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1、第八章 组 合 变 形,Chapter8 Combined deformation,材料力学,Mechanics of Materials,第八章 组合变形 （Combined deformation),组合变形,一、组合变形的概念(Concepts of combined deformation)构件在荷载作用下发生两种或两种以上的基本变形,则构件的变形称为组合变形。,二、解决组合变形问题的基本方法叠加法 (Basic method for sloving combined deformation-superposition method),叠加原理的成立要求：内力，应力，应变，变形等与 外
2、力之间成线性关系。,8-1 组合变形和叠加原理(Combined deformation and superposition method),三、工程实例 (Engineering examples),1、外力分析(Analysis of external force）将外力简化并沿主惯性轴分解，将组合变形分解为基 本变形,使之每个力(或力偶)对应一种基本变形,3、应力分析(Stress analysis) 画出危险截面的应力分布图，利用 叠加原理 将基本变形下的应力和变形叠加, 建立危险点的强度条件,四、处理组合变形的基本方法( Basic method for solving combin
3、ed deformation),2、内力分析（Analysis of internal force ）求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确定危险截截面。分别计算在每一种基本变形下构件的应力和变形,一、受力特点 (Character of external force),杆件将发生拉伸 (压缩 ) 与弯曲组合变形,作用在杆件上的外力既有轴向拉( 压 )力，还有横向力,二、变形特点(Character of deformation),8-2 拉伸(或压缩)与弯曲的组合 (Combined axial loading and bending),F1 产生弯曲变形,F2 产生拉伸变形,Fy 产生弯
4、曲变形,Fx 产生拉伸变形,示例1,示例2,三、内力分析(Analysis of internal force),横截面上内力(Internal force on cross section),2、弯曲 ,1、拉(压) ：轴力 FN (Axial force),弯矩 MZ (Bending moment),剪力FS(shear force),因为引起的剪应力较小，故一般不考虑。,横截面上任意一点 ( z, y) 处的 正应力计算公式为,四、应力分析(Analysis of stress),1 、拉伸正应力 (Axial normal stress),2、弯曲正应力 (Bending norma
5、l stress),轴力(Axial force),所以跨中截面是杆的危险截面,F2,F2,l/2,l/2,3、危险截面的确定 (Determine the danger cross section),作内力图,弯矩(Bending moment),拉伸正应力,最大弯曲正应力,杆危险截面 下边缘各点 处上的拉应力为,4、计算危险点的应力(Calculating stress of the danger point),F2,F2,l/2,l/2,当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时，应分别建立杆件的抗拉、 抗压强度条件。,五、强度条件(Strength condition),由于危险点处的应力
6、状态仍为单向应力状态，故其强度条件为,例题1 悬臂吊车如图所示。横梁用20a工字钢制成。 其抗弯刚度 Wz = 237cm3,横截面面积 A=35.5cm2，总荷载 F= 34kN，横梁材料的许用应力为=125MPa。校核横 梁AB的强度。,F,A,C,D,1.2m,1.2m,B,30,AB杆为平面弯曲与轴向压缩组合变形,中间截面为危险截面。最大压应力发生在该截面的上边缘,解：(1) 分析AB的受力情况,F,A,C,D,1.2m,1.2m,30,B,(2) 压缩正应力,(3) 最大弯曲正应力,(4)危险点的应力,B,A,D,F,FRAy,FRAx,F,A,C,D,1.2m,1.2m,30,B,
7、例题2 小型压力机的铸铁框架如图所示。已知材料的许 用拉应力 t =30MPa ，许用压应力 c =160MPa。试按 立柱的强度确定压力机的许可压力F。,350,F,F,50,50,150,150,解：(1) 确定形心位置,A=1510-3 m2,Z0 =7.5cm,Iy = 5310cm4,计算截面对中性轴 y 的惯性矩,350,F,F,50,50,150,150,(2) 分析立柱横截面上的内力和应力,在 nn 截面上有轴力 FN及弯矩 My,n,n,350,F,F,50,50,150,150,由轴力 FN产生的拉伸正应力为,n,n,350,F,F,50,50,150,150,由弯矩 My
8、产生的最大弯曲正应力为,50,50,150,150,n,n,350,F,F,（3）叠加,在截面内侧有最大拉应力,50,50,150,150,n,n,350,F,F,在截面外侧有最大压应力,F 45.1 kN,所以取,50,50,150,150,n,n,350,F,F,例题3 正方形截面立柱的中间处开一个槽，使截面 面积为原来截面面积的一半。求开槽后立柱的的最大压 应力是原来不开槽的几倍。,F,F,1,1,未开槽前立柱为轴向压缩,解：,F,开槽后1-1是危险截面,危险截面为偏心压缩,将力 F 向1-1形心简化,例题4 矩形截面柱如图所示，F1的作用线与杆轴线重合， F2作用在 y 轴上。已知:
9、F1= F2=80kN，b=24cm , h=30cm。如 要使柱的 mm 截面只出现压应力，求 F2 的偏心距 e。,解：,(1) 外力分析 将力 F2 向截面形心简化后，梁上的外力有,轴向压力,力偶矩,F1,m,m,(2) m-m 横截面上的内力有,轴力,弯矩,轴力产生压应力,弯矩产生的最大正应力,(3)依题的要求,整个截面只有压应力,得,F1,m,m,8-3 偏心拉（压） 截面核心 (Eccentric loads &the kern of a section),1、定义（Definition) 当外力作用线与杆的轴线平行但不重合时， 将引起轴向拉伸（压缩）和平面弯曲两种基本变形。,一、
10、偏心拉（压） (Eccentric loads）,x,y,z,2、以横截面具有两对称轴的等直杆承受偏心拉力 F 为例,(1) 将外力向截面形心简化，使每个力(或力偶)只产生一种 基本变形形式,轴向拉力 F,力偶矩 m = F e，,将 m 向y轴和z轴分解,F 使杆发生拉伸变形,My 使杆发生 xz 平面内的 弯曲变形（y 为中性轴）,Mz 使杆发生 xy 平面内的 弯曲变形（z 为中性轴）,二、任意横截面n-n上的内力分析（Analysis of internal force on any cross section n-n),轴力 FN= F,弯矩,三、任意横截面 n-n 上 C 点的应力
11、分析 (Stress analysis at point c on cross section n-n),由 F产生的正应力,由 My 产生的正应力,由 Mz 产生的正应力,由于 C 点在第一象限内,根据杆件的变形可知,由叠加原理，得 C点处的正应力为,均为拉应力,式中,A为横截面面积;,Iy , Iz 分别为横截面对 y 轴和 z 轴的惯性矩;,( zF，yF ) 为力 F 作用点的坐标;,( z，y) 为所求应力点的坐标.,上式是一个平面方程。表明正应力在横截面上按线性规 律变化。应力平面与横截面的交线（直线 = 0）就是中 性轴。,四、中性轴的位置（The location of neu
12、tral axis),令 y0 , z0 代表中性轴上任一点的坐标，即得中性轴方程,讨论,(1) 在偏心拉伸 (压缩) 情 况下， 中性轴是一条不通过截面形心的直线,y,z,O,(2) 用 ay和 az 记中性轴在 y , z 两轴上的截距，则有,(3) 中性轴与外力作用点分别处于截面形心的相对两侧,z,（4）中性轴将横截面上的应力区域分为拉伸区和压缩区,横截面上最大拉应力和最大压应力分别为D1 , D2 两切点,(a),(b),(c),y,y,z,z,(5) 对于周边具有棱角的截面，其危险点必定在截面的棱角处，并可根据杆件的变形来确定,N,FyF/Wz,最大拉应力 tmax 和最大压应力 c
13、min 分别在截面的棱角 D1 D2 处 . 无需先确定中性轴的位置 ,直接观察确定危险点的位置 即可,五、强度条件 (Strength condition),由于危险点处仍为单向应力状态，因此， 求得最大正应力后，建立的强度条件为,y,z,六、截面核心（The kern of a section),（yF，zF）为外力作用点的坐标,ay，az为中性轴在y轴和z轴上的截距,当中性轴与图形相切或远离图形时，整 个图形上将只有拉应力或只有压应力,y,z,y,z,y,z,y,z,截面核心,1、定义(Definition) 当外力作用点位于包括截面形心的一个区域内时，就可以保证中性轴不穿过横截面（整个
14、截面上只有拉应力或压应力 ，这个区域就称为截面核心 (The kern of a section),y,z,当外力作用在截面核心的边界上时，与此相应的中性轴正好与截面的周边相切。截面核心的边界就由此关系确定。,2、截面核心的确定(Determine the kern of a section),例5 求圆形截面的截面核心,圆截面的惯性半径,由于圆截面对于圆心O是对称的,因而,截面核心的边界对于 圆也应是对称的,从而可知,截面核心边界是一个以O为圆心,以 d/8为半径的圆,2,例6 求矩形截面的截面核心(The kern of a rectangle section),矩形截面的,直线 绕顶点
15、B 旋转到直线 时，将得到一系列通过 B点 但斜率不同的中性轴，而 B点坐标 yB , zB 是这一系列中性轴 上所共有的。,这些中性轴方程为,上式可以看作是表示外力作用点坐标间关系的直线方程 。,故外力作用点移动的轨迹是直线。,这些中性轴方程为,(1) 对于具有棱角的截面，均可按上述方法确 定截面核心,(2) 对于周边有凹进 部分的截面（如T字形截 面），能取与凹进部分的周边相切的直线作为中性 轴，因为这种直线穿过 横截面。,4、讨论 (Discussion),研究对象(Research object) 圆截面杆(circular bars),受力特点(Character of external force) 杆件同时承受转矩和横向力作用,
