 三角形的高、中线与角平分线,与三角形有关的线段，除了三条边，还有我们已经学过的三角形的高。如图11.1-3，从ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做ABC 的边BC上的高。,图11.1-3,我们再来看与三角形有关的线段。 如图11.1-4（1），连
6、接ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做ABC的边BC上的中线。,(1),(2),图11.1-4,如图11.1-4（2），三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。,如图11.1-5，画A的平分线AD，交A所对的边BC于点D，所得线段AD叫做ABC的角平分线（angular bisector）。,画出ABC的另外两条角平分线，观察三条角平分线，你有什么发现,图11.1-5,1.如图，（1）、（2）和（3）中的三个B有什么不同？这三个ABC的边BC上的高AD在各自三角形的什么位置？你能说出其中的规律吗？,（1）,（2）,（3）,练习,11.1.3 三角形
7、的稳定性,工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架，其中的道理是什么？盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常现在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？,探究,1.将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？2.将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？3.在四边形木架上再钉一根木条，将它一对顶点连接起来，然后再扭动它，这是木架的形状还会改变吗？为什么？,可以发现，三角形木架形状不会改变，而四边形木架的形状会改变，这就说明，三角形是具有稳定性的图形，而四边形没有稳定性.还可以发现，斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变，这是因为斜钉一根木条后，
8、四边形变成了两个三角形，由于三角形具有稳定性，斜钉一根木条的窗框在未安装之前也不会变形.三角形的稳定性和四边形的不稳定性都有广泛的应用，下图表示其中一些例子，你能再举一些例子吗?,11.2 与三角形有关的角,11.2.1 三角形的内角,我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于180.我们是通过度量或剪拼得出这一结论的。通过度量或剪拼的方法，可以验证三角形的内角和等于180.但是，由于测量常常有误差，这种“验证”不是“数学证明”，不能完全让人信服；又由于形状不同的三角形有无数个，我们不可能用上述方法一一验证所有三角形的内角和等于180.所以，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角
9、和一定等于180.,在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下来拼合在一起，就得到一个平角，从这个操作过程中，你能发现证明思路吗？,B,C,A,B,C,B,A,C,A,B,L,L,图11.2-1,（1）,（2）,探究,在图11.2-1（1）中，B和C分别拼在A的左右，三个角合起来形成一个平角，出现一条过点A的直线L，移动后的B和C各有一条边在直线L上，想一想，直线L与 ABC的边BC有什么关系？由这个图你能想出证明“三角形内角和等于180”的方法吗?由上述拼合过程得到启发，过ABC的顶点A作直线L平行于 ABC的边BC（图11.2-2），那么由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于1
10、80”这个结论.,图11.2-2,例：已知： ABC（图11.2-2） 求证： A+ B+ C= 180.,L,证明：如图11.2-2，过点A做直线L,使LBC， LBC, 2=4 (两直线平行，内错角相等); 同理 3=5. 1, 4,5组成平角; 1+4+5= 180（平角定义）; 1+2+3= 180（等量代换）. 以上我们就证明了任意一个三角形的内角和都等于180，得到如下定理：,三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180.,2,1,E,D,C,B,A,三角形的内角和等于1800.,延长BC到D，,于是CEBA,(内错角相等，两直线平行).,B=2,(两直线平行，同位角相等).,1
11、+2+ACB=180,A+B+ACB=180,在ABC的外部，以CA为一边，,CE为另一边作1=A，,证法一,图11.2-3,2,1,E,B,A,三角形的内角和等于1800.,延长BC到D，,过C作CEBA，, A=1,(两直线平行，内错角相等),B=2,(两直线平行，同位角相等),1+2+ACB=180,A+B+ACB=180.,证法二,图11.2-3,C,F,2,1,E,C,B,A,过A作EFBC,B=2,(两直线平行,内错角相等),C=1,(两直线平行,内错角相等),2+1+BAC=180,B+C+BAC=180.,证法三,图11.2-4,三角形的内角和等于1800.,B,E,A,三角形
12、的内角和等于1800.,过A作AEBC，,B=BAE,(两直线平行,内错角相等);,EAB+BAC+C=180,(两直线平行,同旁内角互补);,B+C+BAC=180.,证法四,图11.2-5,在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线。在平面几何里，辅助线通常画成虚线。,为了证明三个角的和为1800,转化为一个平角或同旁内角互补,这种转化思想是数学中的常用方法.,思路总结,(口答)下列各组角是同一个三角形的内角吗?为什么?,（2）60， 40， 90,（3）30， 60， 50,（1）3， 150， 27,（是 ）,（ 不是）,（ 不是）,练习,（1）在ABC中，A=35， B
13、=43 则 C= . （2）在ABC中， A :B:C=2:3:4 则A = B= C= .,（3）一个三角形中最多有 个直角？为什么？ （4）一个三角形中最多有 个钝角？为什么？ （5）一个三角形中至少有 个锐角？为什么？ （6）任意一个三角形中,最大的一个角的度数至少为 .,102 ,80 ,60 ,40 ,60,2,1,1,练习,A,B,C,如左图所示在直角三角形ABC中,C90，由三角形内角和定力，得,A +B+ C=180, 即A +B+ 90=180, 所以A +B= 90.,也就是说，直角三角形的两个锐角互余.,例,图11.2-6,由三角形内角和定理可得：有两个角互余的三角形是直
14、角三角形。,直角三角形可以用符号“Rt”表示，直角三角形ABC也可以写成RtABC.,A,B,C,如左图已知ABC中,ABCC=2A , BD是AC边上的高，求DBC的度数。,解：设Ax，则ABCC2x ;,x2x2x180 ;,解得x36 .,C236 72 ,DBC180 90 72 （三角形内角和定理）,DBC18 .,?,例,在BDC中，BDC90 (三角形高的定义）.,解：在ACD中 CAD 30 D 90 , ACD =180 -30 -90 =6 0 ,在BCD中 CBD = 45 D 90 , BCD = 180 - 90-45 =45 , ACB = ACD - BCD = 6 0 - 45 .,练习,1.如图,从A处观测C处时仰角CAD30,从B处观测C处时仰角CBD45.从C处观测A、B两处时视角ACB是多少?,图11.2-7,2.如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃,那么最省事的办法是 ( ),
