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1、,工程力学,第六章 超静定问题,2018年10月16日,6-1 超静定问题及其解法,6-2 拉压超静定问题,第六章 超静定问题,6-3 扭转超静定问题,6-4 弯曲超静定问题,6-1 超静定问题及其解法,1. 拉压超静定问题引例,(a),(b),图a所示静定杆系,为减小杆1、2中的内力或节点A的位移，而增加了杆3 ，构成超静定杆系(如图b) 。,此时有3个未知内力FN1 、FN2 、FN3，但只有两个独立的平衡方程 一次超静定问题。,(b),2.求解方法和步骤：,对拉压超静定问题，主要目标是求解未知的轴力。单凭静力平衡方程不能求解全部未知力，必须从变形几何相容条件、物理关系和静力学平衡条件三方
2、面入手，才可使超静定问题得以求解。, 列静力平衡方程； 根据变形几何相容条件，列变形几何相容方程； 列物理方程（拉压胡克定律） ； 代人，得到补充方程； 与联立求解，即可求出所有未知力； 按题目要求进一步求解。,解题步骤：,3. 注意事项,“多余”约束力数(超静定次数) = 补充方程数(变形几何相容条件数)，因而任何超静定问题都是可以求解的。,(1) 超静定问题求解的关键在于列出变形几何相容方程，所以除受力图外，还要画出变形图。对拉压超静定问题，同一杆是拉还是压，两图中要保持一致。,(2) 不管伸长还是缩短，变形量一律取其大小。,6-2 拉压超静定问题,例6-1 图示杆抗拉刚度EA，求杆端的支
3、反力。,解：,平衡方程：,变形几何相容方程：,一、拉压超静定问题解法,物理方程：,联解、得：,思考：如杆件下端与支座B有一微小距离，又该如何计算？,代人，得补充方程,注意：比例分配关系。,例6-2 1、2、3三杆用铰链连接如图，3杆长度和各杆刚度如图所示。求：外力P 作用下，各杆的内力。,解：,平衡方程：,（1）,变形几何方程：,A1,物理方程：,（2）,（3）,联解（1）、（2） 、（3）式得：,解答表明，各杆的轴力与其本身的刚度其它杆的刚度之比有关。,例6-3 如图所示刚性梁AB由1、2、3杆悬挂，三杆的刚度均为EA，长度均为l 。求P力作用下三杆的轴力。,解：,（1）,平衡方程,假设均受
4、拉力。,变形几何相容方程：,（2）,物理方程：,（3）,补充方程：,（4）,即,联解（1）、（4）式得：,（拉）,（拉）,（压）,此时，变形协调条件变为,注意：受力图与变形图必须一致！,L2=(L1-L3)/2,例6-4 图示结构，AB为刚性梁，1、2两杆刚度相同。 求1、2杆的受力。,平衡方程:,变形关系:,物理关系:,联立解出:,例6-5 图示为一平面桁架，各杆刚度相同。求各杆的轴力。,由对称性，有,由A点平衡,由B点平衡,变形关系：,物理关系：,由以上关系式求得：,A,B,二、装配应力和温度应力,1. 装配应力,超静定杆系(结构)由于存在“多余”约束，如果某些杆件在制造时长度存在误差，则
5、组装时各杆都要发生弹性变形，同时产生附加内力装配内力，以及相应的装配应力(预应力)。,引例：,(a),静力学关系,图a中所示杆系中，已知 E1A1= E2A2 ，E3A3 ，杆3的制造长度短了De，装配后各杆的位置将如图中虚线所示。此时，结点在A 处，杆1、2、3产生装配内力FN1、FN2、FN3(图b)，求装配内力。,变形几何相容条件,列出补充方程,联立、，可得装配内力，,(拉力）,(a),即,至于各杆横截面上的装配应力，只需将装配内力(轴力)除以杆的横截面面积即可。,由此可见，求解超静定杆系(结构)中的装配内力的关键，仍在于根据变形几何相容条件，并结合应用物理关系列出补充方程。,（压力）,
6、例题6-3 相同的钢杆1、 2，两端用刚性块连接在一起(图a)，其长度l =200 mm，直径d =10 mm。再将铜杆3(图b)装配在对称的位置(图c)，其长度为200.11 mm，截面为矩形：20 mm30 mm。试求各杆横截面上的应力。已知：钢的弹性模量E=210 GPa，铜的弹性模量E3=100 GPa。,解：1. 如图d所示，有三个未知的装配内力FN1、 FN2 、FN3，根据对称关系可判断FN1=FN2，故未知力只有二个，但只能再列出一个独立的静力平衡方程，所以为一次超静定问题。,(d),静力平衡方程,2. 变形相容条件(图c)为,Dl3 是指杆3在装配后的缩短量（大小），不带负号
7、。,3. 利用物理关系，得补充方程：,4. 将补充方程与平衡方程联立求解得：,所得结果为正，说明原先假定杆1、2的装配内力为拉力，杆3的装配内力为压力是正确的。,5. 各杆横截面上的装配应力如下：,（拉应力）,（压应力）,2 . 温度应力,由于超静定杆系存在“多余”约束，杆件因温度变化产生的伸长或缩短，会受到限制，从而产生温度内力及温度应力。,分析温度应力问题时，注意：杆的变形包括两部分： 由温度变化引起的热胀冷缩变形； 与温度内力对应的伸缩变形。,例题6-4* 两端与刚性支座连接的等截面杆(图a)，当温度升高Dt 时，试求横截面上的温度应力。已知杆的横截面面积为A，材料的弹性模量为E，线膨胀
8、系数为l。,(a),解: 1. 由平衡方程只能判断杆两端受到一对大小相等的轴向压力（约束力），但无法求出压力的大小，可见这是一次超静定问题。,2. 假想解除右端约束，杆由于温度升高而产生伸长变形；实际上，由于两端固定约束，杆件伸长变形将被阻止，杆端会受到一对压力(杆端约束力)作用。它所产生的轴向压缩变形，应该能够抵消热膨胀伸长变形，即热膨胀伸长变形和杆端约束力缩短变形应满足变形几何相容条件。,变形几何相容方程,3. 补充方程为,4. 温度内力（轴力）,5. 杆横截面上的温度应力为,若该杆为钢杆而l =1.210-5/(C)，E=210GPa，当温度升高Dt =40C 时，有,（压应力）,其结果
9、与截面积无关。,铁路上的无缝长钢轨在温度变化时由于不能自由伸缩，其横截面上会产生相当可观的温度应力。,6-3 扭转超静定问题,例题6-5 试求图示圆杆两端的支反力偶矩。,(2) 补充方程,解:(1) 静力平衡方程,(3) 联解方程(1)、(2)，得,复习:6-13 习题(P205) 6-1 预习:I-14,两种基本变形小结,轴力FN 拉为正，压为负,轴向拉压杆,三、应力,横截面上正应力,斜截面应力：,二、内力符号规定,一、外力,扭转圆轴,横截面正应力分布规律： 均匀分布,横截面上切应力,扭矩T,右手螺旋法则,横截面切应力分布规律： 垂直直径线性分布,四、材料在拉伸和压缩时的力学性能,1. 低碳
10、钢拉伸时的力学性能： 四个阶段、三个极限应力,2. 材料的力学性能特征值： 6个指标,3. 两类材料力学性能的比较： 变形强度两方面,两种基本变形小结,轴向拉压杆,五、变形,三类强刚度计算问题： 校核（105%）、设计（取整）、确定许可荷载（平衡）。,扭转圆轴,六、强度条件：,七、刚度条件：,l 段等直圆轴的扭转角：,l 段等直杆变形： 拉压胡克定律,本次课到此结束谢谢!,小 结,一、概念,超静定问题仅用静力平衡条件不能确定全部未知力的问题。,超静定次数平衡方程少于未知力的个数。,多余未知力（约束） 超过平衡方程个数的未知力(约束)。,求解超静定问题一般利用几何,物理,静力学三方面关系补充变形协调方程。,（1）列静力平衡方程；,（2）由变形几何关系和物理关系建立补充方程；,（3）联解方程求得多余约束 力，再求各截面轴力。,二、解题方法,
