《函数的数值逼近v》由会员分享，可在线阅读，更多相关《函数的数值逼近v（83页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1,第四章 函数的数值逼近,代数多项式插值 分段插值与保形插值 样条函数插值 曲线拟合的最小二乘方法 函数的最佳平方逼近,2,教学要求了解插值和曲线拟合方法的思路掌握插值和曲线拟合及误差分析方法能编程实现插值和拟合算法；,引 言,一、函数的工程化表达,对于很多实际工程计算问题，函数是通过实验或观测得到的，表达形式上为函数表，无解析表达形式。 2.虽然有些函数存在解析的表达式，但形式过于复杂而不易使用，通常也会造一个函数表。(例如：大家熟悉的三角函数表，对数表，平方根表，立方根表。),需求：为了研究函数的变化规律，往往需要求出不在表上的函数值。,解决方法：用易于计算的简单函数近似 函数表和复杂函
2、数。,1、设函数y=(x)在区间a,b上有定义，且已知(x)在点,上的值为 ，若存在一简单函数 ,使得,成立，就称 为 的插值函数，点 称为插值节点,包含插值节点的区间a, b称为插值区间，求解函数 的方法称为插值法。 2、若作一条指定类型的曲线，使该曲线能在“一定意义”下逼近这一族数据，这是所谓的曲线拟合问题。,用曲线 g (x)来近似 f (x) ，以此计算x点值,二维插值前,二维插值后,若 是次数不超过n的代数多项式，即,其中 为实数，就称 为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值。如果 为分段的多项式，就是分段插值，若 为三角多项式，就称为三角插值。,研究问题：,（1）满足插值条件的P
3、(x) 是否存在唯一？,（2）若满足插值条件的P(x) 存在，如何构造P(x)？,（3）如何估计用P (x)近似替代 f ( x) 产生的误差？,4.1 代数多项式插值,由(1)式可得,(2),设 是 的插值多项式， 表示次数不超过n的所有多项式的集合。且 。称插值多项式存在且唯一，就是指在 中有且仅有一个 满足(1)式。,插值多项式的唯一性 方程组(2)有唯一解,（1）满足插值条件的P(x) 是否存在唯一？,即，证明：,上式称为范德蒙(Vandermonde)行列式,范德蒙行列式的性质：,由于 时， ，故,定理1 满足条件 (1) 的插值多项式存在且唯一。,y0 x,的几何意义,1. 线性插
4、值(n =1),设已知区间 端点处的函数 值 ，求线 性插值多项式 ，使其满足,过两点 (xk , yk) 与(xk+1, yk+1) 的直线,（2）若满足插值条件的P(x) 存在，如何构造P(x)？,或,L1(x)是两个线性函数的线性组合,称为节点上的 线性插值基函数,可以把 的表达式写为,满足,线性插值基函数,2. 抛物插值法 (n =2 时的二次插值),设插值节点为： ,求二次插值多项式 ，使得,先求 插值基函数l k-1(x), l k (x), l k+1(x), 且在节点满足,的几何意义，- 过三点 的曲线。,插值多项式,L2(x)是三个二次函数的线性组合,3 拉格朗日多项式插值(
5、n 次),基函数必须满足：,拉格朗日插值多项式,与 有关，而与 无关,节点,f,问题：这种插值得到的 近似 的截断误差如何？,截断误差：,这个截断误差也被称为插值多项式的余项。,为理论上分析方便，我们引入记号：,它的一阶导数：,拉格朗日插值基函数也可以写成：,（3）如何估计用P (x)近似替代 f ( x) 产生的误差？, 4.2 多项式差值的进一步分析,定理 设 在a, b上连续， 在(a, b)内存在，节点 ， 是节点上的插值多项式，则对于任何 ，插值余项为,证明：,由给定条件知 在节点 上为零，即 ，于是,其中 是与 x 有关的待定系数。,现在把 x 看成a, b上一个固定点，作函数,根
6、据插值条件及余项定义，可知 在点 及 x 处均为零，故 在a, b上有n+2 个零点，根据罗尔(Rolle)定理， 在 的两个零点之间至少有一个零点。故 在a, b内至少有n+1个零点。对 再应用罗尔定理，可知 在a, b内至少有 n 个零点。 依次类推， 在 a, b 内至少有一个零点，记为 ，使,于是,将它带入原式，得到余项表达式。,解：,n = 1,分别利用x0, x1 以及 x1, x2 计算,利用,这里,而,sin 50 = 0.7660444,外推 /* extrapolation */ 的实际误差 0.01001,利用,内插 /* interpolation */ 的实际误差 0
7、.00596,内插通常优于外推。选择要计算的 x 所在的区间的端点，插值效果较好。,n = 2,sin 50 = 0.7660444,2次插值的实际误差 0.00061,高次插值通常优于低次插值,但绝对不是次数越高就越好，嘿嘿, 4.3 分段低次插值与保形插值,例：在5, 5上考察 的Ln(x)。取,n 越大， 端点附近抖动 越大，称为 Runge 现象,尽量充分利用已有的信息,插值多项式的次数不能持续 无限制的增大&Runge现象,矛盾,低次分段插值,实际上, 很少采用高于7次的插值多项式,分段线性插值：,所谓分段线性插值就是通过插值点用折线连接起来逼近f（x）, 分段线性插值,在每个区间
8、上，用1阶多项式 (直线) 逼近 f (x):,为什么前面分析的分段线性插值完全没有光滑性呢？,解决方法：不仅令插值函数在节点上与原函数值相等，还令其导数值也相等，甚至要求高阶导数值也相等。,原因之一是插值函数的导数没能逼近原来函数的导数。,厄密插值多项式法,我们一般只考虑一阶导数的情况，以及函数值与导数值个数相等的情况。,已知节点 及在其上的函数表及导数表,要求插值多项式 满足条件,分析：,这里给出了2n+2个条件，可唯一确定一个次数不超过2n+1的多项式，其形式为,2n+2个系数呢？,问题：,分析：,直接根据 来确定这些,系数显然非常复杂。,如何确定 中这,仍然采用求拉格朗日插值多项式的基
9、函数方法。,令插值基函数为 及 共2n+2个，每一个基函数都是2n+1次多项式，且满足条件,于是，插值多项式 ，可以写成 用插值基函数表示的形式,求,求,求解,其中 为拉格朗日基函数，c，d 为待定系数,令,？,由,得：,取对数,求导,故：,求解,其中 为拉格朗日基函数，e，f 为待定系数,令,？,同理代入：,得：,设有 及 都是厄密插值问题的解。,证明厄密插值的唯一性。,证明：,那么 为次数 的多项式，且满足条件：,这说明,都是,的二重零点，即,共有2n+2个零点。,即 ，,n次方程最多有n个零点。,为Hermite插值多项式，,则,定理 (Hermite插值余项),证明与拉格朗日余项公式证
10、明类似.,问题：已知 ，函数表及导数表,分段三次厄密插值(保形插值),对于每个小区间 求3次多项式 使其满足插值条件,这种插值即为分段三次厄密插值，也叫保形插值。,存在且唯一，具体表达式：,高次插值出现龙格现象,分段插值,但分段线性插值在节点处不一定光滑,分段Hermite插值,但导数值不容易提取（找到）,三次样条插值（不需要每点的导数值，并满足二阶 光滑的工程需求）,发展背景, 4.4 三次样条插值 (Cubic spline interpolation),前面讨论的分段低次插值函数都有一致收敛性，但光滑性较差，对于像高速飞机的机翼形线，船体放样等型值线往往要求有二阶光滑度，即有二阶连续导数
11、。,问题：,早期工程师制图时，把富有弹性的细长木条(样条)用压铁固定在样点上，在其他地方让它自由弯曲，然后画下长条的曲线，成为样条曲线。它实际上是由分段三次曲线并接而成，在连接点即样点上要求二阶导数连续。,解决方案：,数学定义：,若函数 ,且在每个小区间 上是三次多项式，其中 是给定节点，则称是节点 上的三次样条函数。若在节点 给定函数值 ，并成立则称 为三次样条插值函数。,分析：,因 在 上是3次多项式，即为,4n个待定系数:,共有 个条件,常见边界条件有三种：,三次样条插值函数的构造(三转角方程),现在构造满足插值条件及加上相应边界条件的三次样条函数 S(x)的表达式。若假设 在节点 处的值为，仿分段三次厄密插值公式，可得：,为求出 ，考虑S(x)在 上的表达式：,(首先令 ),对S(x)求二次导数得,同理可得 在 上的表达式：,(首先令 ),由条件,可得：,式子两边除以,令,有,说明：,(b) 上式有n-1个方程,要确定n+1个未知量,缺少两个方程,由边界条件补足.,方程组成的方程组. mj( j=0,1,n)在力学上叫做细梁 xj( j=0,1,n)处的转角，数学上叫做变化率。上式反映了mj与mj-1,mj+1的关系,因此叫做三转角方程。,的n-1个,( a ) 上式是关于n+1个未知量,
