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1、一方法综述一方法综述平面向量中的最值与范围问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，也是难点，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值， 比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合二解题策略二解题策略类型一类型一 与向量的模有关的最值问题与向量的模有关的最值问题【例 1】 【2018 河北定州中学模拟】设向量满足， ， ，
2、则, ,a b c2ab2a b ,c60ac b的最大值等于（ ）cA. 4 B. 2 C. D. 12【答案】A【指点迷津】由已知条件得四点共圆是解题关键，从而转化为求外接圆直径处理.【举一反三】1、 【2018 辽宁沈阳东北育才学模拟】在中， ，点是边上的动点，且,Rt ABC090ADBC3AB ,，则当取得最大值时， 的值为（ ）4AC (0,0)ADABAC ADA. B. 3 C. D. 7 212 55 2 【答案】D2、 【2018 湖南长沙市长郡中学模拟】已知向量满足： ，且，若，其中, a b1ab1 2a bcxayb， 且，则的最小值是_0x 0y 2xyc【答案】3
3、【解析】，且，当时， ， 1ab1 2a bcxayb222222cx axya by b，又且，当且仅当时取“=” ，222xxyyxyxy0,0xy2 2,12xyxyxy1xy的最小值是，故答案为.2 222213,2xycxyc 333、 【2018 浙东北联盟联考】已知向量，满足， ，若，则, ,a b c1,2,3abc010b c的最大值为_，最小值为_1abc【答案】 4 6 13113【解析】设， ，即1,1nbc abcan naanna， 11nann 2222221121nbcbcbc，由二次函数性质可得， 22249 113189 01， ，最大值为，最小266 13
4、6 139,3,1114131313nnnann 1abc4值为，故答案为， .6 1311346 13113类型二类型二 与向量夹角有关的范围问题与向量夹角有关的范围问题【例 2】已知向量与的夹角为，时取得最小值， OA OB PQOBtOQOAtOPOBOA,)1 (, 1, 20t在当时，夹角的取值范围为_.0105t【分析】将表示为变量 的二次函数，转化为求二次函数的最小值PQ tPQ 1)cos42()cos45(2tt问题，当时，取最小值，由已知条件，得关于夹角的不等式，解不等式得解 cos45cos210t0105t【指点迷津】求变量的取值范围、最值，往往要将目标函数用某个变量表
5、示，转化为求函数的最值问题，期间要注意变量之间的关系，进而得解【举一反三】1、非零向量ba,满足ba2=22ba，2| ba，则ba与的夹角的最小值是 【答案】3【解析】由题意得，整理得，即221 2a ba b 24ab22422ababab 1ab，夹角的最小值为11cos,22a ba bab a b ,3a b 32、已知向量=（2，1） ，=（，1） ，则与的夹角 为钝角时， 的取值范围为（ ）A. B. C. 且 2 D. 无法确定【答案】C【解析】与的夹角 为钝角，=210，解得 ，又当 =2 时，满足向量，且反向，此时向量的夹角为 180，不是钝角，故 的取值范围为 ，且 2.
6、故选 C.类型三类型三 与向量投影有关的最值问题与向量投影有关的最值问题【例 3】设， ， ，且，则在上的投影的取1,2OAOB 0OA OB OPOAOB 1OA OP 值范围( )A. B. C. D. 2 5-,15 2 5,15 5,15 5-,15 【答案】D当时， 00,x 当222215844820521x，故当时， 取得最小值为 ，即11 x11101xx ，当时， ，即0222215844825215x 15x 505x综上所述故答案选5( ,15x D【指点迷津】由已知求得及，代入投影公式，对分类后利用二次函数求最值，在分类讨论时需要讨 OAOP OP论完整，不要漏掉哪种情
7、况，讨论完可以检查下是否把整个实数全部取完。 【举一反三】1、已知的外接圆的圆心为，半径为 2，且，则向量在向量方向上的投影为ABCO0OAABAC CA CB ( )A. 3 B. C. -3 D. 33【答案】B本题选择 B 选项.2、 【2018 福建省闽侯第六中学模拟】设， 且， 则1,2,0,OAOBOA OBOPOAOB1在上的投影的取值范围（ ）OAOPA. B. C. D. 2 5,152 5,15 5,15 5,15【答案】D法 2：不妨设为坐标原点， ， ，则，也就是.而在上的投O0,1A2,0B2 ,Pu2 1,POA OP 影为.令，如果，则 224 1OAOPOP 2
8、24 1f0，所以也就是，所以 2222 2584485411,0ftttt 21f 1f；当时， ；当时， 2201 4 1 0 220 4 1 0，所以也就是，所以 222485411,0ftttt 25f 5f . 225054 1 综上， 的取值范围为.OAOPOP 5,15类型四类型四 与平面向量数量积有关的最值问题与平面向量数量积有关的最值问题【例 4】 【2018 广州华南师范大学附中模拟】如图，半径为 1 的扇形AOB中， 2 3AOB， P是弧AB上的一点，且满足OPOB， ,M N分别是线段,OA OB上的动点，则PM PN 的最大值为（ ）A. 2 2B. 3 2C. 1
9、 D. 2【答案】C【指点迷津】平面向量数量积的求法有：定义法；坐标法；转化法；其中坐标法是同学们最容易忽视的解题方法，要倍加注视，若有垂直或者容易出现垂直的背景可建立平面直角坐标系，利用坐标法求解.【举一反三】1、 【2018 福建莆田市第二十四中学模拟】已知正方形的边长为 ，点是边上的动点，则ABCD1EAB的最大值为（ ）DE DC A. B. C. D. 11 23 22【答案】A2、 【2018 浙江镇海中学模拟】在平面内， ，动点， 满足， 6AB ACBA BCCA CB PM2AP ，则的最大值是PMMC BM A. 3 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】D【解析】由，6
10、AB ACBA BCCA CB 得.0,0,0ABACBCBCBACAACABCB AA所以是等边三角形，设的边长为，则，得.ABCAABCAx2 26062xAB ACx cos 2 3x 以BC为x轴,以BC的中垂线为y轴建立坐标系,则， 3,0 ,3,0 ,0,3BCA由，得点 P 满足： .2AP 2234xy则为 PC 的中点，PMMC M设，则，满足： ，,M x y23,2Pxy2223234xy整理得： ，即点 M 在以为圆心，1 为半径的圆上，2233122xy3 3,22 则的最大值是圆心到 B 的距离加半径： .BM 22333013 1422 故选 B.3、 【2008
11、 云南大理市云南师范大学附属中学模拟】已知圆 的半径为 2，是圆 上任意两点，且，是圆 的一条直径，若点 满足（） ，则的最小值为（ ） = ( 1) + A. -1 B. -2 C. -3 D. -4 【答案】C类型五类型五 平面向量系数的取平面向量系数的取值范围问题值范围问题【例 5】 【2018 辽宁沈阳市四校协作体联考】在矩形中， ABCD动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为（ 12ABAD，PCBDAPABAD ）A. B. C. D. 32 252【答案】A圆的方程为（x1）2+（y2）2=，4 5设点 P 的坐标为（cos+1， sin+2） ，2 5 52 5 5，APABAD （cos+1， sin+2）=（1，0）+（0，2）=（，2） ，2 5 52 5 5cos+1=， sin+2=2，2 5 52 5 5+=cos+sin+2=sin（+）+2，其中 tan=2，2 5 55 51sin（+）1，1+3，故 + 的最大值为 3，故选：A【指点迷津】 （1）向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的 有关知识可以解决某些函数问题； （2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题； （3）向量的两个作用：
