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2、e= =,故可设 a=2k,c=k,则得 b=k,所以渐近线方程为 y= x=x.2.已知 00,b0),把 x=-c 代入双曲线的方程可得 y=,由题意可得 2c=,所以 2ac=c2-a2,求得 =1+, =1-(舍去).【加固训练】(2016忻州模拟)已知双曲线 C:-=1 的离心率为,则 C 的渐近线方程为 ( )A.y=2x B.y=xC.y=xD.y=x【解析】选 B.由双曲线的方程-=1 知,双曲线的焦点在 x 轴上,所以=()2=3,所以 n= ,所以 a2= ,b2=4- = ,从而双曲线的渐近线方程是 y=x.4.(2014全国卷)已知 F 为双曲线 C:x2-my2=3m
3、(m0)的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为 ( )A. B.3 C.m D.3m【解析】选 A.双曲线 C:-=1,则 c2=3m+3,c=,设焦点 F(,0),一条渐近线方程为 y=x,即 x-y=0,所以点 F 到渐近线的距离为 d=.5.设 F1,F2分别为双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点 P,满足|PF2|=|F1F2|,且 F2到直线 PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为 ( )A.B.C.D.【解析】选 B.易知|PF2|=|F1F2|=2c,所以由双曲线的定义知|PF1|=2a+2c,因为 F2到直线 PF1的距离等于
4、双曲线的实轴长,所以(a+c)2+(2a)2=(2c)2,即 3c2-2ac-5a2=0,两边同除以 a2,得 3e2-2e-5=0,解得 e= 或 e=-1(舍去).【加固训练】1.(2016莱芜模拟)已知双曲线 C:-=1(a0,b0)的焦点为 F1,F2,且 C 上点P 满足=0,|=3,|=4,则双曲线 C 的离心率为 ( )A.B.C.D.5【解析】选 D.依题意得,2a=|PF2|-|PF1|=1,|F1F2|=5,因此该双曲线的离心率 e=5.2.(2016滨州模拟)过双曲线 C:-=1 的右顶点作 x 轴的垂线,与 C 的一条渐近线相交于点 A.若以 C 的右焦点为圆心、4 为
5、半径的圆经过 A,O 两点(O 为坐标原点),则双曲线 C 的方程为 ( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选 A.由得所以 A(a,-b).由题意知右焦点与原点的距离为 c=4,所以=4,即(a-4)2+b2=16.而 a2+b2=16,所以 a=2,b=2.所以双曲线 C 的方程为-=1.3.直线 y=x 与双曲线 C:-=1(a0,b0)左右两支分别交于 M,N 两点,F 是双曲线 C 的右焦点,O 是坐标原点,若|FO|=|MO|,则双曲线的离心率等于 ( )A.+B.+1C.+1D.2【解析】选 B.由题意知|MO|=|NO|=|FO|,所以MFN 为直角三角形,且M
6、FN=90,取左焦点为 F0,连接 NF0,MF0,由双曲线的对称性知,四边形 NFMF0为平行四边形.又因为MFN=90,所以四边形 NFMF0为矩形,所以|MN|=|F0F|=2c,又因为直线 MN 的倾斜角为 60,即NOF=60,所以NMF=30,所以|NF|=|MF0|=c,|MF|=c,由双曲线定义知|MF|-|MF0|=c-c=2a,所以 e= =+1.二、填空题二、填空题( (每小题每小题 5 5 分分, ,共共 1515 分分) )6.在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线-=1 的离心率为,则 m 的值为 .【解析】由-=1,得 a=,b=,c=,所以 e= =,即 m2-
7、4m+4=0,解得 m=2.答案:27.已知 F 为双曲线 C:-=1 的左焦点,P,Q 为 C 上的点.若 PQ 的长等于虚轴长的 2 倍,点A(5,0)在线段 PQ 上,则PQF 的周长为 .【解题提示】可利用双曲线的定义,再借助于三角形的图形,即可得出结论.【解析】由-=1,得 a=3,b=4,c=5,所以|PQ|=4b=162a,又因为 A(5,0)在线段 PQ 上,所以 P,Q 在双曲线的一支上,且 PQ 所在直线过双曲线的右焦点,由双曲线定义知:所以|PF|+|QF|=28.即PQF 的周长是|PF|+|QF|+|PQ|=28+16=44.答案:448.设直线 x-3y+m=0(m
8、0)与双曲线-=1(a0,b0)的两条渐近线分别交于点 A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是 .【解析】联立双曲线-=1 渐近线与直线方程 x-3y+m=0 可解得:A,B,则 kAB= ,设 AB 的中点为 E,由|PA|=|PB|,可得 AB 的中点 E 与点 P 两点连线的斜率为-3,化简得 4b2=a2,所以 e=.答案:三、解答题三、解答题( (每小题每小题 1010 分分, ,共共 2020 分分) )9.(2016烟台模拟)已知双曲线-=1 的弦 AB 以 P(-8,-10)为中点,(1)求直线 AB 的方程.(2)若 O 为坐标原点,求三角形 O
9、AB 的面积.【解析】(1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=-16,y1+y2=-20,A,B 坐标代入双曲线方程,两式相减得5(x1-x2)(x1+x2)-4(y1+y2)(y1-y2)=0,所以 kAB=1,而直线 AB 过点 P,所以直线 AB 的方程为 y=x-2,经检验此方程满足条件.(2)将 y=x-2 代入-=1,可得 x2+16x-36=0,所以 x1+x2=-16,x1x2=-36,所以|AB|=20,O 点到 AB 的距离为=,所以所求面积为 20=20.10.(2016泰安模拟)已知焦点在 x 轴上的双曲线的离心率为,虚轴长为 2.(1)求双曲线
10、C 的方程.(2)已知直线 x-y+m=0 与双曲线 C 交于不同的两点 A,B,若 OAOB,求 m 的值.(O 为坐标原点)【解析】(1)设双曲线的标准方程为-=1(a,b0),由题意可得 2b=2,e= =,c2=a2+b2,解得 a=1,b=,故双曲线 C 的标准方程为 x2-=1.(2)联立直线方程与双曲线方程得:消去 y,可得 x2-2mx-2-m2=0,判别式 =4m2+4(2+m2)0,恒成立,设 A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系知:x1+x2=2m,x1x2=-2-m2,由 OAOB,可得=x1x2+y1y2=0,由 y1y2=(x1+m)(x2+m)=x
11、1x2+m(x1+x2)+m2,可得 2x1x2+m(x1+x2)+m2=0,即-2m2-4+2m2+m2=0,解得 m=2,成立.故 m 的值为2.(20(20 分钟分钟 4040 分分) )1.(5 分)已知点 F1,F2分别是双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点,过点 F1且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两点,若ABF2是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是 ( )A.(1,) B.(,2)C.(1+,+)D.(1,1+)【解析】选 D.依题意,00,b0)的半焦距,则的取值范围是 .【解析】=-e=-,由于 e1,且函数 f(e)=-在(1,+)上是增函数,那么的取值
12、范围是(-1,0).答案:(-1,0)4.(12 分)(2016聊城模拟)如图所示的“8”字形曲线是由两个关于 x 轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形,其中上半个圆所在圆的方程是 x2+y2-4y-4=0,双曲线的左、右顶点 A,B 是该圆与 x 轴的交点,双曲线与半圆相交于与 x 轴平行的直径的两端点.(1)试求双曲线的标准方程.(2)记双曲线的左、右焦点分别为 F1,F2,试在“8”字形曲线上求点 P,使得F1PF2是直角.【解析】(1)上半个圆所在圆的方程是 x2+y2-4y-4=0,则圆心为(0,2),半径为 2.则下半个圆所在圆的圆心为(0,-2),半径为 2.双曲线的左、右
13、顶点 A,B 是该圆与 x 轴的交点,即为(-2,0),(2,0),即 a=2,由于双曲线与半圆相交于与 x 轴平行的直径的两端点,则令 y=2,解得 x=2.即交点为(2,2).设双曲线的方程为-=1(a0,b0),则-=1,且 a=2,解得 b=2.则双曲线的标准方程为-=1.(2)由(1)知双曲线的左、右焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),若F1PF2是直角,则设 P(x,y),则有 x2+y2=8,由解得 x2=6,y2=2.由解得 y=1,不满足题意,舍去.故在“8”字形曲线上所求点 P 的坐标为(,),(-,),(-,-), (,-).【加固训练】(2016临沂模拟)在平面
14、直角坐标系 xOy 中,己知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2,在 y 轴上截得线段长为 2.(1)求圆心 P 的轨迹方程.(2)若 P 点到直线 y=x 的距离为,求圆 P 的方程.【解析】(1)设圆心 P(x,y),由题意得 x2+3=y2+2,整理得 y2-x2=1,即为圆心 P 的轨迹方程,此轨迹是等轴双曲线.(2)由 P 点到直线 y=x 的距离为,得=,即|x-y|=1,即 x=y+1 或 y=x+1,分别代入 y2-x2=1,解得 P(0,-1)或 P(0,1).若 P(0,-1),此时点 P 在 y 轴上,故半径为,所以圆 P 的方程为(y+1)2+x2=3;若 P(0,1)
15、,此时点 P 在 y 轴上,故半径为,所以圆 P 的方程为(y-1)2+x2=3.综上,圆 P 的方程为(y+1)2+x2=3 或(y-1)2+x2=3.5.(13 分)(2016淄博模拟)已知双曲线 C:-=1(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,离心率为 3,直线 y=2 与 C 的两个交点间的距离为.(1)求 a,b.(2)设过 F2的直线l与 C 的左、右两支分别相交于 A,B 两点,且|AF1|=|BF1|,证明:|AF2|,|AB|,|BF2|成等比数列.【解析】(1)由题设知 =3,即=9,故 b2=8a2.所以 C 的方程为 8x2-y2=8a2.将 y=2 代入上式,
16、求得 x=.由题设知,2=,解得,a2=1.所以 a=1,b=2.(2)由(1)知,F1(-3,0),F2(3,0),C 的方程为 8x2-y2=8. 由题意可设l的方程为 y=k(x-3),|k|2,代入并化简得,(k2-8)x2-6k2x+9k2+8=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1-1,x21,x1+x2=,x1x2=.于是|AF1|=-(3x1+1),|BF1|=3x2+1.由|AF1|=|BF1|得-(3x1+1)=3x2+1,即 x1+x2=- .故=- ,解得 k2= ,从而 x1x2=-.由于|AF2|=1-3x1,|BF2|=3x2-1,故|AB|=|AF2|-|BF2|=2-3(x1+x2)=4,|AF2|BF2|=3(x1+x2)-9x1x2-1=
