空间几何体的表面积与体积公式大全

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1、第 1 页 共 18 页空间几何体的表面积与体积公式大全空间几何体的表面积与体积公式大全一、全（表）面积（含侧面积）1、柱体 棱柱 圆柱2、锥体 棱锥：hcS底棱锥侧21 圆锥：lcS底圆锥侧213、台体 棱台：hccS)(21下底上底棱台侧 圆台：lccS)(21下底上底棱台侧4、球体 球：rS24球 球冠：略 球缺：略二、体积1、柱体 棱柱 圆柱2、锥体 棱锥 圆锥hS上S上lS下S下hcS侧SSS侧底全 2SSS侧底全SSSS下侧上全hSV柱hSV31柱hShShShShShShShS第 2 页 共 18 页3、台体 棱台 圆台4、球体 球：rV3 34球 球冠：略 球缺：略说明：棱锥、

2、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高计算；而圆锥、圆台的h侧面积计算时使用母线计算。l三、拓展提高1、祖暅原理：（祖暅：祖冲之的儿子）夹在两个平行平面间的两个几何体，如果它们在任意高度上的平行截面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。2、阿基米德原理：（圆柱容球）圆柱容球原理：在一个高和底面直径都是的圆柱形容器内装一个最大r2的球体，则该球体的全面积等于圆柱的侧面积，体积等于圆柱体积的。32)(3122rrrrhV下下上上圆台)(31SSSShV下下上上台hhS上S上lS下S下第 3 页 共 18 页分析：圆柱体积：rrhSVr3222)(圆柱

3、圆柱侧面积：rhcSrr242)2(圆柱侧因此：球体体积：rrV33 34232球球体表面积：rS24球通过上述分析，我们可以得到一个很重要的关系（如图）+ =即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和3、台体体积公式公式： )(31SSSShV下下上上台证明：如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形。ABCD延长两侧棱相交于一点。P设台体上底面积为，下底面积为S上S下高为。h易知：，设，PDCPABhPE1则hhPF1由相似三角形的性质得：PFPE ABCDEFABCDP第 4 页 共 18 页即：(相似比等于面积比的算术平方根)hhh SS 11下上整理得：

4、 SShSh上下上1又因为台体的体积=大锥体体积小锥体体积hSSShhShhSV下上下上下台）（31)(31 31 31111代入：得： SShSh上下上1hSSSSShSV下上下上下上台31)(31 即：)(31 31)(31SSSShhSSShSV下下上上下上下上台)(31SSSShV下下上上台4、球体体积公式推导分析：将半球平行分成相同高度的若干层（） ， 越大，每一层越近似层nn于圆柱，时，每一层都可以看作是一个圆柱。这些圆柱的高为，nnr则：每个圆柱的体积=hSViinrri2半球的体积等于这些圆柱的体积之和。1 )0()0(222221nrrnrr1 )1()1(222222nrr

5、nrr1 )2()2(222223nrrnrrr2r1o第 5 页 共 18 页1 )1()1(22222 nnrrnnrrn半球体积为：)(22221rrrVVnnnr半球=1)1()1()0(2222 nn nnrnnr=222223) 1(210 nnrnn= 6) 12)(1(1 ) 12() 1(612323 nrnrnnnnn nn 6)12)(11 ( 1 3nnr 当时，n01nV半球rrrnn333 32)6211 (6)12)(11 ( 1 球体积为：rV3 34球5、球体表面积公式推导分析：球体可以切割成若干（）近似棱锥，当时，这些棱锥的个nn高为球体半径，底面积为球面面

6、积的，则每一个棱锥的体积n1，则所有的小棱锥体积之和为球体体积。即有：rSVn球1 311rrSnn3 34 31球rS24球球Sn1o第 6 页 共 18 页6、正六面体（正方体）与正四面体（1）体积关系如图：正方体切下四个三棱锥后，剩下的部分为正四面体设正方体棱长为，a则其体积为：aV3正方体四个角上切下的每一个三棱锥体积为：aaahSV32 61)21(31 31三棱锥中间剩下的正四面体的体积为：aaaahSV32223160sin2131 31)322 32()2()2(正三棱锥这样一个正方体可以分成四个三棱锥与中间一个正四面体即：aaa333 31461（2）外接球正方体与其体内最大

7、的正四面体有相同的外接球。 （理由：过不共面的四点确定一个球。 ）正方体与其体内最大的正面体有四个公共顶点。所以它们共球。回顾： 两点定线 三点定面 三点定圆 四点定球如图：(a)正方体的体对角线=球直径(b)正四面体的外接球半径=高43(c)正四面体的棱长=正方体棱长2(d)正方体体积：正四面体体积=3：1第 7 页 共 18 页(e)正方体外接球半径与正四面体外接球半径相等（3）正方体的内切球与正四面体的关系（a）正方体内切球直径=正方体棱长（b）正方体内切球与正四面体的四条棱相切。（c）与正四面体四条棱相切的球半径=正方体棱长的一半（d）设正四面体棱长为，则与其棱都相切的球半径为ar1有

8、：aar4222117、利用祖暅原理推导球体体积。构造一个几何体，使其截面与半球截面处处相等，根据祖暅原理可得两物体体积相等。证明：作如下构造：在底面半径和高都是 的圆柱内挖去一个与圆柱等底r等高的圆锥。如图：hRr1球hr1锥第 8 页 共 18 页在半球和挖去圆锥后的组合体的相同截面上作研究，设圆柱和半球底面半径均为，截面高度均为，倒圆锥的截面半径为，半球截面半径为Rhr1锥，r1球则：挖去圆锥后的组合体的截面为：rRS2121锥半球截面面积为：rS212球倒圆锥的底面半径与高相等，由相似三角形易得：hr1锥在半球内，由勾股定理易得：hRr221球 hRS221hRS222即：，也就是说：

9、半球与挖去倒圆锥后有圆柱在相同的高度上有相SS21同的截面。由祖暅原理可得：VV21所以半球体积：RRRVShShSh32 32 32 32 31半球即，球体体积：RRV33 34 322球8、正方体与球（1）正方体的内切球正方体的棱长球体的直径adaV3正方体adrV333 61 34 34)2(球：正方体V:6V球（2）正方体的外接球正方体的体对角线球体的直径a3d第 9 页 共 18 页adrV333 23 34 34)2(球：球V2:3V正方体（3）规律：正方体的内切球与外接球的球心为同一点；正方体的内切球与外接球的球心在体对角线上；正四面体的内切球与外接球的的半径之比为：3:1正四面

10、体内切球与外接球体积之比为：1：33正四面体内切球与外接球表面积之比为：1：3正方体外接球半径、正方体棱长、内切球半径比为：:2：31正四面体外接球、正四面体、内切球体积比为：:6:33正四面体外接球、正四面体、内切球表面积比为：:6:39、正四面体与球（1）正四面体的内切球解题关键：利用体积关系思考内切球的球心到各个面的距离相等，球心与各顶点的连线恰好把一个正四面体分成四个三棱锥，每个三棱锥的底面为原正四面体的底面，高为内切球的半径。r利用体积关系得：hara)60sin21(31)60sin21 31422（所以：，其中为正四面体的高。hr41h第 10 页 共 18 页由相关计算得：aa

11、ah36)321(3222ahr126 41即：aarV333 2166 34 34)126(球aaaV32 122 3660sin21 31正四面体3:18VV球正四机体：（2）正四面体的外接球外接球的半径=)23 32(22 43 43aa高a46aarV333 86 34 34)46(球aaaV32 122 3660sin21 31正四面体2:33122:86:33aaVV正四面体球（3）规律：正四面体的内切球与外接球的球心为同一点；正四面体的内切球与外接球的球心在高线上；正四面体的内切球与外接球的的半径之和等于高；正四面体的内切球与外接球的半径之比等于 1：3正四面体内切球与外接球体积

12、之比为：1：27第 11 页 共 18 页正四面体内切球与外接球表面积之比为：1：9正四面体外接球半径、正四面体棱长、内切球半径比为：:12：636正四面体外接球、正四面体、内切球体积比为：3:18:327正四面体外接球、正四面体、内切球表面积比为：:26:910、圆柱与球（1）圆柱容球（阿基米德圆柱容球模型）圆柱高=底面直径=球的直径球体体积=圆柱体积32球面面积=圆柱侧面积（2）球容圆柱球体直径、圆柱的高、圆柱底面直径构成直角三角形。设球体半径为，圆柱高为，Rh底面半径为r则有： 即：)2()2(222rhR2422rhR四、方法总结下面举例说明立体几何的学习方法例：已知正四面体的棱长为，

13、求它的内切球和外接球的半径a第 12 页 共 18 页思路：先分析球心的位置。因为正四面体是特殊的四面体，显然内切球与外接球的球心是重合的。且是正四面体的高线交点。再分析球心与一些特殊的点、线、面的位置、数量关系。在内切球这种情况下，球心垂直于每一个面，且到每一个面的距离相等；在外接球这种情况下，球心到每个顶点的距离相等。方法 1：展平分析：（最重要的方法）如图：取立体图形中的关键平面图形进行分析！连接 DO 并延长交平面 ABC 于点 G，连接 GO1连接 D并延长交 BC 于点 E，则 A、G、E 三点共线。O1在平面 AED 中，由相似知识可得：2111GAEG DE OO 且 ADGO

14、/1311ADGOGODOA O131 AOOO1即：aaAhO46 36 43 43 43AO1aaAhO126 36 41 41 41O11OaV33 86 34DO外接球EFO1OCDBABACDEGO1O第 13 页 共 18 页aOOV3312166 34内切球方法 2：体积分析：（最灵活的方法）如图：设正四面体 ABCD 的内切球球心为，连接OAO、BO、CO、DO，则正四面体被分成四个完全一样的三棱锥。设内切球半径为，正四面体的棱长为ra则正面四体的高为：aaah36)23 32(22则：4 个完全一样的三棱锥体积=正四面体体积有：araa36)60sin21(31)60sin21(31422ar126 arV33 2166 34内切球aaarhV33386 34 34)126 36()(外接球方法 3：方程分析：（最常见的做法）如图：显然 AO、DO 是外接球半径，O是内切球半径。O1在 RtDO中，由勾股写得可得以下方程：O12DO21212DOOO其中：a23 32DO1ah36ADDOOO11AB BO ODCBACD O1O第 14 页 共 18 页代入方程解得：、a46DO a126OO1aV33 86 34DO外接球aOOV3312166 34内切球方法 4：补形分析（最巧妙的思考）把正四面体补成正方体进行分析。如图：此时，正四面体与正方体