必修五不等式专题复习

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1、1不等式不等式专题复习专题复习 知识回顾知识回顾一不等式的主要性质：一不等式的主要性质：(1)对称性： (2)传递性： (3)加法法则： (同向可加) (4)乘法法则：(同向同正可乘) (5)倒数法则： (6)乘方法则： (7)开方法则： 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差变形判断符号结论）3、应用不等式性质证明不等式二解不等式二解不等式1.一元二次不等式的解集：00或022acbxaxcbxax2、简单的一元高次不等式的解法：（穿根法）其步骤是： （1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正； （2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次

2、通过每一点画 曲线；并注意奇穿过偶不过；（3）根据曲线显现( )f x的符号变化规律，写出不等式的解集。 如： xxx1120233、分式不等式的解法（转化为常规不等式）( ) ( )0( )( )0( ) ( )0;0( )0( )( )f x g xf xf xf x g xg xg xg x 注意：右边不是零时，先移项再通分，化为上两种情况再处理 4、不等式的恒成立问题：应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题2若不等式 Axf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上 minf xA若不等式 Bxf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上 maxf xB三、线性规划三、线性规划1、用二元一

3、次不等式（组）表示平面区域 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法：定点法 3、线性规划的有关概念：线性约束条件 线性目标函数 线性规划问题 可行解、可行域和最优解：4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤： （1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数； （2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3）依据线性目标函数作参照直线 ax+by0，在可行域内平移参照直线求目 标函数的最优解四均值不等式四均值不等式1若 a,bR,则 a2+b22ab,当且仅当 a=b 时取等号.2如果 a,b 是正数，那么).“(2号时取当且仅当baabba变形变形： a+bab2； ab22b

4、a, 当且仅当 a=b 时取等号.注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和 为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积 最大” （2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 3.常用不等式有：（1）222 2211abababab (根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a、b、cR R，222abcabbcca（当且仅当abc时，取等号） ；（3）若0,0abm，则bbm aam（糖水的浓度问题） 。典例剖析典例剖析题型一：不等式的性质题型一：不等式的性质31.对于实数cba,中，给出下列命题：22,bcacba则若； babcac则若,

5、22； 22, 0bababa则若； baba11, 0则若；ba abba则若, 0； baba则若, 0；bcb acabac则若, 0； 11,abab若，则0,0ab。其中正确的命题是_题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）式）2.设2a ，1 2paa，2422aaq，试比较qp,的大小3.比较 1+3logx与) 10(2log2xxx且的大小4. 若)2lg(),lg(lg21,lglg, 1baRbaQbaPba，则RQP,的大小关系是 .题型三：解不等式题型三：解不等式5.解不等式 6.解不等式

6、2(1)(2)0xx。7.解不等式25123x xx 48.不等式2120axbx的解集为x|-1x2，则a=_, b=_9. 关于x的不等式0bax的解集为), 1 ( ，则关于x的不等式02 xbax的解集为_ 10. 解关于 x 的不等式2(1)10axax 题型四：恒成立问题题型四：恒成立问题11. 关于 x 的不等式 a x2+ a x+10 恒成立，则 a 的取值范围是_ 12. 若不等式22210xmxm 对01x的所有实数x都成立，求m的取值范围.13. 已知0,0xy且191xy，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。三基本不等式三基本不等式题型五：求最值题型五：求最值

7、14. （直接用注正数）求下列函数的值域（1）y3x 2 （2）yx12x 21x15. （配凑项）（1）已知5 4x ，求函数14245yxx的最大值。5（2）当时，求(82 )yxx的最大值。16. 求2710(1)1xxyxx 的值域。注意：在应用均值不等式求最值时，若等号取不到，应结合函数注意：在应用均值不等式求最值时，若等号取不到，应结合函数( )af xxx的的单调性。单调性。17. 求函数2254xy x 的值域。18. （条件不等式）（1）若实数满足2ba，则ba33 的最小值是 .（2）已知0,0xy，且191xy，求xy的最小值。（3）已知 x，y 为正实数，且 x 21，

8、求 x的最大值.y 221y 2（4）已知 a，b 为正实数，2baba30，求函数 y的最小值.1ab6题型六：利用基本不等式证明不等式题型六：利用基本不等式证明不等式19、已知 a, b 都是正数，并且 a b，求证：a5 + b5 a2b3 + a3b219. 正数 a，b，c 满足 abc1，求证：(1a)(1b)(1c)8abc16 （12 分）设 a0, b0，且 a + b = 1，求证：225)1()1(22bbaa题型七：均值定理实际应用问题：题型七：均值定理实际应用问题： 20. 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 200m2的三级污水处理池（平面 图如图） ，如果池外圈

9、周壁建造单价为每米 400 元，中间两条隔墙建筑单价 为每米 248 元，池底建造单价为每平方米 80 元，池壁的厚度忽略不计，试 设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低 造价。四四. .线性规划线性规划7题型八：目标函数求最值题型八：目标函数求最值21. 满足不等式组 0,087032yxyxyx，求目标函数yxk 3的最大值22、已知实系数一元二次方程2(1)10xa xab 的两个实根为1x、2x,并且102x,22x 则1b a的取值范围是 23、已知, x y满足约束条件：0 344 0x xy y ,则222xyx的最小值是24、已知变量230,330.10xyx yxyy

10、满足约束条件若目标函数zaxy（其中a0）仅在点（3，0）处取得最大值，则 a 的取值范围为 。825、已知实数xy，满足1 21y yxxym ， ，如果目标函数zxy的最小值为1，则实数m等于（ ）题型九：实际应用题型九：实际应用22. 某饼店制作的豆沙月饼每个成本 35 元，售价 50 元；凤梨月饼每个成本 20 元，售价 30 元。现在要将这两种月饼装成一盒，个数不超过 10 个，售价不超过 350 元，问豆 沙月饼与凤梨月饼各放几个，可使利润最大？又利润最大为多少？9易错点剖析1 1、抓住两边结构进行合理转化 抓住两边结构进行转化是不等式应用的重 要一环，根据结论与条件，要想促使结论

11、与条件的“沟通” ，必须仔细分析结构 特点，选用恰当的不等式或变式； 例 1、正数、 满足 =1， 的最大值 。abba ) 1)(1(ba分析（1）本题是求“积”的最大值，常规是向“和”或“平方和”转化，并 根据“和”或“平方和”是否是定值，做出选择。（2）要利用=1，就必须去掉根号，因此要向“平方和”转化，那ba 么应用变式也就顺理成章了。解： ， 当且仅当 23 2) 1() 1() 1)(1(baba 1) 1() 1( baba即时取得“=” 。 的最大值是 21 ba) 1)(1(ba23例 2、已知正数、 满足 =1， 求 最小值；abba 22) 1() 1(ba 分析：将条件

12、与结论放在一起，可以看出，要想从条件式推出结论式，必须 完成从“和”向“平方和”的转化；若从结论入手转化，再利用条件，就必 须完成从“平方和”向“和”的转化。显然，不管是由条件推出结论还是由 结论转化再利用条件，都离不开变式。解：， )(222baba) 1() 1(2) 1() 1(22baba， 3) 1() 1(222ba29) 1() 1(22ba当且仅当时取得“= 。 最小值是 21 ba22) 1() 1(ba29。 注：转化中必要的“技术处理” 对均值不等式的应用，除了要会从结构入 手分析外，必要的“技术处理”还必须掌握如： “配系数” （将“”写成“”或“” ） ；xx221x

13、212“拆项” （将“”写成“” ） ；1332 xxx111) 1(xx“加、减凑项” （将“”写成“ ” ） ；x1) 1(x“升降幂” （） 等都是常用的“技术处理”方法。2)(, 0aaa例 3、 已知 ，求证：0, 0babaabba分析：从结构特点和字母的次数看与变式吻合，可从此式入手。解： 若 b0,则， baba 22 baba 2abab 2由 + 。baabba10例 4、已知 求 的最小值。0 ba)(162 baba分析：本题求“和”的最小值，但“积”并不是定值，故需要进行“拆项” 变形等“技术处理” ，注意到 ，容易找到解题的突破口abab)(解：由 ，0 ba44)

14、()(22ababbab于是=，当且仅当 )(162 baba41622 aa 166422aa 2264 aabab即时取“=”的最小值是 16。2,22ba)(162 baba另外也可由 = = )(162 baba2)(bab)(16 bab来求得此最小值。16)(16)(4babbab二、二、使用均值定理的注意事项（易错提醒）使用均值定理的注意事项（易错提醒） 1、应用均值不等式求最值方便、快捷，但必须注意条件 “一正、二定、 三相等” ， 即涉及的变量都是正数， 其次是和（平方和）为定值或积为定值， 然后必须注意等号可以成立。 如的最小值是 5 xx22 sin4sin； 但使用均值不等式容易误解为是 4，因为不成立xx22 sin4sin（不能取“=” ） 。 2、在使用均值不等式时，要注意它们多次使用再相加相乘的时候，等号成 立的条件是否一致。如例 4，要保证两次均值不等式的取等条件相同 （同时满足） 。