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1、解三角形题型总结解三角形题型总结中的常见结论和定理：中的常见结论和定理：ABC 一、一、内角和定理及诱导公式：内角和定理及诱导公式： 1因为， ABC 所以； sin()sin,cos()cos,tan()tanABCABCABC ；sin()sin,cos()cos ,tan()tanACBACBACB sin()sin,cos()cos ,tan()tanBCABCABCA 因为,22ABC所以，sincos22ABCcossin22ABC2大边对大角3.在ABC 中，熟记并会证明 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC;(2)A、B、C 成等差数列的充要条件是 B=60；
2、(3)ABC 是正三角形的充要条件是 A、B、C 成等差数列且 a、b、c 成等比数列.二、正弦定理正弦定理：文字：在中，各边与其所对角的正弦的比值都相等。ABC符号：RCc Bb Aa2sinsinsin公式变形：(边转化成角）CRcBRbARasin2sin2sin2（角转化成边）RcCRbBRaA2sin2sin2sinCBAcbasin:sin:sin:RCc Bb Aa CBAcba2sinsinsinsinsinsin三、三、余弦定理余弦定理：文字：在中，任意一边的平方，等于另外两边的平方和，减去这两边与它们夹角的ABC 余弦值的乘积的两倍。符号： Abccbacos2222Bac
3、cabcos2222Cabbaccos2222变形： bcacbA2cos222acbcaB2cos222abcbaC2cos222四、四、面积公式面积公式：（1） （2）（其中为三角形内切圆半径）1 2aSah1()2Sr abcr（3）111sinsinsin222SabCbcAacB五、五、 常见三角形的基本类型及解法：常见三角形的基本类型及解法： （1）已知两角和一边（如已知边） , ,A Bc解法：根据内角和求出角；)(BAC根据正弦定理求出其余两边RCc Bb Aa2sinsinsin, a b（2）已知两边和夹角（如已知）Cba,解法：根据余弦定理求出边；2222coscabab
4、Cc根据余弦定理的变形求；bcacbA2cos222A根据内角和定理求角.)(CAB（3）已知三边（如：）cba,解法：根据余弦定理的变形求；bcacbA2cos222A根据余弦定理的变形求角；acbcaB2cos222B根据内角和定理求角)(BAC（4）已知两边和其中一边对角（如：）（注意讨论解的情况）Aba,解法 1：若只求第三边，用余弦定理：；2222coscababC解法 2：若不是只求第三边，先用正弦定理求（可能出现一RCc Bb Aa2sinsinsinB解，两解或无解的情况，见题型一） ；再根据内角和定理求角；.)(BAC先看一道例题：先看一道例题：例：例：在ABC中，已知030
5、, 32,6Bcb，求角 C。 （答案：或）045C0135六、六、 在在中，已知中，已知，则，则解的情况为：解的情况为：ABCAba,ABC法一：几何法（不建议使用）法一：几何法（不建议使用）（注：表中，为锐角时，若，无解；为钝角或直角时，若，无解.AAbasinAba 法二：代数法（建议使用）法二：代数法（建议使用） 通过例子说明步骤：大角对大边通过例子说明步骤：大角对大边 结合结合 正弦定理正弦定理 一起使用（见题型一）一起使用（见题型一）题型总结：题型总结： 题型一、利用题型一、利用正弦定理解决正弦定理解决“两边一对角两边一对角”的类型的类型模型：在中，已知边和角,若不是求第三边 c，
6、用正弦定理。ABCba,A例例 1：在ABC中，已知045,2, 2Aca，求C。 （答案：）030C例例 2：在ABC中，已知030, 32,6Bcb，求C。 （答案：或）045C0135例例 3：在ABC中，已知030,22, 2Bba ，求A。 （答案：无解）例例 4：（3）在ABC中，已知，求A。 （答案：一解）02,1,30abB为锐角A为钝角或直角A图形关系式AbasinbaAbsinba ba 解的 个数一解两解一解一解练习：练习：1。在中，已知解三角形。ABC060, 3,2Bba2在中，已知解三角形。ABC045, 3,23Ccb3在中，已知解三角形。ABC060, 4, 3
7、Aca题型二、利用题型二、利用正弦定理解决正弦定理解决“已知两角一边已知两角一边”的类型的类型 两角一边（两角一对边，两角一夹边）模型 1：在中，已知角和边,解三角形。ABCBA,a模型 2：在中，已知角和边,解三角形。ABCBA,c用正弦定理 例题：例题 1：在中，已知解三角形。ABC2,45,3000aBA解析：根据三角形内角和定理，得，再根据正弦000010575180)(180BAC定理，得，再根据余弦定理Bb Aa sinsin2221222sinsin ABab，Cabbaccos2222得，所以2022262348105cos2222222（c62 c综上：。62,22,1050
8、cbC例题 2：在中，已知解三角形。ABC32,45,7500aCB解析：根据三角形内角和定理，得，再根据正弦000060120180)(180CBA定理，得，再根据正弦定理Bb Aa sinsin622346232sinsin ABab，得。综上，Cc Aa sinsin22232232sinsin ACac。22,62,600cbA练习：1 在中，已知解三角形。ABC4,15,6000cCB2 在中，已知解三角形。ABC6,60,4500bCA题型三、利用余弦定理解决题型三、利用余弦定理解决“已知两边一夹角已知两边一夹角”的类型的类型模型：在中，已知边和角,解三角形。用余弦定理ABCba,
9、C例题 1：在中，已知解三角形。ABC060, 2, 1Cba解析：根据余弦定理，得，Cabbaccos222232121221222c所以，再根据余弦定理，得，3c03122-31 2cos222222 （ acbcaB又因为 ，所以，001800 B090B再根据内角和定理，得。000030150180)(180CBA综上，。3,90,3000cBA练习：1 在中，已知解三角形。ABC060, 2, 4Cba题型四、利用余弦定理解决题型四、利用余弦定理解决“已知三边已知三边”的类型的类型模型：已知边解三角形。根据余弦定理，cba,bcacbA2cos222，分别求得角（或根据内角和定理求a
10、cbcaB2cos222abcbaC2cos222CBA,得角)。C例题 1：在中，已知解三角形。ABC32, 4, 2cba解析：根据余弦定理，得，又因为23 32422-324 2cos222222 （ bcacbA，所以，再根据余弦定理，001800 A030A得，又,所以,032224-322 2cos222222 （ acbcaB001800 B090B再根据三角形内角和定理，得。000060120180)(180BAC综上，。00060,9030CBA（练习：1 在中，已知解三角形。ABC226, 3,2cba题型五、利用余弦定理解决题型五、利用余弦定理解决“已知两边一对角已知两边
11、一对角”的类型的类型模型：在中，已知边和角,若只求第三边 c，用余弦定理。ABCba,A模型： 在中，已知边和角,若不是只求第三边 c，用正弦定理。ABCba,A例题：例题 1：在中，已知，求边 b。ABC045,2, 2Aca解析：根据余弦定理，得，Abccbacos2222022245cos2222bb（既，解得或（舍去） ，0222 bb31b31b练习：在ABC中，已知030, 32,6Bcb，求边 a。 （答案：）33a 题型六、题型六、三角形面积三角形面积例 1在中，求的值和的面ABCsincosAA2 2AC 23ABAtanABC积。解：由计算它的对偶关系式的值。sincosA
12、AsincosAAsincosAA2 221(sincos )2 12sincos2 0180 ,sin0,cos0. 1(sin2)2AAAAAAAA 另解,23cossin21)cos(sin2AAAAsincosAA6 2+得， 得。sin A 26 4cos A 26 4从而sin264tan23cos426AAA 。以下解法略去。SACABAABC1 21 22326 43 426sin()练习 1在ABC中,角A,B,C对应的边分别是a,b,c.已知cos23cos1ABC.(I)求角A的大小;(II)若ABC的面积5 3S ,5b ,求sinsinBC的值.解:(I)由已知条件得
13、:cos23cos1AA 22cos3cos20AA,解得1cos2A,角60A (II)1sin5 32SbcA4c,由余弦定理得:221a ,222228sinaRA 25sinsin47bcBCR 练习 2. 已知的周长为，且ABC21sinsin2sinABC（I）求边的长；（II）若的面积为，求角的度数ABABC1sin6CC解：（I）由题意及正弦定理，得，21ABBCAC2BCACAB两式相减，得1AB （II）由的面积，得，ABC11sinsin26BC ACCCAA1 3BC AC A由余弦定理，得，222 cos2ACBCABCAC BCA22()21 22ACBCAC BC
14、AB AC BCA A所以60C 练习 3在中，内角对边的边长分别是，已知，ABCABC，abc，2c 3C（）若的面积等于，求；ABC3ab，（）若，求的面积sinsin()2sin2CBAAABC解：（）由余弦定理及已知条件得，224abab又因为的面积等于，所以，得ABC31sin32abC 4ab 联立方程组解得，224 4abab ab， ，2a 2b （）由题意得，sin()sin()4sincosBABAAA即，sincos2sincosBAAA当时，cos0A 2A6B4 3 3a 2 3 3b 当时，得，由正弦定理得，cos0A sin2sinBA2ba联立方程组解得，224 2abab ba， ，2 3 3a 4 3 3b 所以的面积ABC12 3sin23SabC题型七：看到题型七：看到 “a2 = b2+c2bc”想到余弦定理想到余弦定理例 1：在ABC 中，a、b、c 分别是A、B、C 的对边长，已知，2bac且 a2c2=acbc，求A 的大小及的值。cBbsin分析：
