《《线性代数》章节5.2和5.3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《线性代数》章节5.2和5.3（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一、可对角化的概念,二、可对角化的条件,2 矩阵的相似与对角化,三、对角化的一般方法,定义1：设 是 维线性空间V的一个线性变换，,如果存在V的一个基，使 在这组基下的矩阵为对,角矩阵，则称线性变换 可对角化.,矩阵，则称矩阵A可对角化.,定义2：矩阵A是数域 上的一个 级方阵. 如果,存在一个 上的 级可逆矩阵 ，使 为对角,一、可对角化的概念,1. (定理7)设 为 维线性空间V的一个线性变换，,则 可对角化 有 个线性无关的特征向量.,证：设 在基 下的矩阵为对角矩阵,则有,二、可对角化的条件,就是 的n个线性无关的特征向量.,三、对角化的一般方法,1 求出矩阵A的全部特征值,2 对每一
2、个特征值 ，求出齐次线性方程组,设 为维线性空间V的一个线性变换，,为V的一组基， 在这组基下的矩阵为A.,步骤:,的一个基础解系（此即 的属于 的全部线性无关,的特征向量在基 下的坐标）.,3若全部基础解系所合向量个数之和等于n ，则,（或矩阵A）可对角化. 以这些解向量为列，作一个,n阶方阵T，则T可逆， 是对角矩阵. 而且,有n个线性无关的特征向量 从而,T就是基 到基 的过渡矩阵.,下的矩阵为,基变换的过渡矩阵.,问 是否可对角化. 在可对角化的情况下，写出,例1. 设复数域上线性空间V的线性变换 在某组基,解：A的特征多项式为,得A的特征值是1、1、1.,解齐次线性方程组 得,故其基
3、础解系为：,所以，,是 的属于特征值1的两个线性无关的特征向量.,再解齐次线性方程组 得,故其基础解系为：,所以，,是 的属于特征值1的线性无关的特征向量.,线性无关，故 可对角化，且,在基 下的矩阵为对角矩阵,即基 到 的过渡矩阵为,例2. 问A是否可对角化？若可，求可逆矩阵T，使,为以角矩阵. 这里,得A的特征值是2、2、-4 .,解: A的特征多项式为,对于特征值2，求出齐次线性方程组,对于特征值4，求出齐次方程组,的一个基础解系:（2、1、0），（1、0、1）,的一个基础解系:,令,则,所以A可对角化.,是对角矩阵（即D不可对角化）.,项式.并证明：D在任何一组基下的矩阵都不可能,练：在 中, 求微分变换D的特征多,解：在 中取一组基：,则D在这组基下的矩阵为,于是, D的特征值为0（n重）.,的系数矩阵的秩为n1，从而方程组的基础解系,故D不可对角化 .,又由于对应特征值0的齐次线性方程组,只含有一个向量，它小于 的维数n（1）.,
