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1、奥赛典型例题,分析(力学守恒律),2,3,例1 解：因为F的大小未知，所以不能直接用F来求功. 但可利用动能定理来求.,对于小球从AB过程，据动能定理得,故,其中重力的功为,因为摩擦力是变力，所以，本题的关键是如何求出摩擦力的功Af . 下面利用对称性来求.,4,故,5,是临界角.,如图1所示，小球从A运动到C的过程，与环外壁接触，有摩擦力作用；从C运动到B的过程，小球与环内壁接触，无摩擦力作用. 在C点处，N0.,为计算摩擦力的功，考察一微小过程（如图2所示）.,此过程摩擦力的功为,6,因为C点到y轴的距离为,所以，从AC过程有,从CB过程没有摩擦力.,所以，从AB过程拉力F的功为,7,(2
2、)若 ，则不存在N0的临界点，小球始终与环外壁接触，且始终受到摩擦力的作用.故有,于是，从A到B过程，拉力F做的功为,8,2. 如图2所示，质量分布均匀的细链，长为L10m，质量为10kg，其一端系于天花板的P点处，人提着另一端，P、Q两点的高度差为h =2m，设人的提拉力F100N，试求天花板对细链的作用力.,9,例2 解: (虚似法)由于细链挂在竖直平面内，且没有对称性，所以无法用力的平衡方法求解.但可以作如下情景虚似:,人将链条沿其拉力方向缓慢移动一微小位移L，在这一过程中保持链条的形状和位置不变，那么这仅仅相当于把微元L从P点移到Q点，链条的势能减少了. 据功能原理有,又,所以,10,
3、3. 足球运动员在离球门11m处罚点球，球准确地从球门的横梁下沿飞进球门. 设横梁下沿离地面的高度h=2.5m，足球的质量为m=0.5kg，不计空气阻力，那么运动员必须传递给这个足球的最小能量是多少？(19届俄罗斯中学生竞赛题),11,例3 解：,如图1所示，据勾股定理得,经整理得,因为 是一正恒量,当 时， 有最小值.,12,所以，运动员传递给这个足球的最小能量为,13,(96年13届复赛题),14,C的速度必沿CA方向，vB1=vD1,vB2=vD2.,因为绳子不可伸长，所以必有各对应质点沿相连的绳子方向的速度必须相等.,又设各条绳子给质点的冲量如图2所示.那么据动量定理有,15,由以上5
4、个方程可解得,16,于是系统的总动量大小为,方向沿CA方向,系统的总动能为,17,18,例5 解：,物体m的运动可分为三个过程：,加速下落距离d压缩弹簧变加速下落至停止反弹向上运动.,由于弹簧的k值未知，所以，物体m到达最低位置后的运动存在以下三种可能性：,第一种：不能弹回；,第二种：弹回后弹簧仍被压缩；,第三种：弹回后能脱离弹簧.,下面就这三种可能性来讨论k的取值范围:,设m运动到最低位置时，弹簧的压缩量为s，则据功能原理有,19,由此解得,显然，m下落停止后回弹的条件是,即,故,讨论:,(1)当 时，m不能弹回.,此时，代入(2)式可得： m不能弹回的条件.,20,(2)显然，当 时，m可
5、以回弹.,若m反弹至速度为零时，弹簧仍被压缩. 设此时压缩量为s1(如图3所示),由功能关系得,21,把(2)式代入可得,22,反弹高度为,这时应满足s10，否则m将脱离弹簧.,23,由s10可得,m回弹后弹簧仍有的压缩量,24,由此式及(1)式可得,把(2)代入得m的反弹高度h2为,25,当 时，反弹高度,当 时，反弹高度 （此时 ）,26,6. 如图5所示，军训中战士距墙S0处以速度v0起跳，再用脚蹬墙面一次，身体变为竖直向上的运动，以继续升高，墙面与鞋底之间的静摩擦系数为，求能使人体重心有最大总升高的起跳角.,图5,(95年12届预赛题),27,例6 解：,建立xoy坐标系，如图所示.,
6、人以角起跳，经时间t，其重心由O到达B，此时速度为v.,则有,重心升高为,在B处用脚蹬墙，利用最大静摩擦力的冲量可使人的向上动量增加：,而正压力的冲量恰好使人的水平分动量变为零.,28,由(2)、(3)式可得,蹬墙结束时，人的重心的竖直向上的速度为,于是，人以此为初速度继续升高,29,整个过程，人的重心的总升高为,因为从O到B，所用时间t为,故在B点处有,30,由以上两式可得,令,可得,31,显然，当 时，H最大，因此起跳角为,32,7. 如图6所示，A、B是静止在水平地面上完全一样的两块长木板，A的左端与B的右端相接触，两板的质量都是M2kg，长度都是l=1m，C是一质量为m=1kg的小物体
7、，现给它一初速度v02m/s，使它从B板的左端开始向右滑动，已知地面是光滑的，而C与A、B之间的动摩擦因数都是0.1，求最后A、B、C各以多大的速度做匀速运动，取 g10m/s2 .,33,例7 解：,据动量守恒定律及功能关系得,解得 x = 1.6 m l = 1.0 m,由此可知，m不可能停在B板上.,34,(2)设m刚好滑到A板时的速度为v1，A、B板的共同速度为v2 .,据动量守恒定律及功能关系得,由这两式并代入数据可得,由此可见，m进入A板后，将继续在A板上滑行.,35,(3)设m最终停在A板上，它在A板上滑行距离为y, A、C的共同速度为v3 .,据动量守恒定律及功能关系得,由这两
8、式并代入数据可得,所以，物块C最终停在A板上，与A板一起向前滑行，两者的共同速度约为0.563m/s，而B板向前滑行的速度约为0.155m/s .,36,8. 如图7所示，在长为l=1m，质量为mB=30kg的车厢B内的右壁处，放一质量为mA=20kg的小物块A（可视为质点）. 向右的水平力F120N作用于车厢B，使之从静止开始运动，测得车厢B在最初2s内移动的距离为S=5m，且在这段时间内小物块A未与车厢壁发生过碰撞. 假定车厢与地面的摩擦可忽略不计，小物块A与车厢壁的碰撞是弹性碰撞，求车厢开始运动后4s时车厢和小物块的速度.,(02年19届预赛题),37,例8 解：,先判断A与B之间是否存
9、在摩擦.,依题意，在T0=2s内A与B未发生过碰撞，因此不论A与B之间是否有相对运动，不论A与B是否有摩擦，B总是作初速度为零的匀加速直线运动（因为即使有摩擦力存在，也是恒力）. 设B的加速度为aB1,有,由此得,若A与B无摩擦，则车B向右运动5m的过程中，A应该保持静止，从而A与B必发生碰撞，但这不符合题意.,又若A与B之间的摩擦力足够大，使得A与B之间无相对运动，则B的加速度应为,38,但这与(1)式矛盾. 故A与B之间有摩擦，但又存在相对运动.以f 表示A与B之间的摩擦力大小,则对车B有,代入数据可求得,物块A会不断地与车壁相碰.,(1)A相对B向左滑动时，A的加速度大小为,方向向右,3
10、9,B的加速度大小为,方向向右,A相对B的加速度大小为,方向向左,(2)A相对B向右滑动时，A的加速度大小为,方向向左,B的加速度大小为,方向向右,A相对B的加速度大小为,方向向左,40,以B为参考系，A的运动如图2所形象表示.,A先由初速度为零，向车B左壁做加速度为a1的匀加速运动，并与左壁发生第一次碰撞. 由于碰撞是弹性的，故碰后A以原来的速率弹回，并以加速度a2向右做匀减速运动，速度减为零后，又接着以以加速度a1向左做匀加速运动，从而与B左壁作第二次碰撞，余此类推，以后A相对B做类似的运动. 由于a2a1,所以A每次与B左壁碰撞后，离开左壁的最大距离呈递减变化,故A不会与B的右壁相碰.,
11、41,设A第1、2、3 n次与B左壁相碰后相对B的速度大小分别为v1、v2、v3 vn，则有,又设A与B左壁第1次碰撞后，离开左壁的最大距离为d1,则有,由此解得,同法可求得,42,从理论上讲，A将与B左壁发生无限多次碰撞，最终A将停在B的左壁处. A从开始运动到最终停在B的左壁处所用的时间为,43,这表明t=4s时，A与B已具有相同速度，设这共同速度为v，则由动量定理得,代入数据可求得,44,9. 如图8所示，长为l、线密度为的链条由图示位置（底端距离地面为h）从静止开始下落，试求链条落下过程中地面对链条的支持力.假设落到地面处的那部分链条速度马上变为零.,45,例9 解：,用密舍尔斯基方程
12、求解,设时间t时链条上端的坐标为x，如图2所示.,此时，空中那部分链条的速度为,以已落在地面上的那部分链条为主体，它将在t 时间内俘获m的质量.,地面上的那部分链条的质量为 ，它受到重力、地面支持力N的作用，忽略m的重力. 因为地面那部分链条始终静止。没有加速度和 速度. 据密舍尔斯基方程 得,46,由以上三式可解得,显然，当全部链条刚落到地面时，x=0，此时N最大.,47,方法2：用质心运动定理,以整条链条为研究对象，其总长为l，质量为m. 因t时刻，地面上链条的质量为 ，坐标为0.,空中那部分链条的质量为 ,质心坐标为,所以整条链条的质心坐标为,于是，质心速度为,48,质心加速度为,因为,
13、故,据质心运动定理有,由以上两式可解得,49,50,由于小球与平板刚接触时，没有水平速度，故小球与平板之间必存在滑动摩擦力 ，直至接触结束或小球与平板具有相同的水平速度(此后摩擦力为静摩擦力). 设平均支持力为 ，平均滑动摩擦力为 ,平均支持力的作用时间为tN，平均滑动摩擦力的作用时间为tf .,因反弹后小球的反弹高度仍为H，故碰撞后小球竖直方向的速度大小为 ,设碰撞后小球的水平速度为v/ ，则有,51,(1)设 ，则有,由(1)、(3)式可得,因为 成立的条件是 ，即,或,那么，此时有,52,(2)设,此时，,53,11.质量都是m的两质点A和B用长为2l的不可伸长的轻绳连接，开始时A、B位
14、于同一竖直线上，且离地足够远，B在A的下方l处，在给A以一水平速度v0的同时，由静止释放B，问经过多长时间后，A与B第一次恰好位于同一水平线上?,例11 解：,因在绳子拉直前，A、B两质点在竖直方向运动的距离是相等的，故A2B1=l，因此60.,在绳子拉紧过程中，A、B之间发生相互作用，系统动量守恒. 由于在绳子拉直前，A、B两质点在竖直方向的速度相等，故在以此速度运动的参考系中，A的速度为v0,B则静止. 设相对这一参考系，绳子拉紧后A、B的速度分别为 和 ，据动量守恒得,式中 方向沿绳子，这因为绳子对B的作用力沿绳子，而 方向未知，可沿平行绳、垂直绳方向分解.,55,因绳子不可伸长，故,由
15、以上三式可解得,绳子拉紧后，A相对B做圆周运动，速度为 ， 角速度为,56,当直线A1B1转过30时，A1、B1位于同一水平线，所经历时间为,设自释放B到绳子拉直经历时间为t1,有,由此得,由释放质点B到两质点位于同一水平线上共经历的时间为,57,12.在水平地面上一质量为M的运动员手持一质量为m的物块，以速度v0沿与水平面成角的方向向前跳跃，为了能跳得更远一点，运动员可在跳远全过程中的某一位置处，沿某一方向把物块抛出，物块抛出时相对运动员的速度大小u是给定的，物块和运动员都在同一竖直平面内运动.(1)若运动员在跳远全过程中的某一时刻t0，沿与水平向后方向成某角的方向抛出物块，试求运动员从起跳到落地所经历的时间.(2)在跳远的全过程中，运动员在何处把物块沿与水平向后方向成角的方向抛出，能使自己跳得更远？若v0和u一定，那么在什么条件下可跳得更远？并求出运动员跳的最大距离. (03年20届预赛题),
