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1、MATLAB优化工具箱及其应用简介,1 MATLAB优化工具箱简介,MATLAB诞生于20世纪70年代，意为Matrix与Laboratory的组合，内容非常丰富，功能强大。擅长数值计算，能处理大量数据，效率非常高，是深受人们欢迎的科学计算工具。,特点简单、直接： 语言简单，代码灵活，库函数资源丰富； 运算灵活，使用方便，编程效率高； 扩充能力强，交互性好； 程序可移植性和开放性好； 强大的图形图像处理功能。,MATLAB有30多个工具箱，其中Optimization Toolbox应用最为广泛。该工具箱常用函数及功能如下表：,2 线性规划的MATLAB实现,linprog函数的调用格式： x
2、, z =linprog(c, A, b) 返回最优解x及最优值 z,解：MATLAB求解程序清单： c=2 3 1; A=1 4 2;3 2 0; b=8 6; x, z=linprog (c, A, b),Optimization terminated. x = 1.9099 0.1351 2.7748 z= 7.0000,2、 对于线性规划问题：,min z=cTx s.t. A*x b D*x=e,其中，c、x、b和e为向量，A和D为矩阵,linprog函数的调用格式： x, z =linprog(c, A, b, D, e) 返回最优解x及最优值 z 如果不等式约束条件A*x b 不
3、存在，则令A 、b ,例2： min z=3x1+3x2+x3 s.t. x14x22x38 3x12x26 3x13x22x310,解：MATLAB求解程序清单： c =3, 3, 1; A=1, 4, 2; 3, 2, 0; b=8, 6; D=3, 3, 2; e=10; x, z=linprog (c, A, b, D, e),Optimization terminated. x = 1.4286 0.8571 1.5714 z = 8.4286,3、对于线性规划问题：,min z=cTx s.t. A*x b D*x=e lx u,其中，c、x、b、e、l和u为向量，A和D为矩阵,l
4、inprog函数的调用格式： x, z =linprog(c, A, b, D, e, l, u) 返回最优解x及最优值 z ； 如果不等式约束条件A*x b 不存在，则令A 、b ； 如果等式约束条件D*x e 不存在，则令D 、e ,例3： min z=5x12x2+x3+x4 s.t. x12x2+3x3+4x4=7 2x1+2x2+x3+2x4=3 x1, , x40,解：MATLAB求解程序清单： c=5 2 1 1; D=1 2 3 4; 2 2 1 2; e=7, 3; l=zeros(4, 1); x, z=linprog ( c, , , D, e, l ),Optimiza
5、tion terminated. x = 0.0000 0.5000 2.0000 0.0000 z = 1.0000,min z=cTx s.t. A*x b D*x=e lx u,x, z =linprog(c, A, b, D, e, l, u),例4：第二章7(3）： max z=10x1+15x2+12x3 s.t. 5x13x2+x39 5x1+6x2+15x315 2x1+x2+x315 x1, x2, x30,解：MATLAB求解程序清单： c=10 15 12; A=5 3 1;5 6 15;2 1 1; b=9 15 15; l=zeros(3, 1); x, z=linp
6、rog(c, A, b, , , l),Exiting: One or more of the residuals, duality gap, or total relative error has stalled: the primal appears to be infeasible (and the dual unbounded). (The dual residual TolFun=1.00e-008.) x = 1.5000 0.0000 1.5000 z = -33.0000,7(3）大M法：,人工变量不为零，原问题无解,第二章习题答案,3 无约束非线性规划的MATLAB实现,1、
7、fminbnd函数 可求解区间a, b内单变量函数的最小值。 调用格式如下： x, f =fminbnd (fun, a, b) fun为目标函数，返回区间内最优解x及最小值 f,例5： 求 min f= ex+x2 , 搜索区间为10, 10。,解：MATLAB求解程序清单： a=10; b=10; x, f =fminbnd(exp(-x)+x2, a, b),输出结果： x = 0.3517 f = 0.8272,2、fminunc函数 可求解单变量及多变量函数的最小值。 调用格式如下： x, f =fminunc (fun, x0) fun为目标函数，给定初值x0 ，返回最优解x及最小
8、值 f,例6： 求 min f= ex+x2 , x010。,解：MATLAB求解程序清单： x0=10; x, f =fminunc(exp(-x)+x2, x0),输出结果： x = 0.3517 f = 0.8272,例7： 求 min f= ex1+(4x12 + 2x22 +4x1x2 + 2x2 +1),解：MATLAB求解程序清单： x0=1, 1; x,f=fminunc(exp(x(1)*(4*x(1)2+2*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1), x0),输出结果： x = 0.5000 -1.0000 f = 1.1811e-013,3、fminsear
9、ch函数 可求解单变量及多变量函数的最小值。 调用格式如下： x, f =fminsearch (fun, x0) fun为目标函数，给定初值x0 ，返回最优解x及最小值 f,例8： 解非线性方程组：,解：化为最小二乘问题： min f(x) = f12+ f22+ f32+ f42 MATLAB求解程序清单：,(1) 利用M-file editor定义函数： function f=fun(x) f1=x(1)2+2*x(2)2x(3)2+x(4)12; f2=3*x(1)2+x(2)2+3*x(3)2+5*x(4)8; f3=2*x(1)2+x(2)23*x(3)+5*x(4)210; f4
10、=4*x(1)+3*x(2)22*x(3)+2*x(4)215; f=f12+f22+f32+f42; 以文件名myfun_8.m保存在MATLAB目录下的work文件夹中。,(2) 在MATLAB 命令窗口中调用fminsearch函数： x0=1, 1, 1, 1; x, f=fminsearch(myfun_8, x0),输出结果： x = 0.6905 2.3203 0.1825 0.7894 f = 4.1429e-009,(f1=1.8221e005; f2=3.6129e005; f3 =4.9990e005; f4 =2.5656e006),4 约束非线性规划的MATLAB实现
11、 调用MATALAB的fmincon函数进行求解。,fmincon函数的调用格式： x, f =fmincon (fun, x0, A, b) 给定初值x0，返回最优解x及最优值 f,解：MATLAB求解程序清单： A=1 0; 0 1; b=1, 0; x0=0, 0; x, f=fmincon(x(1)+1)3)/12+x(2), x0, A, b),输出结果： x = 1 0 f = 0.6667,2、对于仅有线性约束条件的非线性规划问题：,min f (x) s.t. A*x b D*x=e,其中，x、b和e为向量，A和D为矩阵,fmincon函数的调用格式： x, f =fminco
12、n (fun, x0, A, b, D, e ) 给定初值x0，返回最优解x及最优值 f 。 如果不等式约束条件A*x b 不存在，则令A 、b ,3、对于仅有线性约束且给定了变量上下限的非线性规划问题：,min f (x) s.t. A*x b D*x=e lx u,其中，x、b、e、l 和 u 为向量，A和D为矩阵,fmincon函数的调用格式： x, f =fmincon (fun, x0, A, b, D, e, l, u ) 给定初值x0，返回最优解x及最优值 f 。 如果不等式约束条件A*x b 不存在，则令A 、b ; 如果等式约束条件D*x e 不存在，则令D 、e ,例10：
13、求平面x+y4z=1到平面x+y4z=8的最短距离。,MATLAB求解程序清单： D=1, 1, 4, 0, 0, 0; 0, 0, 0, 1, 1, 4; e=1, 8; x0=zeros(6,1); x, f=fmincon(sqrt(x(1)x(4)2+(x(2)x(5)2 +(x(3)x(6)2), x0, , , D, e),输出结果： f = 1.6499 ( x = 1.0556 1.0556 0.7778 0.6667 0.6667 2.3333),4、对于一般非线性规划问题：,min f (x) s.t. A*x b D*x=e lx u g(x) 0 h(x)=0,其中，x
14、、b、e、l 和 u 为向量; A和D为矩阵; g(x) 和 h(x)为非线性函数（向量）,fmincon函数的调用格式： x, f =fmincon ( fun, x0, A, b, D, e, l, u, nonlcon ) 给定初值x0，返回最优解x及最优值 f 。 如果不等式约束条件A*x b 不存在，则令A 、b ; 如果等式约束条件D*x e 不存在，则令D 、e ; 如果变量上下限不存在，则令l 、u ; 非线性不等式约束 g(x) 0 和等式约束 h(x)=0 在 nonlcon 参数中给定，如果不同时存在，可令 g= 或 h= ,例11： min f=ex1(4x12+2x2
15、2+4x1x2+2x2+1) s.t. x1x2 x1 x2 + 1.5 0 x1x2 100,min f (x) s.t. A*x b D*x=e lx u g(x) 0 h(x)=0,x, f =fmincon ( fun, x0, A, b, D, e, l, u, nonlcon ),分析：,例11： min f=ex1(4x12+2x22+4x1x2+2x2+1) s.t. x1x2 x1 x2 + 1.5 0 x1x2 100,解：(1) 利用M-file editor定义目标函数： function f=myfun(x) f=exp(x(1)*(4*x(1)2+2*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1); 以文件名myfun_11.m保存在MATLAB目录下的work文件夹中。,(2) 利用M-file editor定义非线性约束条件： functiong,h=mycon(x) g(1)=x(1)*x(2)x(1)x(2)+1.5; g(2)= x(1)*x(2)10; h=; 以文件名mycon_11.m保存在MATLAB目录下的work文件夹中。,
