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1、,一、曲线积分与路径无关的定义,B,A,如果在区域G内有,二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件,定理2.设G是单连通域 ,在G内,具有一阶连续偏导数,(1) 沿G 中任意光滑闭曲线 L , 有,(2) 对G 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分,(3),(4) 在 G 内每一点都有,与路径无关, 只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等价:,在 G 内是某一函数,的全微分,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为,证明: (1) (2),设,为G内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲,线,则,(根据条件(1),定理2 目录 上页 下页 返回 结束,证明
2、: (2) (3),在G内取定点,因曲线积分,则,同理可证,因此有,和任一点B( x, y ),与路径无关,有函数,定理2 目录 上页 下页 返回 结束,证明: (3) (4),设存在函数 u ( x , y ) 使得,则,P, Q 在 G 内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有,定理2 目录 上页 下页 返回 结束,证明: (4) (1),设L为G中任一分段光滑闭曲线,(如图) ,利用格林公式 , 得,所围区域为,证毕,定理2 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,根据定理2 , 若在某区域内,则,2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:,及动点,或,则原函数为,若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;,取定点,1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;,定理2 目录 上页 下页 返回 结束,解,解,例3. 验证,是某个函数的全微分,并求,出这个函数.,证: 设,则,由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使,。,。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 验证,在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函,数,并求出它.,证: 令,则,由定理 2 可知存在原函数,三、小结,与路径无关的四个等价命题,条件,等 价 命 题,练 习 题,练习题答案,
