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1、自 动 控 制 原 理,2011年11月,唐 求 电气与信息工程学院,离散系统的基本概念,7-1,信号的采样与保持,7-2,Z变换理论,3,离散系统的数学模型,4,7-3,7-4,离散系统的稳定性与稳态误差,4,7-5,离散系统的动态性能分析,4,7-6,第七章 线性离散系统的分析与校正,一、基本概念,控制系统中所有信号都是时间变量的连续函数。,控制系统中有一处或几处信号是一串脉冲或数码。,1、连续系统：,2、离散系统：,3、采样控制系统：,系统中的离散信号是脉冲序列形式的离散系统，也称脉冲控制系统。,4、数字控制系统：,系统中的离散信号是数字序列形式的离散系统，又称计算机控制系统。,7-1
2、离散系统的基本概念,二、采样控制系统,在有规律的时间间隔上，取得离散信息。,信息之间的间隔是时变的，或随机的。,7-1 离散系统的基本概念,1、信号采样,在采样控制系统中，把连续信号转变为脉冲序列的过程称为采样过程，简称采样。,实现采样的装置称为采样器，或称采样开关。,2、信号复现,在采样控制系统中，把脉冲序列转变为连续信号的过程称为信号复现过程。,实现复现过程的装置称为保持器。,最简单的保持器是零阶保持器。,7-1 离散系统的基本概念,系统中如果用计算机来代替脉冲控制器，实现对偏差信号的处理，就构成了数字控制系统，也称为计算机控制系统。,数字控制系统结构图,系统中的A/D转换器相当于一个采样
3、开关，D/A转换器相当于一个保持器。,三、数字控制系统,7-1 离散系统的基本概念,三、数字控制系统,7-1 离散系统的基本概念,四、离散控制系统的特点,1、由数学计算机构成的数字校正装置，控制规律由软件实现，因此，与连续式控制装置相比，控制规律修改调整方便，控制灵活。,2、采样信号，特别是数字信号的传递可以有效地抑制噪声，人而提高了系统的抗干扰能力。,3、可以采用高灵敏度的控制元件，提高系统的控制精度。,4、可用一台计算机分时控制若干个系统，提高了设备利用率，经济性好。,五、离散控制系统的研究方法,z变换法,状态空间分析法,7-1 离散系统的基本概念,一、采样过程与采样定理,二、信号的保持,
4、7-2 信号的采样与保持,采样开关每次闭合的时间为,1、连续信号的采样过程：,一般T,一、采样过程与采样定理,7-2 信号的采样与保持,2采样函数的数学表示,通过采样开关，将连续信号转变成离散信号。采样过程为理想脉冲序列T(t) 对e(t)幅值的调制过程。,t 0 时，e(t) = 0,则,=e(0 )(t )+e(T)(t -T)+e(2T)(t -2T)+ ,采样过程如图所示：,7-2 信号的采样与保持,（1）、采样信号的拉氏变换,对e*(t)进行拉氏变换，可得,根据拉氏变换的位移定理，有,所以，采样信号的拉氏变换为,7-2 信号的采样与保持,（2）、采样信号的频谱,理想单位脉冲序列T(t
5、) 是一个周期函数，可以展开成如下傅氏级数形式：,上式两边取拉氏变换，由拉氏变换的复数位移定理，可得,7-2 信号的采样与保持,其中，E( j )是连续信号e(t)的傅氏变换。,一般，连续信号e(t)的频谱E( j )是单一的连续频谱，如图所示。,m ：频谱E( j )中的最高角频率。,令s=j ，可得采样信号e*(t)的傅氏变换,7-2 信号的采样与保持,可见，采样信号e*(t)的频谱E( j )是以采样角频率s为周期的无穷多个频谱之和。,其中，n=0的频谱是采样频谱的主分量，如曲线1所示，与连续频谱E ( j )形状一致，幅值上变化了1/T倍。,其余频谱（n=1, 2, ）是采样频谱的补分
6、量。,7-2 信号的采样与保持,可见，当s 1,7-3 Z 变换理论,= 1+ eaT z-1 + e2aT z-2 + e3aTz-3 + ,| ze at | 1,（2）指数函数,f (t) = e at,（3）单位脉冲函数,f (t)=(t ),f (kT)=(kT ),f (kT)= e akT,7-3 Z 变换理论,（4）单位斜坡函数,f (t) = t f (kT) = kT,= Tz-1 + 2Tz-2 + 3Tz-3 + ,| z | 1,7-3 Z 变换理论,（5）正弦函数,f (t)=cost,同理：,7-3 Z 变换理论,2部分分式展开法,pi 极点,如果已知连续函数f(
7、t)的拉氏变换为F(s) ，则可将F(s)展开成部分分式之和的形式，然后求F(z)。,设,nm,Ai 待定系数,基于,得,7-3 Z 变换理论,例 求F(s)的z变换F(z)。,解：,7-3 Z 变换理论,解：,例 求F(s)的z变换F(z)。,7-3 Z 变换理论,3留数计算法,已知连续函数f (t) 的拉氏变换F (s)及其全部极点pi ,F(z)可由留数计算公式求得:,式中 ：,ri 为s=pi 的重极点数,7-3 Z 变换理论,解：,例 求F(s)的z变换F(z)。,7-3 Z 变换理论,三、Z变换的基本定理,1. 线性定理,a1和a2为常数,2实数位移定理,z变换的基本定理为z变换的
8、运算提供了方便。,Za1 f1(t) a2 f2(t) = a1 F1(z) a2 F2(z),Z f (t kT ) = z kF(z),求Z t T ,Z t T = Z t z -1,例,解 ：,7-3 Z 变换理论,3超前定理,例 求1(t-2T)的Z变换,解：,4复数位移定理,例 求te-at 的Z 变换。,解：,5初值定理,6终值定理,7-3 Z 变换理论,四、Z 反变换,Z 反变换：,记作,从函数F(z)求出原函数f*(t)的过程,Z -1 F (z) = f * (t),由于F(z)只含有连续函数f(t)在采样时刻的信息，因而通过z反变换只能求得连续函数在采样时刻的数值。求反变
9、换一般有两种方法。,7-3 Z 变换理论,可知：,得：,按Z-1的升幂级数展开，即,1长除法,(m n),设,F (z)=c0+c1z1+c2z 2+ ,f (0) = c0 , f (T ) = c1 , f (2T ) = c2 , ,f * (t)=c0(t)+c1(t T)+c2(t2T)+ ,7-3 Z 变换理论,例 求F(z)反变换f*(t) 。,解：,用F(z)的分子除以分母，得,f *(t)=(t)+(t T)+(t 2T)+ ,7-3 Z 变换理论,例 求F(z)反变换f*(t) 。,解：,ZF (s)=(t-T)-3(t-2T),+7(t-3T)-15(t-4T)+ ,7-
10、3 Z 变换理论,2部分分式法,先将F(z)/z展开为部分分式，再把展开式的每一项都乘上Z后，分别求Z反变换并求和。,例 求F(z)反变换f*(t) 。,解：,即,f (kT)=1 0.5k,k = 0,1,2 ,f * (t) = f (0)(t)+ f (T)(t T ),+f(2T)(t 2T)+ ,则,7-3 Z 变换理论,例 求F(z)反变换f*(t) 。,解:,f (kT)=1e-akT,k = 0,1,2 ,7-3 Z 变换理论,3留数计算法,已知函数F (z)及其全部极点pi ,可由留数计算公式求z反变换:,式中 ：,ri 为z=pi 的重极点数,7-3 Z 变换理论,例 求F
11、(s)的z变换F(z)。,解：,=4(0.5k -1)+2k,7-3 Z 变换理论,一、离散系统的数学定义,在离散时间系统理论中，所涉及的数字信号总是以序列的形式出现，即,输入序列：,输出序列：,离散系统：,将输入序列变换为输出序列的一种变换关系。,记作,这里，r(n)和c(n)可以理解为t=nT 时，系统的输入序列r(nT)和输出序列c(nT)，T为采样周期。,7-4 离散系统的数学模型,1、线性离散系统：,满足线性叠加原理的离散系统，即下列关系成立：,2、线性定常离散系统：,输入与输出关系不随时间而改变的线性离散系统。,线性定常离散系统可用线性定常（常系数）差分方程描述。,7-4 离散系统
12、的数学模型,二、线性常系数差分方程及其解法,对于一般的线性定常离散系统，k 时刻的输出c(k),1）与k 时刻的输入r(k)有关；,2）与k 时刻以前的输入r(k-1)、r(k-2) 、有关；,3）与k 时刻以前的输出c(k-1)、c(k-2)、有关。,1、数学描述：,上式亦可表示为：,式中，ai (i=1, 2, , n)和bj (j=0, 1, , m)为常系数，mn。,1）用n阶后向差分方程来描述：,7-4 离散系统的数学模型,2）用n阶前向差分方程来描述：,上式亦可表示为：,式中，ai (i=1, 2, , n)和bj (j=0, 12, , m)为常系数，mn。,2、差分方程的解法：,1）迭代法,若已知差分方程，且给定输出序列的初值，则可以利用递推关系，在计算机上一步一步地算出输出序列。,7-4 离散系统的数学模型,例：已知差分方程,输入序列r(k)=1，初始条件c(0)=0，c(1)=1，试用迭代法求输出序列c(k)，k=0, 1, 2, , 10。,解：根据初始条件及递推关系，得,7-4 离散系统的数学模型,2）z变换法,对差分方程两边取z变换，并利用z变换的实数位移定理，得到以z为变量的代数方程，然后对代数方程的解C(z)取z反变换，求得输出序列c(k)。,
