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1、1,第四节 随机变量的函数的分布,很多实际问题常常要用以随机变量为自变量的函数来描述, 当这个函数满足一定的条件时, 它也是随机变量。,一般, 假定 X 或 ( X, Y ) 是已知分布的随机变量, g(x) 或 G(x, y) 是实值的一元或二元函数, 当 g(X) 或 G( X, Y ) 是随机变量时, 希望通过已知的 X 或 ( X, Y ) 的分布去确定 g(X) 或 G( X, Y ) 的分布。,2,1. 离散型随机变量的函数的分布律,当X 或 ( X, Y ) 是离散型随机变量时,它们的函数仍然是离散型的随机变量。,例1. 设随机变量 X 具有分布律,求: Y = 2X 以及 Z
2、= sin X 的分布律。,3,解. 首先由 X 的可能取值确定 Y 及 Z 的取值:,X,Y = 2X,Z = sin X,1 0 1 0,得到随机变量函数 Y 及 Z的分布律为:,4,5,例2. 设随机变量 ( X, Y ) 具有联合分布律:,求: Z = X+Y 的分布律。,6,解. 对应于 X, Y 取值的 Z = X+Y 的值是,1,0,1,1,2,3,得到 Z 的分布律为,7,记 Z = g(X) 或 Z = G( X, Y ), 求 Z 的分布律的一般步骤是：,(1) 确定 Z 的所有可能取值 zk, k = 1, 2, ;,(2) 计算概率值 P Z = zk , 有如下公式,
3、zk = g(xi) 或 G(xi, yj),8, 当Z = g(X) 时,9,当随机变量取整数值时, 可以得到如下更具体的公式:,设离散型随机变量 X、Y 的可能取值是 0, 1, 2, 则 X+Y 的分布律是,如果 X,Y 相互独立 还有,k = 0, 1, 2, ,10,例3. 设随机变量 X、Y 相互独立, 均服从泊松分布, X P(1) , Y P(2) , 证明: X+Y P(1+2),证: X、Y 的可能取值都是0, 1, 2, ,于是 X+Y 的可能取值也是0, 1, 2, 并且,11,所以, X+Y P(1+2) 。,C,i k,12,例3 的结论称为泊松分布具有 “再生性”
4、。还可以证明,二项分布也具有再生性,设 X、Y 相互独立, X B ( n1, p ), Y B ( n2, p ), 则有 X +Y B ( n1+n2, p )。,从二项分布的直观背景也可解释其再生性。而且, 利用数学归纳法, 还可以得到如下的重要结论。,13, 设随机变量 X1, X2, , Xn 相互独立, 均服从同样的 (0-1) 分布, 即 B( 1, p), 则 X1+X2+ +Xn B( n, p),直观上, 考虑 n 重贝努里试验, 以 Xi 表示第 i 次试验时事件 A 的发生次数, 则X1+X2+ +Xn 就是n 重贝努里试验中事件A 发生的次数, 服从 B( n, p)
5、。,14,2. 连续型随机变量的函数的分布,当X 或 ( X, Y ) 是连续型随机变量, 它们的函数 g(X) 或 G( X, Y ) 可以是连续型随机变量, 也可以是离散型随机变量。,15,解. X1, X2 的可能取值都是 0, 1; Y 的概率密度是,于是 PXk= 0= PYk =,exdx = 1 ek,PXk= 1= PY k =,exdx = ek,16,再求出(X1, X2)的联合分布律,因为,P X1= 0, X2= 0 = PY1, Y2 ,1 e1,P X1= 0, X2= 1 = PY1, Y2 ,0,P X1= 1, X2= 0 = P 1Y2 ,e1 e2,P X
6、1= 1, X2= 1 = PY1, Y2 ,e2,17,像例4 这种连续型随机变量的函数是离散型随机变量的题目, 其核心的运算是利用概率密度计算概率。,下面要解决的主要问题是:,当 g(X) 或 G( X, Y ) 为连续型随机变量时, 由 X 或 ( X, Y ) 的概率密度去确定g(X) 或 G( X, Y ) 的概率密度。,18,例5. 已知随机变量 X 的概率密度为连续函数 fX (x) , 求: Y = X 2 的概率密度 fY ( y)。,求解思路: 首先确定分布函数, 然后确定概率密度。,解. FY (y) = PYy = P X 2y , 有,当 y0 时, FY (y) =
7、 0;, Y = g(X) 的概率密度,19,当y 0 时,对分布函数 FY (y) 求导, 即得到,20,一般的, Y = g(X) 时,FY (y) = PYy = P g(X)y ,求解的关键,解决问题 的出发点,想办法将不等式 “ g(X)y ” 等价转换为关于 X 的不等式 “ X ” , 再利用 X 的概率密度求出所需结果。,当函数 g(x) 满足一定条件时, 上述等价转换比较容易实现。比如, g(x) 为单调函数时, 有如下的公式:,21,当 g(x) 为单调递增函数, g(X)y , Xg 1(y) ,反函数,此时, FY (y) = FX g 1(y) ,当 g(x) 为单调
8、递减函数, g(X)y , Xg 1(y) ,-此时, FY (y) = 1FX g 1(y) ,22,例6. 已知随机变量 X 的概率密度为连续函数 fX (x) , 求: Y = a X+ b (a0) 的概率密度 fY ( y)。,解. 当a0 时,当a0 时,23,对 y 求导得到,24,由 的结论, 可得到一个重要性质:,例6,例7. 设随机变量 X N(, 2), 则 X 的线性函数Y = a X+ b (a0) 服从正态分布 N(a +b, a 2 2)。,所以, Y N(a +b, a 2 2)。,解:,25,特别地,此时, Y 服从标准正态分布 N(0, 1)。,标准化 变换
9、,结论: 正态分布的线性函数仍然服从正态分布; 任意的正态分布可以通过标准化变换, 变成标准正态分布。,26, Z = G( X, Y )的概率密度,设 ( X, Y ) 的联合概率密度为 f (x, y),求解的出发点是,FZ (z) = P Zz = P G( X, Y )z ,27,注: 如果能将不等式 G( X, Y )z 等价转换为关于 X, Y 的不等式 X和 Y, 则剩下的工作将不太困难。,例8. 设随机变量X1, X2, , Xn 相互独立, 服从同样的区间(0, a) 上的均匀分布, 求,(1) max( X1, X2, ,Xn )的概率密度 fmax(z);,(2) min
10、( X1, X2, ,Xn )的概率密度 fmin(z);,28,解. (1) 设 X1, X2, , Xn 的分布函数和概率密度分别为FX(x)与fX(x), 有 Fmax(z) = P max( X1, X2, , Xn )z ,= P X1z, X2z, , Xnz ,= P X1z P X2z P Xnz,= FX(z) n,于是 fmax(z) = n FX(z)n1 fX(z),随机变量 极大值分布 计算公式,29,因为X1, X2, , Xn 服从区间(0, a) 上的均匀分布, 有,因此,30,(2) 类似地, 有,Fmin(z) = P min( X1, X2, , Xn )
11、z ,= 1P min( X1, X2, , Xn ) z ,= 1P X1 z, X2 z, , Xn z ,= 1PX1 z PX2 z PXn z ,= 1 1FX(z) n,于是,fmin(z) = n 1FX(z) n1 fX(z),随机变量 极小值分布 计算公式,31,因此得到,计算 Z = G( X, Y )的概率密度, 更多的时候是由 通过积分运算而得到。,公式,32,随机变量之和的分布,设随机变量 ( X, Y ) 的联合概率密度为 f (x, y), Z = X+Y , 则有,FZ(z) = P X+Yz ,如图所示,x+y = z,x,y,o,33,变换, 令 x = u
12、y, 则,34,于是 FZ(z) =,=,由连续型随机变量定义 FZ(z) =,得到,fZ (z) =,35,作积分变量替换, 令 y = ux, 然后可得到,fZ (z) =,当随机变量X, Y 相互独立时, 上述两 个公式变化为,36,fZ (z) =,或者,fZ (z) =,这两个公式又称为卷积公式。,利用卷积公式, 可以证明,37,正态分布具有再生性,设随机变量X, Y 相互独立, 并且X N (1, 12) , Y N (2, 22) 则有 X +Y N (1 + 2, 12 + 22 ) 。,38,例9. 设随机变量X, Y 相互独立, 均服从区间 (a, b) 上的均匀分布, 求: Z = X+Y 的概率密度 fZ (z)。,解: 由卷积公式, 有,由于,39,因此, 被积函数 fX(x) fY(zx) 当不等式 a x b 与 a zx 0 与 y 0 同时成立时不为0, 否则均为 0; 满足这个 条件的是 y 0 且 z 0。于是,当 z0 时, fZ (z) = 0; 当 z 0 时,50,即得到,
