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1、2.3 数学归纳法 第1课时 数学归纳法,【课标要求】 1了解数学归纳法的原理 2能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 【核心扫描】 1用数学归纳法证明数学命题的两个步骤相辅相成，缺一不可 2对数学归纳法的考查主要是在解答题中出现，用数学归纳法证明不等式是高考的热点,自学导引 1数学归纳法公理对于某些 的数学命题，可以用数学归纳法证明 2数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取 时命题成立(2)(归纳递推)假设 ,与正整数n有关,第一个值n0(n0N*),nk(kn0，kN*)时命题成立，证明,当nk1时命题也成立,想一想：(1)数学归纳法的第一步
2、n0的初始值是否一定为1?提示 不一定，如证明n边形的内角和为(n2)180，第一个值n03.(2)为什么可以先假设nk(kn0，kN)时命题成立？再证nk1时命题也成立就可说明命题成立？提示 “假设nk(kn0，kN)时命题成立，证明当nk1时命题成立，”其本质是证明一个递推关系，有了这种向后传递的关系，就能从一个起点不断发展，以至无穷如果没有它，即使前面验证了命题对许多正整数n都成立，也不能保证命题对后面的所有正整数都成立,名师点睛 运用数学归纳法的注意点数学归纳法的步骤(1)是命题论证的基础，步骤(2)是判断命题的正确性能否递推下去的保证，这两个步骤缺一不可如果缺少步骤(2)，无法对n取
3、n0后的数时的结论是否正确作出判断；如果缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)就没有意义了,(1)验证是基础 一般情况下，用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题时，第一个允许值是命题成立的第一个正整数，并不一定所有的第一个允许值n0都是1. (2)递推乃关键 “假设nk(kn0，kN*)时命题成立”这一归纳假设起着已知的作用，“nk1时命题成立”则是求证的目标在证明“nk1时命题也成立”的过程中，必须利用归纳假设，再根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出nk1时命题成立可见数学归纳法证明的关键在于第二步,说明：(1)数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛
4、一般来说，与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、数列的通项及前n项和等问题，都可以考虑用数学归纳法证明 (2)归纳推理可以帮助我们发现一般规律，但是其正确性需要通过证明来验证一般情况下，有关正整数的归纳、猜想问题，都需要由不完全归纳法得到猜想，然后用数学归纳法证明猜想是否正确,在书写f(k1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k1)中的最后一项除此之外，多了哪些项，少了哪些项都要分析清楚,(1)用数学归纳法证明命题时，两个步骤缺一不可，且书写必须规范； (2)用数学归纳法证题时，要把nk时的命题当作条件，在证nk1命题成立时须用上假设要注意当nk1时，等式两边的式子与nk时等
5、式两边的式子的联系，弄清楚增加了哪些项，减少了哪些项，问题就会顺利解决,【题后反思】 (1)数列an既不是等差数列，又不是等比数列，要求其通项公式，只能根据给出的递推式和初始值，分别计算出前几项，然后归纳猜想出通项公式an，并用数学归纳法加以证明 (2)数学归纳法是重要的证明方法，常与其他知识结合，尤其是数学中的归纳，猜想并证明或与数列中的不等式问题相结合综合考查，证明中要灵活应用题目中的已知条件，充分考虑“假设”这一步的应用，不考虑假设而进行的证明不是数学归纳法,数学归纳法证明命题的步骤及注意事项： 两个步骤，缺一不可，其中第一步是递推的基础，第二步是递推的依据；两个步骤中关键是第二步，即当nk1时命题为什么成立在证nk1命题时成立时，必须利用归纳假设当nk时成立这一条件，再根据有关定理、定义、公式、性质等推证出当nk1时成立切忌直接代入，否则当nk1时成立也是假设了，命题并没有得到证明,
