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1、第三单元 基本初等函数,知识体系,第六节 函数模型及其应用,基础梳理,1. 常见的几种函数模型(1)一次函数型 ; (2)反比例函数型 ; (3)二次函数型 ;(4)指数函数型 (增长率问题);(5)对数函数型 ;(6)幂函数型 ;(7)分段函数型.,y=kx+b(k0);,2. 对于指数函数y=ax(a1),幂函数y=xn(n0),对数函y=logax(a1),总会存在一个x0,当xx0时,有 logaxxn500时,(元), 方案B从500分钟以后,每分钟收费0.3元.(3)由图知,当0x60时,fA(x)500时,显然fB(x)293 分钟,即通话时间为293 分钟以上时,方案B才会比方
2、案A优惠.,学后反思 (1)现实生活中很多问题都是用分段函数表示的,如出租车费用、个人所得税、话费等,分段函数是刻画现实问题的重要模型.,(2)分段函数是同一个函数在不同阶段的变化规律不同的函数.要注意各段变量的范围,特别是端点值,尤其要注意.,举一反三,1.(创新题）南京市有甲，乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务 都很好，但收费方式不同。甲俱乐部每张球台每小时5元；乙俱乐 部按月计费，一个月中30小时以内（含30小时）每张球台90元， 超过30小时的部分每张球台每小时2元，小张准备下个月从这两家 俱乐部中的一家族一张球台开展活动，其活动时间不少于15小 时，也不超过40小时。 （1）设在甲俱
3、乐部租一张球台开展活动x小时的收费f(x)元 (15x40)，在乙俱乐部租一张球台开展活动x小时的收费g(x) 元(15x40)，试求f(x)和g(x);,（2）你认为校长选择哪家俱乐部比较合算？请说明理由；,解析 （1）f(x)=5x,15x40,g(x)=(2) 若15x30,且当5x=90时,x=18即当15xg(x)若3030+2x恒成立,即f(x)g(x)恒成立。综上所述，当15x18时，小张选甲俱乐部比较合算；当x=18时，两家一样合算当18x40时，小张选乙俱乐部比较合算。,题型二 二次函数模型 【例2】某商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料,根据以前的统计数据,若零售价定为每瓶
4、4元,每月可销售400瓶;若每瓶售价每降低0.05元,则可多销售40瓶.在每月的进货量当月销售完的前提下,请你给该商店设计一个方案:销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时,才可获得最大的利润? 分析 构建二次函数模型,转化为二次函数的最值问题.,解 设销售价为x元/瓶,则根据题意(销售量等于进货量),正好销售完的进货量为 ,即400(9-2x)瓶.,此时所得的利润为f(x)=400(9-2x)(x-3)=400(-2x2+15x-27). 根据函数的性质,当x=3.75时,f(x)取最大值450. 这时的进货量为400(9-2x)=400(9-23.75)=600(瓶). 所以销售价应定为每瓶
5、3.75元,以及从工厂购进600瓶时,才能获利最大. 学后反思 二次函数模型的建立可以求出函数的最值,解决实际生活中的最优化问题,但一定要注意自变量的取值范围.,举一反三 2某商场销售一种服装，购进价是每件42元，根据试装得知这种服装每天的销售量t（件）与每件的销售价x（元/件)可看成是一次函数关系：t=-3x+204 （1）写出商场卖这种服装每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系（每天的销售利润是指所卖出服装的销售价与购进价格差）；,(2）商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定位 多少？最为合适最大销售利润为多少？,解析： (1)由题意，销售利润y与每件的销售价x之间 的函数
6、关系为y=(x-42)(-3x+204),即 (2)对 配方，得 当每件的销售价为55元，可取的最大利润，每天最大 销售利润为507元。,题型三 指数模型的应用【例3】某城市2008年有人口100万,如果年增长率为1.2%,(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式; (2)10年后,该城市人口达到多少万? (3)计算大约到哪一年该市人口达120万? 分析 本题为人口增长率问题,可以通过计算每年的人口总数与年份的关系来探究出规律,建立指数型函数模型来解决.,解 (1)1年后该城市人口总数为 y=100+1001.2%=100(1+1.2%), 2年后该城市人口总数为 y=10
7、0(1+1.2%)+100(1+1.2%)1.2% =100(1+1.2%)2, 3年后该城市人口总数为y=100(1+1.2%)3, x年后该城市人口总数为 . (2)10年后,人口数为100(1+1.2%)10112.7(万人). (3)设x年后该城市人口将达到120万人, 即100(1+1.2%)x=120,=log1.0121.2015.28(年),取x=16(年). 即大约到2024年,该市人口达到120万人.,举一反三,3.一种放射性元素，最初的质量为500g，按每年10%衰减。 （1）求t年后，这种放射性元素质量w的表达式； （2）求这种放射性元素的半衰期（精确到0.1年）。,解
8、析 （1）最初的质量为500g， 经过1年，w=500(1-10%)=500 经过2年, 经过t年,(2)由题意 两边取对数，有即这种放射性元素的半衰期为6.6年,题型四 函数模型的综合应用 【例4】 （14分）某工厂有一段旧墙长14 m,现准备利用这段旧墙为一面，建造平面图形为矩形，面积为126 m2的厂房，工程条件是： (1)建1 m新墙费用为a元； (2)修1 m旧墙费用是 元； (3)拆去1 m旧墙,用所得材料建1 m新墙费用为 元，经过讨论有两种方案：利用旧墙的一段x m（x14）为矩形厂房一面的边长； 矩形厂房利用旧墙的一边边长x14,问:如何利用旧墙，即x为多少米时，建墙费用最省
9、？两种方案哪种更好？ 分析 利用旧墙为一面建立平面矩形,设此面边长为x m,则另一面边长为,解 (1)利用旧墙的一段x m(x14),则修墙费用 元,1 将剩余旧墙拆得材料建新墙费用为 元, 其余建新墙的费用为 元3 总费用当且仅当 ,即x=12 m时，ymin=35a6,(2)利用旧墙的一面，矩形边长x14,则修旧墙费用为 元,建新墙费用为 元8总费用综上所述，采用第一种方案，利用旧墙的12 m为矩形的一面边长时，建墙费用最省. 14,学后反思 本题关键在于以建墙费用为目标函数建立函数关系式，而难点在于求函数的最小值，两种方案的函数式结构表面相似，一个可用不等式求最值，另一个则必须改用单调性
10、求最值.,举一反三 4. 某公司欲投资13亿元进行项目开发,现有以下6个项目可供选择.设计一个投资方案,使投资13亿元所获利润大于1.6亿元,则应选的项目是_(只需写出项目的代号).,解析： 当投资为13亿元时,有以下两种投资选择方案: f(A,B,E)=0.55+0.4+0.9=1.85(亿元); f(B,D,E,F)=0.4+0.5+0.9+0.1=1.9(亿元). 答案： A、B、E或B、D、E、F,考点演练,10.某乡企业有一个蔬菜生产基地共有8位工人，过去每人年薪为1万 元，从今年起，计划每人每年的工资比上一年增加20%，并每年新招3 为工人，每位新工人第一年年薪为8千元，第二年开始
11、拿与老工人一 样数额的年薪，求第n年付给工人的工资总额y（万元）表示成n的函 数表达式.,解析 n年共有工人3n+8位，其中有3位新工人，3n+8-3=3n+5位 老工人，老工人的工资总额为 ， 3位新工人的工资为30.8=2.4.故n年付给工人的工资总数为,11（2009湖南）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩。经计算，一 个桥墩的工程费用为256万元；距离为米的相邻两墩之间的桥面 工程费用为 万元。假设桥墩等距离分布，所有桥 墩都视为点，且不考 虑其他因素，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元。 （1）试写出y关于x的函数关系式；
12、 （2)当m=640米时，需新建多少桥墩才能使y最小？,解析 （1）设需新建n个桥墩，则(n+1)x=m，即 所以y=f(x)=256n+(n+1),（2）由（1）知， 令 ，得 .所以x=64 当0x64时， ,f(x)在区间（0，64）内为减函 数； 当64x640时， ,f(x)在区间（64，640)内为增函 数. 所以f(x)在x=64取得最小值。此时 故需新建9个桥墩才能使最小,12.(2009济宁模拟）某厂家拟在2010年举行促销活动，经调查测 算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m 万元(m0)满足 （k为常数），如果不搞促销活动，则 该产品的年销售量只能是1
13、万件。已知2010年生产该产品的固定投 入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件 产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括 固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）。 (1)将2010年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数; (2)该厂家2010年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？,解析： （1）由题意可知当m=0时,x=1, 1=3-k,即k=2, 每件产品的销售价格为 （元）,2010年的利润,(2)当m0时， y-8+29=21，当且仅当 ，即m=3（万元）时，答：该厂家2010年的促销费用投入3万元，厂家的利润最大，最大为 21万元。,
