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1、1专题：圆 锥 曲 线 之 轨 迹 问 题一、临阵磨枪1.直接法（五部法）：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这 些几何条件简单明了且易于表达，我们只须把这种关系“翻译”成含的等式就得到曲, x y 线的轨迹方程。这种求轨迹的方法称之为直接法。2.定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线 的定义） ，则可根据定义直接求出动点的轨迹方程。3.坐标转移法（代入法）：有些问题中，其动点满足的条件不便于等式列出，但动点是 随着另一动点（称之为相关点）而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分 析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据
2、相关点所满足的方程即可求得动点 的轨迹方程，这种求轨迹的方法坐标转移法，也称相关点法或代入法。4.参数法：有时求动点应满足的几何条件不易求出，也无明显的相关点，但却较易发现 （或经分析可发现）这个动点的运动常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间等）的制约，即动点坐标中的分别随另一变量的变化而变化，我们可以把这( , )x y, x y个变量设为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法，如果需要得到轨迹的普通 方程，只要消去参变量即可。5.交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常可 通过解方程组得出交点含参数的坐标，再消去参数得出所求轨迹方程，此种方
3、法称为交轨 法。二、小试牛刀1.已知 M（-3,0） ，N（3,0）,则动点 P 的轨迹方程为 6 PNPM析： 点 P 的轨迹一定是线段 MN 的延长线。MNPMPN故所求轨迹方程是 0(3)yx2.已知圆 O 的方程为，圆的方程为，由动点 P 向两222 yxO010822xyx圆所引的切线长相等，则动点 P 的轨迹方程为 析：圆 O 与圆外切于点 M(2,0) 两圆的内公切线上的点向两圆所引的切线长都相O等，故动点 P 的轨迹就是两圆的内公切线，其方程为2x 3.已知椭圆，M 是椭圆上一动点，为椭圆的左焦点，则线段)0( 12222 baby ax1F的中点 P 的轨迹方程为 1MF析：
4、设 P 又 由中点坐标公式可得：( , )x y00(,)M xy1(,0)Fc2又点在椭圆上000022 2 2xcxxxc yyyy00(,)M xy)0( 12222 baby ax 因此中点 P 的轨迹方程为22 00 221(0)xyabab2222(2)41xcy ab4.已知 A、B、C 是不在同一直线上的三点，O 是平面 ABC 内 的一定点，P 是动点，若,则点 P 的轨迹一定过三, 0),21(BCABOAOP角形 ABC 的 重 心。析：设点 D 为 BC 的中点，显然有OPOAAP 1 2ABBCABBDAD 故点 P 的轨迹是射线 AD， 所以，轨迹一定过三角形的重心
5、。,0,APAD 三、大显身手1、直接法、直接法例例 1、设过点 P（x,y）的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A、B 两点，点Q 与点 P 关于 y 轴对称，若且,则 P 点的轨迹方程为 ,2PABP 1 ABOQ解：设 又 所以( ,0), (0, )A aBb( , )P x y( ,),(,)BPx yb PAaxy 又 所以,2PABP 32()223xaxax ybyby 33(,0), (0,3 )(,3 )22AxByABxy 而点与点关于轴对称，点的坐标为 即QPyQ(, )x y(, )OQx y 又 所以 这个方程即为所求轨迹方程。1 ABOQ22331
6、2xy变式变式 1、已知两点 M（-2,0） ，N（2,0） ，点 P 满足,动点 P 的0NPMNMPMN轨迹方程为 解:设则：( , )P x y224,(2),(4,0),(2, ).MNMPxyMNNPxy 又0NPMNMPMN3化简得所求轨迹方程为：224 (2)4(2)0xyx28yx 2、定义法、定义法 例例 2、已知圆 A 的方程为，点 B（-3,0） ，M 为圆 O100)3(22yx上任意一点，BM 的中垂线交 AM 于点 P，求 点 P 的轨迹方程。解：由题意知：BPMP AMPAMPPAPB又圆 A 的半径为 10，所以 10AM10PBPA即点 P 的轨迹是以定点 A
7、(3,0) B(-3,0)为焦点，10 为长轴的椭圆 （椭圆与长轴所在的对称轴的两交点除外）其轨迹方程为)5( 1162522 xyx变式变式 2、已知椭圆的焦点)0( 12222 baby ax为，P 是椭圆上的任意一点，如果 M 是线段21,FF的中点，则动点 M 的轨迹方程是 PF1解：因为 M 是线段的中点，连接 OM，则PF1221PFOM 1121PFMF 由椭圆的定义知： aPFPF221aPFPFMOMF)(21211即点 M 到定点 O、定点的距离和为定值，故动点 M 的轨迹是以 O、为焦点，1Fa1F以为长轴的椭圆，其方程为a14)2(42222by acx（说明：此题也可以用代入法解决）3、坐标转移法（代入法）、坐标转移法（代入法）OPxyABM0xyPF1F2M4例例 3、从双曲线上一点 Q 引直线 x+y=2 的垂线，垂足为 N，求线段 QN 的中122 yx点 P 的轨迹方程。解：设 Q则由),(00yx可得 N 点坐标 02000 yxyxyx设 22220000yxyyxx ),(yxP由中点坐标公式可得：又点 Q在双曲线上， 23223222322232000000yxyyxx yxyyxx ),(00yx122 yx所以 代入得4442 02 0yx4)23()23(22yxyx化简得 即为所求轨迹方程。
