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1、正弦定理与余弦定理,正弦定理,余弦定理,边角关系,如图1-1，,能找到什么边角关系？,能够用什么边角关系表示斜边？,C=,对于任意三角形，,是否恒成立？,要考虑两种情况：,钝角三角形,下面讨论锐角三角形的情况：,如图1-2，设AB边上的高是CD ,CD =,CD =,同理，,从而,以此类推,钝角三角形的情况,依然成立.,从上面的研究探讨过程,可得以下定理,正弦定理:,在一个三角形中,各边与,其对角度正弦的比相等,即,锐角三角形,在Rt ABC中，,在Rt ABC中，,图1-1,图1-2,根据三角函数的定义，有,正弦定理的证明,证明：,如图1-3所示，,当ABC为直角三角形时，BC=,AC=b
2、,AB= c ,则有,即,因此,如图1-4所示，,当ABC为锐角三角形时，,由三角函数的定义，有,所以,同理,在ABC中,可证明,因此,即,图1-3,图1-4,设AB上的高为CD.,当ABC为钝角三角形时，不妨设ACB为钝角,如图1-5所示，,设BC边上的高为AD.,D,由三角函数的定义，有,即,所以,即,同理，,因此,即,综上所述，,对于任意ABC，都有,即证.,正弦定理一些常见的其他几种证明：,向量法,三角形面积法,三角形外接圆法,=2R,图1-5,证明：,利用向量法证明：,如图1-6所示，,当ABC为锐角三角形时，,过点A作单位向量,垂直于,则,（90BAC），,（90C）.,由,将上式
3、的两边同时进行与向量,由分配律，得,所以,所以,即,同理，,所以,图1-6,得到,当ABC 为钝角三角形时，不妨设ACB为钝,如图1-7所示，,角,过点A作单位向量,垂直于,则,（BAC 90），,（90C）.,由,将上式的两边同时进行与向量,由分配律，得,所以,所以,即,所以,同理，,所以,综上所述，,对于任意ABC，都有,即证.,当ABC为钝角三角形时，这个结论显然成立.,（利用同样的方法可证明）,图1-7,得到,三角形面积法:,证明：,当ABC为锐角三角形时,如图1-8所示，,D,设ABC的面积为S,作AD BC于D，,则 S =,同理，,S =,所以,S =,上式同除以,得,即,当AB
4、C为钝角三角形时,如图1-9所示，,D,过点A作CB边上的高AD，,则,图1-8,图1-9,设ABC的面积为S,所以,S =,同理,S =,所以,当ABC为直角三角形时,上面对公式显然成立.,综上 所述，,对于任意ABC，都有,当ABC为钝角三角形时,如图1-10所示，,过点A作CB边上的高AD，,则,D,图1-10,利用三角形外接圆法:,证明：,设ABC的外接圆半径为R.,若A为锐角，,如图1-11所示，,作直径BA, 连接AC，,则A=,A.,在RtA BC中，,BC=ABsinA =,2RsinA ,即,若A为直角，,如图1-12所示，,由RtABC直接得,若A为钝角，,如图1-13所示
5、，,作直径BA, 连接AC，,则A=, A，,在RtABC中，,BC=ABsinA =,2Rsin（ A ）=,2RsinA ,即,由 得,即,同理，,所以,备注：,正弦定理可推广为,（R为ABC的外接圆的半径）,图1-11,图1-12,图1-13,1.正弦定理,定义:,在一个三角形中,各边与其对角度正弦的比相等,常见的变 形公式:,（R为ABC的外接圆的半径）,其作用：,已知三角形任意两边,及其中一边的对角，,可以求其他角度正弦值,已知三角形任意两角,及其中一边，,可以求其他边,习题巩固,例.1,在ABC中，,已知,求B.,分析：,直接利用正弦定理,解：,B=90 ,例2,在ABC中，,已知
6、,求b.,分析：,利用三角形内角和定理求B ，,在直接利用正弦定理求b.,解：,由正弦定理有:,小结：,解三角形通常要将三角形内角和定理与正弦定理相结合,课后作业：,1.在ABC中，已知,试判断ABC的形状.,2.在ABC中，已知,图2-1,如图2-1所示，,在Rt ABC中，,有,问题：,在图2-2、图2-3中能否用 b、c 、 A 表示 ?,添加辅助线构造直角三角形,边角关系的转化,解：,过点C 作AD AB于D，,则,在RtABC中，根据勾股定理可得,在Rt ADC 中，,又,即,在Rt ADC 中，,故,类似可证明,图2-2,图2-3,从上述研究探讨过程，,可得到,余弦定理,余弦定理:
7、,三角形 任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与,其它的形式：,（推论）,它们夹角的余弦的积的两倍。,余弦定理的证明,证明:,如图2-4所示，,当ABC为锐角三角形时，,作AD BC于D，,则有,在Rt ADC 中，,根据勾股定理可得,即,所以,同理可证，,图2-4,当ABC为钝角三角形时，,如图2-5所示，,作AD BC于D，,则有,在Rt BCD 中，,根据勾股定理可得,即,所以,同理可证,图2-5,当ABC为直角三角形时，,上面对公式显然成立.,综上所述，,对于任意ABC，都有,即证.,余弦定理一些常见的其他几种证明：,向量法,解析法,（利用两点间的距离公式）,两点间的距离公式
8、:,向量法：,如图2-6所示，,证明:,在ABC中，,由向量减法的三角形法则,有,由向量加法的三角形法则，,有,则,即,则,即,图2-6,由向量加法的三角形法则,有,则,即,故,图2-6,解析法：,证明:,建立直角坐标系，,如图所示，,（A）,B,B,C,C,B,C,则,A (0 , 0),C (b , 0),设点B的坐标为（x，y）,由三角函数的定义，有,即,所以,点B的坐标为,根据两点间的距离公式得,所以,同理可证,综上所述，,对于任意ABC，都有,1.余弦定理,定义:,三角形 任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与,其它的形式：,（推论）,其作用：,已知三角形三边,可以求其他角
9、度余弦值,已知三角形任意两边及它们的夹角，,求第三边和其它两角的余弦值.,它们夹角的余弦的积的两倍。,习题巩固,例.1,试判断ABC的形状.,在ABC中，已知,解法一：,（利用正弦定理将边转化为角）,ABC为等腰三角形,解法二：,（利用余弦定理的推论将角转化为边）,ABC为等腰三角形,由余弦定理的推论，有,由正弦定理,有,例.2,在 ABC中，内角 A 、B、C 的对边长分别为,已知,且,求b.,分析：,将,化为边与边的之间关系,结合,求出b的值.,解：,由正弦定理有,则,而由余弦定理有,又,由,得,课后作业：,判断满足下列条件的三角形形状,正弦定理与余弦定理,正弦定理,余弦定理,已知条件,两
10、边和其中一边的对角(如a、b、A),定理应用,正弦定理 (或余弦定理),正弦定理,余弦定理,余弦定理,一般解法,由A+B+C=180，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时,有一解。,由余弦定理求第三边c,由正弦定理求出小边所对的角，再由A+B+C=180求出另一角，在有解时有一解。,由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180，求出角C在有解时只有一解。,由正弦定理求出角B，由A+B+C=180求出角C， 在利用正弦定理求出c边，可有两解、一解或无解（或利用余弦定理求出c边，再求出其余两角B、C）,一边和两角（如a、B、C 或a、A、B）,两边和夹角(如a、b、C),三边 (如a、b、c
11、),已知条件,两边和其中一边的对角 (如 a、b、A),定理应用,正弦定理 (或余弦定理),正弦定理,余弦定理,余弦定理,一般解法,由A+B+C=180，求角A，由正弦定理求出 b 与 c ，在有解时,有一解。,由余弦定理求第三边c,由正弦定理求出小边所对的角，再由A+B+C=180求出另一角，在有解时有一解。,由余弦定理求出角 A、B，再利用 A+B+C=180，求出角C 在有解时只有一解。,由正弦定理求出角B，由A+B+C=180求出角C，在利用正弦定理求出c边，可有两解、一解或无解（或利用余弦定理求出c边，再求出其余两角 B、C）,一边和两角（如 a、B、C 或 a 、A、B）,两边和夹角(如 a、b、C),三边 (如 a、b、c),
