7.22初中数学旋转专题

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1、龙文学校朝阳分校 课外辅导资料第 1 页 共 9 页旋转证明旋转证明一一利用旋转添加辅助线利用旋转添加辅助线例例 1 1. 如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别为 DC，BC 边上的动点，且始终.过点 A 做045EAFAPEF.（1）求证：EF=DE+BF.(2)求证：AP=AD. （3）若EFC 周长为，求正方形的面积.a变式变式 1 1：如图，点 M、N 分别在正方形 ABCD 的边 BC、CD 上，已知 AB=a，MCN 的周长为 2a， 求证：MAN=451.如图，直角梯形 ABCD 中，ADBC,ABBC,AD=2,BC=3,将腰 CD 以 D 为中心逆时针旋转 90 到

2、 ED，连 结 AE、CE,则ADE 的面积是 。2.如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别为 DC，BC 边上的动点，且始终满足 AF 平分，BAE 探究：BF、DE 与 AE 的关系.5.如图 1，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 上的点，且EAF=45，则有结论 EF=BE+FD 成立。（1）如图 2，在四边形 ABCD 中，AB=AD，B=D=90，E、F 分别是 BC、CD 上的点，且EAF 是 BAD 的一半，那么结论 EF=BE+FD 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。 （2）若将（1）中的条件改为：在四边形 ABCD 中，AB=AD，

3、B+D=180，延长 BC 到点 E，延长 CD 到点 F，使得EAF 仍然是BAD 的一半，则结论 EF=BE+FD 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成 立。请写出它们之间的数量关系，并证明。A B A C D E F A B A DB A CB A EB A FB A ADMBCNABCE D龙文学校朝阳分校 课外辅导资料第 2 页 共 9 页例例 2 2.在等边ABC 中，O 为ABC 内一点，连接 AO、BO、CO 且 AO=2,BO=1,CO=,求AOB，BOC 的3度数分别是多少？2.如图，点 D 为等边ABC 外一点，,AD=4,CD=3，求 BD 的长。030ADC3.在等边

4、ABC 中，O 为ABC 内一点，连接 AO、BO、CO，有AOB，BOC=.问：01500120AO、BO、CO 三条线条能否构成一个三角形若能，求出这个三角形的三个内角分别是多少度？若不 能，请说明理由。25（09 朝阳一模）. （本小题 8 分）图 图 （1） 已知：如图，RtABC 中，ACB=90，AC=BC，点 D、E 在斜边 AB 上，且 DCE=45. 求证：线段 DE、AD、EB 总能构成一个直角三角形； （2）已知：如图，等边三角形 ABC 中，点 D、E 在边 AB 上，且DCE=30，请你找出一个条件， 使线段 DE、AD、EB 能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角

5、形顶角的度数； （3）在（1）的条件下，如果 AB=10，求 BDAE 的值25（09 西城一模） 已知：，以 AB 为一边作正方形 ABCD，使 P、D 两点落在直线2PA 4PB AB 的两侧. （1）如图，当APB=45时，求 AB 及 PD 的长； （2）当APB 变化，且其它条件不变时，求 PD 的最大值，及相应APB 的大小.AB AC AD A龙文学校朝阳分校 课外辅导资料第 3 页 共 9 页EDBCA二二旋转型相似旋转型相似例例 1.1.图 1 是边长分别为a和b（ab）的两个等边三角形纸片ABC和CDE叠放在一起（C与C重合）的图形（1）操作：固定ABC，将CDE绕点C按顺

6、时针方向旋转 30，连结AD，BE，如图 2；在图 2中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论（2）操作：若将图 1 中的CDE绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度，连结AD，BE，如图3；在图 3 中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论（3）根据上面的操作过程，请你猜想当为多少度时，线段AD的长度最大？是多少？当为多少度时，线段AD的长度最小？是多少？（不要求证明）EBCADD EBCA图 1 图 2 图 3例例 2.2. 如图为等边ABC 和菱形 BDEF,DBF=60（1）观察图形,猜想 AF 与 CD 之间有怎样的数量关系?直接写出结论,不必证明.1（2）将

7、菱形 BDEF 绕点 B 按顺时针方向旋转,使菱形 BDEF 的一边落在等边ABC 内部,在图中画出2一个变换后的图形,并对照已知图形标记字母,请问:(1)中的结论是否依然成立?若成立请证明;若不成立,请说明理由;（3）在上述旋转过程中,AF 与 CD 之间所夹的锐角度数是否发生变化?若不变,请你求出它的度数,并说明理由;若改变,请说明它的度数是如何变化的.练习1点 A、B、C 在同一直线上，在直线 AC 的同侧作ABE和BCF，连接 AF，CE取 AF、CE 的 中点 M、N，连接 BM，BN， MN（1）若ABE和FBC是等腰直角三角形，且090FBCABE(如图 1)，则MBN 是 三角

8、形（2）在ABE和BCF中，若 BA=BE,BC=BF,且FBCABE， （如图 2） ，则MBN是 A C B D F E 1A C B 2龙文学校朝阳分校 课外辅导资料第 4 页 共 9 页图 图 图 2图NMACEFB 图 图 图3图MNEACFB图 图 图1)NMFAEBC三角形，且MBN . （3）若将（2）中的ABE绕点 B 旋转一定角度,(如同 3)，其他条件不变，那么（2）中的结论是否成 立？ 若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明.3.填空或解答：点 B、C、E 在同一直线上，点 A、D 在直线 CE 的同侧， ABAC，ECED，BACCED，直线 AE、

9、BD 交于点 F。 (1)(1)如图，若BAC60，则AFB_；如图，若BAC90，则AFB_； (2)(2)如图，若BAC，则AFB_(用含 的式子表示)； (3)(3)将图中的ABC 绕点 C 旋转(点 F 不与点 A、B 重合)，得图或图。在图中，AFB 与 的数量关系是_；在图中，AFB 与 的数量关系是_。请你任 选其中一个结论证明。4、我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组对边的平方和等于另外一组对边的平方和，则称这 个四边形为等平方和四边形。 （1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等平方和四边形的图形的名称： （2）如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，ACBD，垂足为 O。求

10、证：AD2+BC2=AB2+DC2。即四边形 ABCD 是等平方和四边形。 （3）如果将图中的AOD 绕点 O 按逆时针方向旋转 a 度 （0a90）后得到图，那么四边形 ABCD 能否成为等平方和四边 形？若能，请证明；若不能，请说明理由。龙文学校朝阳分校 课外辅导资料第 5 页 共 9 页三正方形中的旋转三正方形中的旋转 例 1.如图 1 已知ABC 中，ABBC1，ABC90，把一块含 30角的直角三角板 DEF 的直角顶点D 放在 AC 的中点上(直角三角板的短直角边为 DE，长直角边为 DF)，将直角三角板 DEF 绕 D 点按逆时针 方向旋转。 (1)(1)在图 1 中，DE 交

11、AB 于 M，DF 交 BC 于 N。 证明 DMDN； 在这一旋转过程中，直角三角板 DEF 与ABC 的重叠部分为四边形 DMBN，请说明四边形 DMBN 的 面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积； (2)(2)继续旋转至如图 2 的位置，延长 AB 交 DE 于 M，延长 BC 交 DF 于 N，DMDN 是否仍然成立？若成立， 请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)(3)继续旋转至如图 3 的位置，延长 FD 交 BC 于 N，延长 ED 交 AB 于 M，DMDN 是否仍然成立？请写出 结论，不用证明。练习：1.已知AOB=900，在AOB

12、的平分线 OM 上有一点 C，将一个三角板的直角顶点与 C 重合，它的 两条直角边分别与 OA、OB(或它们的反向延长线)相交于点 D、E当三角板绕点 C 旋转到 CD 与 OA 垂直时(如图 1)，易证：OD+OE=OC当三角板绕点 C 旋转到 CD 与 OA 不垂直时，在图 2、图 3 这两2种情况下，上述结论是否还成立?若成立，请给予证明；若不成立，线段 OD、OE、OC 之间又有怎样的 数量关系?请写出你的猜想，不需证明2.（08 平谷一模 25） 在图中，把一副直角三角板 ABC 和 EFG（其短直角边长均为 4）叠放在一起 （如图） ，且使三角板 EFG 的直角顶点 G 与三角板

13、ABC 的斜边中点 O 重合现将三角板 EFG 绕点 O顺时针旋转（旋转角 满足条件：） ，四边形 CHGK 是旋转过程中两三角板的重叠部分o0900 （如图） （1）在上述旋转过程中，BH 与 CK 有怎样的数量关系？四边形 CHGK 的面积有何变化？证明你发现的 结论； （2）联结 HK，在上述旋转过程中，设 BH=x，GKH 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写 出自变量 x 的取值范围；（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使GKH 的面积恰好等于ABC 面积的？若存在，求161出此时 x 的值；若不存在，说明理由图图 HKE FG(O)BACEFG(O)BAC龙文

14、学校朝阳分校 课外辅导资料第 6 页 共 9 页F FE ED DC CB BA AN NM M F FE ED DC CB BA AC CB BA A图 1FEDCAB图 2 FEDCAB3.（08 延庆一模 23） （1）已知：有两块完全相同的含 45角的三角板，如图 101，将 RtDEF 的直角的=顶点 D 放在 RtABC 斜边 AB 的中点处，这时两块三角板重叠部分DBC 的面积 是ABC 的面积的 ； （2）如图 102，点 D 不动，将 RtDEF 绕着顶点 D 旋转（090） ，这时两块三角 板重叠部分为任意四边形 DNCM，这时四边形 DNCM 的面积是ABC 的面积的 ；

15、 （3）若 RtDEF 的顶点 D 在 AB 上移动（不与点 A、B 重合） ，且两条直角边与 RtABC 的两条直角边相交，是否存在一点，使得两块三角板重叠部分的面积是 RtABC 的面积的 ，如果存在，4 9请在图 103 中画出此时的图形，并说明点 D 在 AB 上的位置。如果不存在，说明理由。4.（08 东城一模 25） 已知ABC 中，AB=AC=3,BAC=900,点 D 为 BC 上一点，把一个足够大的直角三 角板的直角顶点放在 D 处. （1）如图 1，若 BD=CD, 将三角板绕点 D 逆时针旋转，两条直角边分别交 AB、AC 于点 E、点 F,求出重 叠部分 AEDF 的面积（直接写出结果） ； （2）如图 2，若 BD=CD, 将三角板绕点 D 逆时针旋